Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
− | <h2>1 | + | <h2>1 Линейная алгебра</h2> |
<table cellpadding="7" cellspacing="0"> | <table cellpadding="7" cellspacing="0"> | ||
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все<br>современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин ''тензор'' имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством<br>или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств,<br>хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr> | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все<br>современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин ''тензор'' имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством<br>или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств,<br>хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr> | ||
Строка 96: | Строка 96: | ||
<h5>1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5> | <h5>1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5> | ||
− | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k;Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}^k(V | + | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k;Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}^k(V;Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k)</math> и <math>\mathrm{Multi}^kV</math>. |
<li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}^kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}^kV</math>. | <li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}^kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}^kV</math>. | ||
<li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}^kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i> | <li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}^kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i> | ||
Строка 104: | Строка 104: | ||
<h5>1.4.3 Определитель линейного оператора</h5> | <h5>1.4.3 Определитель линейного оператора</h5> | ||
<ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math>. Корректность определения. | <ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math>. Корректность определения. | ||
− | <li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) | + | <li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i> |
<li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math></i>. | <li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math></i>. | ||
<li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>. | <li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>. | ||
Строка 115: | Строка 115: | ||
<li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i></ul> | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i></ul> | ||
− | <h3>1.5 Линейные операторы ( | + | <h3>1.5 Линейные операторы (revisited)</h3> |
<h5>1.5.1 Многочлены от операторов</h5> | <h5>1.5.1 Многочлены от операторов</h5> | ||
<ul><li>Многочлен от оператора: <math>f(a)=\sum_{k=0}^{\deg f}f_ka^k</math>. Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм колец и векторных пространств. | <ul><li>Многочлен от оператора: <math>f(a)=\sum_{k=0}^{\deg f}f_ka^k</math>. Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм колец и векторных пространств. | ||
<li>Кольцо, порожденное оператором: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a</math> — коммутативное подкольцо и подпространство в <math>\mathrm{End}(V)</math>. | <li>Кольцо, порожденное оператором: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a</math> — коммутативное подкольцо и подпространство в <math>\mathrm{End}(V)</math>. | ||
− | <li>Минимальный многочлен оператора: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\;\land\;f(a)=0\}</math> | + | <li>Минимальный многочлен оператора: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> приведен, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus\{0\}\;\land\;f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>. |
<li><u>Лемма о многочленах и операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>f,g\in K[x]</math> выполнено <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\le\mathrm{Ker}\,(fg)(a)</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,(fg)(a)\le\mathrm{Im}\,f(a)</math>;<br>(2) для любых <math>f\in K[x]</math> выполнено <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\le\mathrm{Ker}\,f(a)</math> и <math>a\bigl(\mathrm{Im}\,f(a)\bigr)\le\mathrm{Im}\,f(a)</math>.</i> | <li><u>Лемма о многочленах и операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>f,g\in K[x]</math> выполнено <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\le\mathrm{Ker}\,(fg)(a)</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,(fg)(a)\le\mathrm{Im}\,f(a)</math>;<br>(2) для любых <math>f\in K[x]</math> выполнено <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\le\mathrm{Ker}\,f(a)</math> и <math>a\bigl(\mathrm{Im}\,f(a)\bigr)\le\mathrm{Im}\,f(a)</math>.</i> | ||
<li><u>Теорема о разложении в прямую сумму ядер.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>f,g\in K[x]</math> и <math>\gcd(f,g)=1</math>; тогда <math>\,\mathrm{Ker}\,(fg)(a)=\mathrm{Ker}\,f(a)\oplus\mathrm{Ker}\,g(a)</math>.</i> | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму ядер.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>f,g\in K[x]</math> и <math>\gcd(f,g)=1</math>; тогда <math>\,\mathrm{Ker}\,(fg)(a)=\mathrm{Ker}\,f(a)\oplus\mathrm{Ker}\,g(a)</math>.</i> | ||
− | <li> | + | <li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(\mathrm{id}_V-a)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>. Нильпотентный оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(\mu_a=x^m\bigr)</math>.</ul> |
<h5>1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора</h5> | <h5>1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора</h5> | ||
<ul><li>Спектр оператора: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\notin\mathrm{GL}(V)\}</math>; если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\ne\{0\}\}</math>. | <ul><li>Спектр оператора: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\notin\mathrm{GL}(V)\}</math>; если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\ne\{0\}\}</math>. | ||
<li>Характеристический многочлен матрицы: <math>\chi_a=\det(x\cdot\mathrm{id}_n-a)</math>. Характеристический многочлен оператора: <math>\chi_a=\chi_{a_e^e}</math>. Корректность определения. | <li>Характеристический многочлен матрицы: <math>\chi_a=\det(x\cdot\mathrm{id}_n-a)</math>. Характеристический многочлен оператора: <math>\chi_a=\chi_{a_e^e}</math>. Корректность определения. | ||
− | <li>Утверждение: <math>\chi_a=x^n-\mathrm{tr}\,a\cdot x+\ldots+(-1)^n\det a</math>. Утверждение: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\ | + | <li>Утверждение: <math>\chi_a=x^n-\mathrm{tr}\,a\cdot x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\chi_a(c)=0\}</math> (и, значит, <math>|\mathrm{Spec}(a)|\le n</math>)</i>. |
<li><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i> | <li><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i> | ||
− | <li>Две кратности: <math>\ | + | <li>Две кратности: <math>\alpha(a,c)</math> — кратность <math>c</math> как корня многочлена <math>\chi_a</math> (алгебраическая кратность) и <math>\beta(a,c)</math> — кратность <math>c</math> как корня многочлена <math>\mu_a</math>. |
+ | <li>Утверждение: <i>многочлен <math>\mu_a</math> делит многочлен <math>\chi_a</math>, для любых <math>c\in K</math> выполнено <math>\beta(a,c)\le\alpha(a,c)</math>, а также <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math></i>.</ul> | ||
<h5>1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора</h5> | <h5>1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора</h5> | ||
Строка 135: | Строка 136: | ||
<h5>1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора</h5> | <h5>1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора</h5> | ||
− | <h2>2 | + | <h2>2 Билинейная алгебра</h2> |
+ | |||
+ | <h2>3 Полилинейная алгебра</h2> |
Версия 06:40, 19 марта 2016
1 Линейная алгебра
| |||||||
|
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда выполнено . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда выполнено .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ;
обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то (это формула Грассмана);
(3) . - Инвариантное подпространство эндоморфизма: . Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
- Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
---|---|---|---|---|---|---|
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
- Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
- Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
(1) ;
(2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
(3) для любых и выполнено . - Пространство форм объема , где . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых множество — базис пространства ;
(3) для любых и выполнено .
1.4.3 Определитель линейного оператора
- Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
- Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) (напоминание: );
(2) для любых выполнено
(и, значит, отображение определено корректно и является гомоморфизмом групп). - Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
- Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
- Специальные линейные группы: и .
1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
- Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
, что в матрице существует такая подматрица размера , что . - Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и (в частности, при и при
выполнено и соответственно);
(2) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
1.5 Линейные операторы (revisited)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Лемма о многочленах и операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и . - Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Утверждение: многочлен делит многочлен , для любых выполнено , а также .