Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
<b>Матрицы, столбцы, строки</b> | <b>Матрицы, столбцы, строки</b> | ||
− | <ul><li>Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \( | + | <ul><li>Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \({}^nK=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).</li> |
− | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \( | + | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).</li> |
− | <li>Стандартный базис пространства \(K | + | <li>Стандартный базис пространства \(K^p\): \(\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^nK\): \(\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).</li> |
− | <li>Умножение матриц: \( | + | <li>Умножение матриц: \((b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).</li> |
− | <li>Выделение строк матрицы: \( | + | <li>Выделение строк матрицы: \(a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \((b\cdot a)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,(b\cdot a)_k=b\cdot a_k\).</li> |
− | <li>Транспонирование матрицы: \( | + | <li>Транспонирование матрицы: \((a^\mathtt T)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).</li></ul> |
+ | <b>Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</b> | ||
+ | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: \(v=e\cdot v^e\). Изоморфизм векторных пространств между \(V\) и \(K^{\dim V}\).</li> | ||
+ | <li>Матрица гомоморфизма: \((a_e^h)_j=a(e_j)^h\). Утверждение: \(a(e)=h\cdot a_e^h\,\) и \(\,\forall\:v\in V\;\bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\bigr)\). Утверждение: \((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\).</li> | ||
+ | <li>Изоморфизм векторных пространств между \(\mathrm{Hom}(V,Y)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)\). Изоморфизм колец между \(\mathrm{End}(V)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim V,K)\).</li></ul> | ||
+ | <b>Матрицы, столбцы, строки</b> | ||
+ | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.</li> | ||
+ | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\,\bigl\{\,e_i^j\;\mid\;i\in\{1,\ldots,p\},\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}</math>.</li> | ||
+ | <li>Стандартный базис пространства <math>K\!^p</math>: <math>\,\bigl\{\,e_i\;\mid\;i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\,\bigl\{\,e^j\;\mid\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}</math>.</li> | ||
+ | <li>Умножение матриц: <math>\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i_k=\!\!\sum_{j=1}^pb^i_ja^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.</li> | ||
+ | <li>Выделение строк матрицы: <math>\,a^i=e^i\cdot a</math>. Выделение столбцов матрицы: <math>\,a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <math>\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i=b^i\cdot a\,</math> и <math>\,\bigl(b\cdot a\bigr)_k=b\cdot a_k</math>.</li> | ||
+ | <li>Транспонирование матрицы: <math>\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | <b>Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</b> | ||
+ | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>\,v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>.</li> | ||
+ | <li>Матрица гомоморфизма: <math>\,\bigl(a_e^h\bigr)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <math>\,a(e)=h\cdot a_e^h\,</math> и <math>\,\forall\;v\in V\;\Bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\Bigr)</math>. Утверждение: <math>\,\bigl(b\circ a\bigr)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.</li> | ||
+ | <li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math>. Изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>.</li></ul> | ||
+ | |||
+ | <b>Преобразования координат при замене базиса</b> | ||
+ | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_e^\widetilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_\widetilde e^e</math>. Утверждение: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^\widetilde e\cdot\mathrm c_e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm c_\widetilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li> | ||
+ | <li>Преобразование базиса: <math>\,\widetilde e=e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>\,v^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,v^\widetilde i=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde iv^k</math>.</li> | ||
+ | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\widetilde e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\widetilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li></ul> | ||
<b>Элементарные преобразования матриц</b> | <b>Элементарные преобразования матриц</b> | ||
<ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li> | <ul><li>Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.</li> | ||
<li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul> | <li>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li></ul> |
Версия 00:59, 12 февраля 2016
Векторные пространства и линейные операторы
Отступление в первый семестр
- Обозначения из математической логики и теории множеств.
- Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
- Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.
Матрицы, базисы, координаты
Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \({}^nK=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
- Стандартный базис пространства \(K^p\): \(\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^nK\): \(\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
- Умножение матриц: \((b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).
- Выделение строк матрицы: \(a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \((b\cdot a)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,(b\cdot a)_k=b\cdot a_k\).
- Транспонирование матрицы: \((a^\mathtt T)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: \(v=e\cdot v^e\). Изоморфизм векторных пространств между \(V\) и \(K^{\dim V}\).
- Матрица гомоморфизма: \((a_e^h)_j=a(e_j)^h\). Утверждение: \(a(e)=h\cdot a_e^h\,\) и \(\,\forall\:v\in V\;\bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\bigr)\). Утверждение: \((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\).
- Изоморфизм векторных пространств между \(\mathrm{Hom}(V,Y)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)\). Изоморфизм колец между \(\mathrm{End}(V)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim V,K)\).
Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца .
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
Элементарные преобразования матриц
- Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.