Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) (→Векторные пространства и линейные операторы) |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
=== Матрицы, базисы, координаты === | === Матрицы, базисы, координаты === | ||
− | < | + | <math>\mathrm e^{\mathrm i\pi}+1=0</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
<b>Матрицы, столбцы, строки</b> | <b>Матрицы, столбцы, строки</b> | ||
Строка 42: | Строка 26: | ||
<ul><li>Матрица замены координат: <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_e^\widetilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_\widetilde e^e</math>. Утверждение: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^\widetilde e\cdot\mathrm c_e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm c_\widetilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li> | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_e^\widetilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_\widetilde e^e</math>. Утверждение: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^\widetilde e\cdot\mathrm c_e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm c_\widetilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li> | ||
<li>Преобразование базиса: <math>\,\widetilde e=e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>\,v^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,v^\widetilde i=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde iv^k</math>.</li> | <li>Преобразование базиса: <math>\,\widetilde e=e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>\,v^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,v^\widetilde i=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde iv^k</math>.</li> | ||
− | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\widetilde e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\widetilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li></ul> | + | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\widetilde e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\widetilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li> |
+ | |||
+ | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\tilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\tilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li></ul> | ||
<b>Элементарные преобразования матриц</b> | <b>Элементарные преобразования матриц</b> | ||
<ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li> | <ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li> | ||
<li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul> | <li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul> |
Версия 18:32, 12 февраля 2016
Векторные пространства и линейные операторы
Отступление в первый семестр
- Обозначения из математической логики и теории множеств.
- Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
- Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.
Матрицы, базисы, координаты
Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца .
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
Элементарные преобразования матриц
- Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.