Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 33: | Строка 33: | ||
<h5>1.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | <h5>1.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | ||
− | <ul><li> | + | <ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <math>U\le V\;\land\;\dim U=\dim V<\infty\,\Rightarrow\,U=V</math>. |
<li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее. | <li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее. | ||
<p>Лемма о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p> | <p>Лемма о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p> | ||
<p>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | <p>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | ||
<li>Теорема о размерности ядра и образа. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i> | <li>Теорема о размерности ядра и образа. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i> | ||
− | <li>Принцип Дирихле для линейных отображений. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над <math>K</math>, <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>; тогда<br><math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Isom}(V,Y)</math> ( | + | <li>Принцип Дирихле для линейных отображений. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над <math>K</math>, <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>; тогда<br><math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Isom}(V,Y)</math> (обозначение: <math>\mathrm{Isom}(V,Y)=\mathrm{Bij}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)</math>).</i></ul> |
<h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5> | <h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5> | ||
<ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | ||
<li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>, <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math>, <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>. Теорема о свойствах ранга. | <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>, <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math>, <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>. Теорема о свойствах ранга. | ||
− | <p>Теорема о свойствах ранга. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g_1\cdot a\cdot g_2)=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g_1\cdot a\cdot g_2=e_1^1+e_2^2+\ldots+e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle | + | <p>Теорема о свойствах ранга. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g_1\cdot a\cdot g_2)=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g_1\cdot a\cdot g_2=e_1^1+e_2^2+\ldots+e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></p> |
<li>Неравенство Сильвестра. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)-p\le\mathrm{rk}(b\cdot a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math>.</i></ul> | <li>Неравенство Сильвестра. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)-p\le\mathrm{rk}(b\cdot a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math>.</i></ul> | ||
Версия 23:50, 14 февраля 2016
1 Векторные пространства и линейные операторы
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, , ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерности ядра и образа. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда .
- Принцип Дирихле для линейных отображений. Пусть — поле, — векторные пространства над , ; тогда
(обозначение: ).
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: , , . Теорема о свойствах ранга.
Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, , ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам). - Неравенство Сильвестра. Пусть — поле, , , ; тогда .
1.2.3 Решение систем линейных уравнений
- Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений.