Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 52: | Строка 52: | ||
<li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math>);<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>);<br>(3') <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i> | <li><u>Теорема о диагонализуемых операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>;<br>тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e</math> — диагональная матрица;<br>(2) <math>\mu_a=\!\!\!\prod_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!(x-c)</math> (то есть <math>\mu_a</math> раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math>);<br>(3) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V_1(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму собственных подпространств оператора <math>a</math>);<br>(3') <math>\dim V=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\gamma(a,c)</math>.</i> | ||
<li><u>Лемма об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\,\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(2) <math>\beta(a,c)=\min\{j\in\mathbb N_0\mid V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}</math> и <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>.</i> | <li><u>Лемма об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>c\in K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le j\,\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(2) <math>\beta(a,c)=\min\{j\in\mathbb N_0\mid V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}</math> и <math>V(a,c)=V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>.</i> | ||
− | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то<br>это условие выполнено для любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму корневых подпространств оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем | + | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то<br>это условие выполнено для любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму корневых подпространств оператора <math>a</math>);<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем следующий факт: для любых <math>j\in\mathbb N_0</math><br>выполнено <math>\,\mathrm{Ker}\,\mathrm{nil}(a,c)^j=V_j(a,c)</math>, а также <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный оператор и <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>.</i></ul> |
<h3>1.6 Линейные операторы (часть 3)</h3> | <h3>1.6 Линейные операторы (часть 3)</h3> | ||
Строка 69: | Строка 69: | ||
<li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> суть относительные геометрические кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>. | <li>Диаграмма Юнга <math>\Delta(a,c)</math>: высоты столбцов диаграммы <math>\Delta(a,c)</math> суть относительные геометрические кратности <math>\gamma_1(a,c),\ldots,\gamma_{\beta(a,c)}(a,c)</math>. | ||
<li><u>Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>a</math> — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm{jb}_{\Delta(a,0)}(0)</math>.</i> | <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>a</math> — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что <math>a_e^e=\mathrm{jb}_{\Delta(a,0)}(0)</math>.</i> | ||
− | <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math><br>и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для<br>любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что<br><math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> (то есть матрица <math>a_e^e</math> раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).</i></ul> | + | <li><u>Теорема о жордановой нормальной форме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math><br>и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>, то это условие выполнено для<br>любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\,\mathbb C</math>); тогда существует такой упорядоченный базис <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, что<br><math>a_e^e=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)</math> (то есть матрица <math>a_e^e</math> раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).</i></ul> |
<h5>1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5> | <h5>1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5> | ||
<ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток. | <ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток. | ||
<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\circ b=b\circ a</math>; тогда <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math></i>. Утверждение: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. | <li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\circ b=b\circ a</math>; тогда <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math></i>. Утверждение: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. | ||
− | <li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>). | + | <li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>). |
<li>Сведе́ние уравнения <math>y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+p_0y=0</math> к системе уравнений <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)'\!=a\cdot\!\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)</math>. Фундаментальная система решений. | <li>Сведе́ние уравнения <math>y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+p_0y=0</math> к системе уравнений <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)'\!=a\cdot\!\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)</math>. Фундаментальная система решений. | ||
<li>Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=E\psi</math> и <math>\psi(0)=\psi(l)=0</math>. | <li>Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''=E\psi</math> и <math>\psi(0)=\psi(l)=0</math>. | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
<ul><li><math>K</math>-Алгебра — векторное пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из <math>K</math>. | <ul><li><math>K</math>-Алгебра — векторное пространство над <math>K</math> с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из <math>K</math>. | ||
<li>Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство. | <li>Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство. | ||
− | <li>Примеры алгебр: <math>K</math>-алгебры <math>K[x]</math>, <math>K[[x]]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{Map}(X,K)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением, <math>\mathrm | + | <li>Примеры алгебр: <math>K</math>-алгебры <math>K[x]</math>, <math>K[[x]]</math>, <math>K(x)</math>, <math>\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>, <math>\mathrm{Map}(X,K)</math>; <math>\mathbb R</math>-алгебры <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением, <math>\mathrm C^0\!(X,\mathbb R)</math>. |
<li>Структурные константы алгебры: <math>\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i</math>. Утверждение: <i>массив <math>\bigl(\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}</math> определяет умножение в <math>K</math>-алгебре <math>A</math></i>. | <li>Структурные константы алгебры: <math>\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\!=((e_{j_1}e_{j_2})^e)^i</math>. Утверждение: <i>массив <math>\bigl(\stackrel em\!\,^i_{j_1,j_2}\bigr)_{1\le i,j_1,j_2\le\dim A}</math> определяет умножение в <math>K</math>-алгебре <math>A</math></i>. | ||
− | <li><u>Теорема Кэли для алгебр.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над полем <math>K</math>, | + | <li><u>Теорема Кэли для алгебр.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>A</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>; обозначим через <math>{}_K\!A</math> векторное пространство над<br>полем <math>K</math>, получающееся из <math>K</math>-алгебры <math>A</math> при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда<br>(1) для любых <math>a\in A</math>, обозначая через <math>\mathrm{lm}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\!A</math> (то есть элемент <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}({}_K\!A)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{lm}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}A&\to\mathrm{End}({}_K\!A)\\a&\mapsto\mathrm{lm}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{lm}</math> — инъективный гомоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i> |
− | <li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\setminus\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm} | + | <li>Алгебра с делением: <math>\forall\,a\in A\setminus\{0\}\;\bigl(\mathrm{lm}_a,\mathrm{rm}_a\!\in\mathrm{Bij}(A)\bigr)</math>. Утверждение: <i>конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением</i>.</ul> |
<h5>1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных</h5> | <h5>1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных</h5> | ||
Строка 100: | Строка 100: | ||
<li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>. | <li>Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: <math>\mathrm{re}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\alpha</math> и <math>\mathrm{im}(\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k)=\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k</math>. | ||
<li>Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{re}(a)-\mathrm{im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{re}(a)^2+\|\mathrm{im}(a)\|^2}</math>. Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{re}(v)=0\}=\{v\in\mathbb H\mid\overline v=-v\}</math>. | <li>Сопряжение: <math>\overline a=\mathrm{re}(a)-\mathrm{im}(a)</math>. Модуль: <math>|a|=\!\sqrt{\mathrm{re}(a)^2+\|\mathrm{im}(a)\|^2}</math>. Чистые кватернионы: <math>\mathbb H_\mathrm{vect}=\{v\in\mathbb H\mid\mathrm{re}(v)=0\}=\{v\in\mathbb H\mid\overline v=-v\}</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>\alpha | + | <li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>\alpha,\alpha'\in\mathbb R</math> и <math>v,v'\in\mathbb H_\mathrm{vect}</math> выполнено <math>(\alpha+v)(\alpha'+v')=(\alpha\alpha'-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha'v+v\times v')</math>.<br>(2) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм алгебры <math>\,\mathbb H</math>).<br>(4) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i> |
<li>Трехмерная сфера: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}\triangleleft\mathbb H^\times</math>. Утверждение: <i>пусть <math>g,g'\in\mathrm S^3</math>; тогда <math>\forall\,a\in\mathbb H\;\bigl(|g\,a\,g'|=|a|\bigr)</math> и <math>\forall\,v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\,\bigl(g\,v\,g^{-1}\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr)</math></i>. | <li>Трехмерная сфера: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}\triangleleft\mathbb H^\times</math>. Утверждение: <i>пусть <math>g,g'\in\mathrm S^3</math>; тогда <math>\forall\,a\in\mathbb H\;\bigl(|g\,a\,g'|=|a|\bigr)</math> и <math>\forall\,v\in\mathbb H_\mathrm{vect}\,\bigl(g\,v\,g^{-1}\in\mathbb H_\mathrm{vect}\bigr)</math></i>. | ||
<li><u>Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами.</u> <i>Отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный<br>гомоморфизм алгебр с <math>1</math>, и его образ есть <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math> (и, значит, <math>\mathbb H\cong\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math>).</i></ul> | <li><u>Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами.</u> <i>Отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)\\\alpha+\beta\,\mathrm i+\gamma\,\mathrm j+\delta\,\mathrm k&\mapsto\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha+\beta\,\mathrm i&\gamma+\delta\,\mathrm i\\-\gamma+\delta\,\mathrm i&\alpha-\beta\,\mathrm i\end{smallmatrix}\Bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный<br>гомоморфизм алгебр с <math>1</math>, и его образ есть <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math> (и, значит, <math>\mathbb H\cong\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C\bigr\}</math>).</i></ul> | ||
Строка 108: | Строка 108: | ||
<li>Коммутатор в ассоциативной алгебре <math>A</math>: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^-</math>: пространство <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,\,]</math>. Утверждение: <i><math>A^-</math> — алгебра Ли</i>. | <li>Коммутатор в ассоциативной алгебре <math>A</math>: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^-</math>: пространство <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,\,]</math>. Утверждение: <i><math>A^-</math> — алгебра Ли</i>. | ||
<li>Примеры алгебр Ли: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^-</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением (<math>v\times w=\frac12[v,w]</math> в алгебре Ли <math>\mathbb H^-</math>). | <li>Примеры алгебр Ли: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^-</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением (<math>v\times w=\frac12[v,w]</math> в алгебре Ли <math>\mathbb H^-</math>). | ||
− | <li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad} | + | <li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\mathfrak g</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{ad}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i> |
<li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>. | <li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{ | + | <li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>векторные пространства <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,{}^n\mathbb R)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,\,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,\,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,\,]</math>.</i></ul> |
<h2>2 Билинейная алгебра</h2> | <h2>2 Билинейная алгебра</h2> |
Версия 23:30, 20 мая 2016
1 Линейная алгебра
|
Материал первой половины второго семестра курса алгебры
Содержание первой половины второго семестра курса алгебры
1.1 Матрицы, базисы, координаты
- 1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- 1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- 1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- 1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2 Линейные операторы (часть 1)
- 1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- 1.2.2 Ранг линейного оператора
- 1.2.3 Системы линейных уравнений
1.3 Конструкции над векторными пространствами
- 1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- 1.3.2 Двойственное пространство
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
- 1.4.1 Отступление о симметрических группах
- 1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- 1.4.3 Определитель линейного оператора
- 1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
Материал второй половины второго семестра курса алгебры
1.5 Линейные операторы (часть 2)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
- Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
, и , где , и попарно взаимно просты; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
- Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
тогда следующие условия эквивалентны:
(1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
(2) (то есть раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
(3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
(3') . - Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и . - Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующий факт: для любых
выполнено , а также — нильпотентный оператор и .
1.6 Линейные операторы (часть 3)
1.6.1 Относительные базисы
- Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
- Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.
Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — базис в относительно ;
(1') — независимое подмножество в и ;
(2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
(3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .
Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
(2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .
Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
относительно ; тогда — базис в относительно . - Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно . - Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и ; тогда .
1.6.2 Жорданова нормальная форма оператора
- Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
- Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
- Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
- Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
, — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что . - Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
(то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике
- Утверждение: пусть и ; тогда . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
- Экспонента от оператора: . Утверждение: пусть ; тогда . Утверждение: .
- Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ). Решение: ().
- Сведе́ние уравнения к системе уравнений . Фундаментальная система решений.
- Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: и .
- Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: — плотность вероятности, — энергия.
1.7 Алгебры
1.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- -Алгебра — векторное пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из .
- Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
- Примеры алгебр: -алгебры , , , , , ; -алгебры , с векторным умножением, .
- Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив определяет умножение в -алгебре .
- Теорема Кэли для алгебр. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство над
полем , получающееся из -алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
пространстве (то есть элемент -алгебры );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм алгебр с . - Алгебра с делением: . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
- Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства операции .
- Утверждение: пусть и ; тогда множество — базис пространства .
- Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
- Моном (слово) от свободных переменных степени : (). Моноид слов .
- Пространство однородных многочленов степени : . Алгебра многочленов: .
- Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; обозначим через число ;
тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с .
1.7.3 Тело кватернионов
- -Алгебра кватернионов: , где и , , .
- Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
- Сопряжение: . Модуль: . Чистые кватернионы: .
- Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых и выполнено .
(2) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — антиавтоморфизм алгебры ).
(4) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп). - Трехмерная сфера: . Утверждение: пусть ; тогда и .
- Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение — инъективный
гомоморфизм алгебр с , и его образ есть (и, значит, ).
1.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
- Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность () и тождество Якоби ().
- Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : пространство с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
- Примеры алгебр Ли: , , с векторным умножением ( в алгебре Ли ).
- Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и — -алгебра Ли; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
пространстве (то есть элемент алгебры Ли );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — гомоморфизм алгебр Ли. - Алгебра дифференцирований алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
- Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть и — открытое подмножество в ; обозначим через и
векторные пространства и соответственно; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение (здесь ), имеем следующий
факт: — дифференцирование алгебры (то есть элемент алгебры Ли );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный линейный оператор,
а также — подалгебра алгебры Ли ;
(3) определим на векторном пространстве бинарную операцию так, что для любых выполнено
(из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию ); тогда для любых
выполнено (здесь ), а также — алгебра Ли относительно операции .
2 Билинейная алгебра
3 Полилинейная алгебра
| ||||||||
|