Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | == 1 | + | == 1 Векторные пространства и линейные операторы == |
| − | === 1.1 | + | === 1.1 Матрицы, базисы, координаты === |
| − | <b>1.1.1 | + | <b>1.1.1 Матрицы, столбцы, строки</b> |
<ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.</li> | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.</li> | ||
<li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.</li> | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.</li> | ||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
<li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: отображение <math>a\mapsto a^\mathtt T</math> — антиавтоморфизм кольца <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>.</li></ul> | <li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: отображение <math>a\mapsto a^\mathtt T</math> — антиавтоморфизм кольца <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>.</li></ul> | ||
| − | <b>1.1.2 | + | <b>1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</b> |
<ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>.</li> | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>.</li> | ||
<li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <math>a(e)=h\cdot a_e^h\,</math> и <math>\,\forall\,v\in V\;\bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\bigr)</math>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.</li> | <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <math>a(e)=h\cdot a_e^h\,</math> и <math>\,\forall\,v\in V\;\bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\bigr)</math>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.</li> | ||
<li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math>. Изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>.</li></ul> | <li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math>. Изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>.</li></ul> | ||
| − | <b>1.1.3 | + | <b>1.1.3 Преобразования координат при замене базиса</b> |
<ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=\bigl(\mathrm c_\tilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li> | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=\bigl(\mathrm c_\tilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li> | ||
<li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.</li> | <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.</li> | ||
<li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</li></ul> | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</li></ul> | ||
| − | <b>1.1.4 | + | <b>1.1.4 Элементарные матрицы, приведение к ступенчатому виду, метод Гаусса</b> |
<ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,e_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)e_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.</li> | <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,e_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)e_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.</li> | ||
<li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,e_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)e_i^i)\cdot a</math>.</li> | <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,e_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)e_i^i)\cdot a</math>.</li> | ||
<li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>.</li> | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>.</li> | ||
<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li> | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li> | ||
| − | Теорема. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие | + | Теорема. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i> |
<li>Приложение теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду: нахождение базиса подпространства, порожденного множеством.</li> | <li>Приложение теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду: нахождение базиса подпространства, порожденного множеством.</li> | ||
<li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.</li></ul> | <li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.</li></ul> | ||
| − | === 1.2 | + | === 1.2 Линейные операторы === |
| − | === 1.3 | + | === 1.3 Конструкции над векторными пространствами === |
=== Полилинейные отображения и определитель === | === Полилинейные отображения и определитель === | ||
Версия 03:50, 13 февраля 2016
Содержание
1 Векторные пространства и линейные операторы
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы, приведение к ступенчатому виду, метод Гаусса
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
- Приложение теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду: нахождение базиса подпространства, порожденного множеством.
- Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
Теорема. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).
