Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
<h2>1 Векторные пространства</h2> | <h2>1 Векторные пространства</h2> | ||
+ | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td> | ||
+ | <table border cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все<br>современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин ''тензор'' имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством<br>или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств,<br>хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr> | ||
+ | <tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии.</i>]</td></tr></table> | ||
+ | </td></tr> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td> | ||
+ | <table cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>(Сказанное выше о тензорах справедливо также по отношению к векторам, ковекторам, полилинейным отображениям... (это частные<br>случаи тензоров) и в целом к многим абстрактным (точнее, инвариантным) объектам, изучаемым в алгебре. — Е.Е. Горячко.)</td></tr></table></td></tr></table> | ||
<h3>1.1 Матрицы, базисы, координаты</h3> | <h3>1.1 Матрицы, базисы, координаты</h3> |
Версия 05:04, 16 марта 2016
1 Векторные пространства
| ||||||||
|
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда выполнено . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда выполнено .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; обозначим через
отображение, действующее из в по правилу для любых и ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то ;
(3) . - Инвариантное подпространство эндоморфизма: . Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
- Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
---|---|---|---|---|---|---|
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
- Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
- Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
(1) ;
(2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
(3) для любых и выполнено . - Пространство форм объема , где . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых множество — базис пространства ;
(3) для любых и выполнено .
1.4.3 Определитель линейного оператора
- Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
- Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) отображение, действующее из в по правилу для любых , — гомоморфизм групп. - Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
- Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
- Специальные линейные группы: и .
1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
- Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
, что в матрице существует такая подматрица размера , что . - Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и (в частности, при и при
выполнено и соответственно);
(2) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .