Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 27: | Строка 27: | ||
<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li> | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li> | ||
Теорема. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i> | Теорема. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i> | ||
− | <li> | + | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul> |
− | + | ||
=== 1.2 Линейные операторы === | === 1.2 Линейные операторы === | ||
+ | |||
+ | <b>1.2.? Ядро и образ линейного оператора</b> | ||
+ | |||
+ | <b>1.2.? Ранг линейного оператора</b> | ||
+ | <ul><li>Определение ранга: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Матричное определение ранга: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | <b>1.2.? Решение систем линейных уравнений</b> | ||
+ | <ul><li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.</li></ul> | ||
=== 1.3 Конструкции над векторными пространствами === | === 1.3 Конструкции над векторными пространствами === | ||
+ | |||
+ | <b>1.3.1 Прямая сумма векторных пространств</b> | ||
+ | |||
+ | <b>1.3.2 Факторпространство</b> | ||
+ | |||
+ | <b>1.3.3 Двойственное пространство</b> | ||
=== Полилинейные отображения и определитель === | === Полилинейные отображения и определитель === |
Версия 19:20, 13 февраля 2016
Содержание
1 Векторные пространства и линейные операторы
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы, приведение к ступенчатому виду, метод Гаусса
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
- Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).
1.2 Линейные операторы
1.2.? Ядро и образ линейного оператора
1.2.? Ранг линейного оператора
- Определение ранга: . Матричное определение ранга: .
1.2.? Решение систем линейных уравнений
- Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств
1.3.2 Факторпространство
1.3.3 Двойственное пространство