Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 26: | Строка 26: | ||
<li>Тонкости случая <math>\dim V=\infty</math>. Пример: пусть <math>V=\mathrm C^0\!([-1;1],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\colon(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math>; тогда <math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>, но <math>\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma\!<V^*\!\cap\mathrm C^0\!(V,\mathbb R)</math>. | <li>Тонкости случая <math>\dim V=\infty</math>. Пример: пусть <math>V=\mathrm C^0\!([-1;1],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\colon(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math>; тогда <math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>, но <math>\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma\!<V^*\!\cap\mathrm C^0\!(V,\mathbb R)</math>. | ||
<li>Подъем индексов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индексов в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{j,i}\,\lambda_j</math>. | <li>Подъем индексов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индексов в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{j,i}\,\lambda_j</math>. | ||
− | <li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math> | + | <li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{e,e}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i> |
<li>Ортогональность (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>. | <li>Ортогональность (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополнение: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>. | ||
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le U^{\perp\perp}</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Ker}({\downarrow}_{\sigma|_{U\times U}})=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math><math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(3) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>U^\perp\!\cap U^{\perp\perp}\!=\{0\}</math>, то <math>U=U^{\perp\perp}</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le U^{\perp\perp}</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Ker}({\downarrow}_{\sigma|_{U\times U}})=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math><math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(3) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>U^\perp\!\cap U^{\perp\perp}\!=\{0\}</math>, то <math>U=U^{\perp\perp}</math>.</i></ul> | ||
Строка 51: | Строка 51: | ||
<ul><li>Полож. и отриц. ранги: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>. | <ul><li>Полож. и отриц. ранги: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>. | ||
<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i> | <li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i> | ||
− | <li>Сигнатура формы: | + | <li>Сигнатура формы: <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)-\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)</math>). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>. |
<li>(Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой. | <li>(Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой. | ||
<li>(Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb C</math> с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой. | <li>(Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb C</math> с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой. |
Версия 01:00, 20 сентября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: (), .
- Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
- Матрица Грама формы : . ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Мн.-во гомоморфизмов между пространствами с формой: .
- Группа автоморфизмов пространства с формой: и .
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : мн.-во вида , где , , .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть , или , ; тогда .
3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы
- Опускание индексов: . Опускание индексов в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы: . Утверждение: .
- Тонкости случая . Пример: пусть и ; тогда , но .
- Подъем индексов ( невырождена): . Подъем индексов в координатах (): и .
- Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис (если или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ). - Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , , форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы
- Множества и .
- Множества и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена.
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Евклидовоунитарное пространство — конечномерное векторное пространство над над с положительно определенной формой.
- Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).
3.2.2 Сигнатура формы
- Полож. и отриц. ранги: и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
; обозначим через число ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Сигнатура формы: (или ). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над с формой сигнатуры .
- (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
- (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
- Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.3 Евклидовы и унитарные пространства
- Обозначение формы: . Примеры: , . Норма: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — евклидово или унитарное пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Гильбертово пространство над над — (не обязательно конечномерное) «евклидово»«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
- Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ): и .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Сопряжение операторов
- Сопряженный оператор (форма невырождена): . Сопряженный оператор в координатах: .
- Лемма о сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
(1) для любых и вектор однозначно определяется условием ;
(2) для любых и выполнено , и
(и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
(3) если , то для любых выполнено ;
(4) . - Ортогональная группа ( — (псевдо)евклидово пр.): . Унитарная группа ( — (псевдо)унитарное пр.): .
- Классические группы над : , , , .
- Классические группы над : , , , .
- Примеры: , , .
3.3.2 Два пространства и два множества операторов
- Форма, связанная с оператором: (). Форма, связанная с оператором, в координатах: .
- Лемма об операторах и формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство
над полем , , форма невырождена и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и , а также ;
(3) и ;
(4) для любых выполнено и . - Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ; невырождена.
- Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ; невырождена.
- Множество положительно определенных операторов (если или ): .
- Множество нормальных операторов: .
- Пример: положительно определенный оператор в пространстве с формой .
3.3.3 Спектральная теория (часть 1)
- Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(2) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали. - Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
(2) если , то для любых выполнено . - Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).
3.3.4 Спектральная теория (часть 2)
- -Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над с блоками размера и блоками вида , где и .
- -Спектр оператора: . Утверждение: пусть и ; тогда .
- Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом
пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
(1) — -диаг. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали
;
(2) — диагональная матрица;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали
. - Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда , если и только если
существуют такие и , что .