Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 19:30, 12 августа 2016

1  Основы алгебры

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические связки: ${\displaystyle \lnot }$ — отрицание («не»), ${\displaystyle \lor }$ — дизъюнкция («или»), ${\displaystyle \land }$ — конъюнкция («и»), ${\displaystyle \Rightarrow }$ — импликация («влечет»), ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ — эквивалентность.
• Лемма о логических связках. Пусть ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — высказывания; тогда
  (1) ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$, ${\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$, ${\displaystyle a\land b=b\land a}$, ${\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$;
  (2) ${\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}$, ${\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)}$;
  (3) ${\displaystyle \lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b}$, ${\displaystyle \lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b}$, ${\displaystyle (a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b}$, ${\displaystyle (a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)}$.
• Кванторы: ${\displaystyle \exists }$ — существование, ${\displaystyle \forall }$ — всеобщность («для любых»). Утверждение: ${\displaystyle \lnot {\bigl (}\exists \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\forall \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}}$, ${\displaystyle \lnot {\bigl (}\forall \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\exists \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}}$.
• Задание множества перечислением элементов: ${\displaystyle \{\ldots \}}$; ${\displaystyle \in }$ — принадлежность, ${\displaystyle \varnothing }$ — пустое множество, ${\displaystyle \subseteq }$ — включение, ${\displaystyle \subset }$ — строгое включение.
• Выделение подмножества: ${\displaystyle \{x\in X\mid p(x)\}}$. Операции над множествами: ${\displaystyle \cup }$ — объединение, ${\displaystyle \cap }$ — пересечение, ${\displaystyle \setminus }$ — разность, ${\displaystyle \times }$ — произведение.
• Лемма об операциях над множествами. Пусть ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ — множества; тогда
  (1) ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$, ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$, ${\displaystyle X\cap Y=Y\cap X}$, ${\displaystyle (X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)}$;
  (2) ${\displaystyle X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)}$, ${\displaystyle X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)}$;
  (3) если ${\displaystyle U}$ — множество и ${\displaystyle X,Y\subseteq U}$, то ${\displaystyle U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)}$ и ${\displaystyle U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)}$.
• Основные числовые множества: ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — натуральные числа, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — целые числа, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — рациональные числа, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — вещественные числа.
• ${\displaystyle |X|}$ — порядок (количество элементов) множества ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle 2^{X}}$ — множество подмножеств множества ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-я степень множества ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва ${\displaystyle X}$ в мн.-во ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)}$. Область, кообласть, график отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,f}$, ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,f}$, ${\displaystyle \mathrm {Gr} \,f}$.
• Образ множества ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$): ${\displaystyle f(A)}$, прообраз множества ${\displaystyle B}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, образ отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f=f(X)}$.
• Сужения отображения ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle f(A)\subseteq B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f|_{A}}$ и ${\displaystyle f|_{A\to B}}$. Сокращенная запись образа: ${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}=\{f(x)\mid x\in X\}}$.
• Инъекции: ${\displaystyle \mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}}$. Сюръекции: ${\displaystyle \mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}}$.
• Биекции: ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)}$. Композиция отображений: ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$. Тождественное отображение: ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ — множества и ${\displaystyle f\in \mathrm {Map} (X,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{X}=f}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ f=f}$ и, если ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle W}$ — множества и ${\displaystyle g\in \mathrm {Map} (Y,Z)}$, ${\displaystyle h\in \mathrm {Map} (Z,W)}$, то ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$;
  (2) если ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, то ${\displaystyle f\in \mathrm {Inj} (X,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}}$;
  (3) ${\displaystyle f\in \mathrm {Surj} (X,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}}$;
  (4) ${\displaystyle f\in \mathrm {Bij} (X,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}}$ (${\displaystyle f'=f^{-1}}$ — биекция, обратная к биекции ${\displaystyle f}$).
• Утверждение: ${\displaystyle \sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|}$. Принцип Дирихле. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — множества, ${\displaystyle |X|=|Y|<\infty }$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)}$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Rel} (X,Y)}$. Область, кообласть, график отношения ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,\Delta }$, ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,\Delta }$, ${\displaystyle \mathrm {Gr} \,\Delta }$. Примеры.
• Отношения эквивалентности: ${\displaystyle \mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}}$.
• Классы эквивалентности: ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\mathrm {cl} _{\sim }({\breve {x}})}$. Фактормножество: ${\displaystyle X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }(x)\mid x\in X\}}$.
• Разбиения: ${\displaystyle \mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)}$. Трансверсали.
• Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть ${\displaystyle X}$ — множество; тогда отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — биекция.
• Отношение ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$: ${\displaystyle x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})}$. Слои отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}}$ (${\displaystyle =X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$). Факторотображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}}$ — биекция.

1.2  Группы

1.2.1  Операции

• Внутренняя ${\displaystyle n}$-арная операция на ${\displaystyle S}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle S^{n}}$ в ${\displaystyle S}$ (нульарная операция на ${\displaystyle S}$ — выделенный элемент множества ${\displaystyle S}$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (S,V)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$. Изоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Iso} (S,V)}$; тогда ${\displaystyle f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)}$. Эндоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)}$. Автоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)}$.
• Инфиксная запись бинарных операций. Ассоциативность: ${\displaystyle \forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}}$. Коммутативность: ${\displaystyle \forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}}$.
• Обозначения по Минковскому: ${\displaystyle o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}}$. Примеры: ${\displaystyle \mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle \mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$.

1.2.2  Полугруппы, моноиды, группы (основные определения и примеры)

• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть ${\displaystyle S}$ — полугруппа, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$; тогда значение выражения ${\displaystyle s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}}$ не зависит
  от расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы. Единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды (по умножению или сложению), моноиды функций, моноиды слов ${\displaystyle \mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, моноиды отображений ${\displaystyle \mathrm {Map} (X)}$.
• Обратимые элементы: ${\displaystyle M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: ${\displaystyle M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }}$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ${\displaystyle M^{\times }}$ (${\displaystyle M}$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: ${\displaystyle G\cong J}$.
• Примеры: числовые группы, группы функций, свободные группы ${\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, группы биекций ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$, группы автоморфизмов графов ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Gamma )}$.
• Симметрические группы: ${\displaystyle \mathrm {S} (X)=\mathrm {Bij} (X)}$ и ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде последовательности значений и цикловая запись.

1.2.3  Подгруппы и прямое произведение групп

1.2.4  Нормальные подгруппы и факторгруппы

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle {}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
• Матричные единицы: ${\displaystyle (\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Строки матрицы: ${\displaystyle a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a}$. Столбцы матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}}$ и ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}}$.
• След матрицы: ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)}$; тогда ${\displaystyle (b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.
• Ядро линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$. Образ линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$;
  тогда выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \min(\dim V,\dim Y)}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) для любых матриц ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot v_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle y\in K^{p}}$; тогда ${\displaystyle \exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))}$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства

• Прямая сумма векторных пространств: ${\displaystyle U\oplus W}$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$;
  обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана);
  (3) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V}$;
  (3') если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V}$.

• Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: ${\displaystyle a(U)\leq U}$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
• Факторпространство ${\displaystyle V/U}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle A}$ — базис в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис в ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A\subseteq B}$; тогда ${\displaystyle \{b+U\mid b\in B\setminus A\}}$ — базис в ${\displaystyle V/U}$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

2.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}(v)=(v^{e})^{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$.
• Отождествление пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$ в случае конечномерного пространства ${\displaystyle V}$ при помощи изоморфизма ${\displaystyle \,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$.)