Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 56: | Строка 56: | ||
<li>Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств. | <li>Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств. | ||
<li>Факторпространство <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>. | <li>Факторпространство <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>. | ||
− | <li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></ul> | + | <li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></ul> |
<h5>1.3.2 Двойственное пространство</h5> | <h5>1.3.2 Двойственное пространство</h5> | ||
Строка 73: | Строка 73: | ||
<h5>1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5> | <h5>1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5> | ||
− | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k;Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}^k(V,Y)</math> | + | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k;Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}^k(V,Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k)</math> и <math>\mathrm{Multi}^kV</math>. |
− | <li> | + | <li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}^kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}^kV</math>. |
− | < | + | <li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}^kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (кроме импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1), если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>): (1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i> |
− | <li> Пространство форм объема: <math>\mathrm{ | + | <li> Пространство форм объема: <math>\mathrm{AMulti}^nV</math>, где <math>n=\dim V</math>. Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>. |
+ | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}^nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul> | ||
<h5>1.4.3 Определитель линейного оператора</h5> | <h5>1.4.3 Определитель линейного оператора</h5> | ||
+ | <ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}^nV\setminus\{0\}</math>. Проверка корректности определения.</ul> | ||
<h3>1.5 Жорданова нормальная форма</h3> | <h3>1.5 Жорданова нормальная форма</h3> | ||
<h2>2 Векторные пространства с билинейной формой</h2> | <h2>2 Векторные пространства с билинейной формой</h2> |
Версия 00:35, 24 февраля 2016
1 Векторные пространства
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда выполнено . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда выполнено .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; обозначим через
отображение, действующее из в по правилу для любых и ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то ;
(3) . - Инвариантное подпространство эндоморфизма: . Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
- Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
- Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие условия эквивалентны (кроме импликации (2)(1), если ): (1) ;
(2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
(3) для любых и выполнено . - Пространство форм объема: , где . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых множество — базис пространства ;
(3) для любых и выполнено .
1.4.3 Определитель линейного оператора
- Определитель линейного оператора: , где . Проверка корректности определения.