Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 22: Строка 22:
  
 
<b>Преобразования координат при замене базиса</b>
 
<b>Преобразования координат при замене базиса</b>
<ul><li>Матрица замены координат: <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_e^\widetilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_\widetilde e^e</math>. Утверждение: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^\widetilde\widetilde e\cdot\mathrm c_e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde\widetilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm c_\widetilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li>
+
<ul><li>Матрица замены координат: <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_e^\widetilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^e=\bigl(\mathrm{id}_V\bigr)_\widetilde e^e</math>. Утверждение: <math>\,\mathrm c_\widetilde e^\widetilde e\cdot\mathrm c_e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\,</math> и <math>\,\mathrm c_e^\widetilde e=\bigl(\mathrm c_\widetilde e^e\bigr)^{-1}</math>.</li>
 
<li>Преобразование базиса: <math>\,\widetilde e=e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>\,v^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,v^\widetilde i=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde iv^k</math>.</li>
 
<li>Преобразование базиса: <math>\,\widetilde e=e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>\,v^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,v^\widetilde i=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde iv^k</math>.</li>
 
<li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\widetilde e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\widetilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li></ul>
 
<li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>\,a_\widetilde e^\widetilde e=\mathrm c_e^\widetilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\widetilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>\,a^\widetilde i_\tilde j=\!\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}\bigl(e_k\bigr)^\widetilde i\bigl(e_\tilde j\bigr)^la_l^k</math>.</li></ul>

Версия 18:15, 11 февраля 2016

Векторные пространства и линейные операторы

Отступление в первый семестр

  • Обозначения из математической логики и теории множеств.
  • Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
  • Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

Матрицы, базисы, координаты

Матрицы, столбцы, строки

  • Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
  • Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
  • Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
  • Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
  • Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
  • Транспонирование матрицы: . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца .

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

  • Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
  • Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
  • Изоморфизм векторных пространств между и и изоморфизм колец между и .

Преобразования координат при замене базиса

  • Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
  • Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
  • Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .

Элементарные преобразования матриц

  • Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
  • Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.