Версия 09:22, 8 сентября 2014

Группа Фёдора Петрова

Домашнее задание на семестр

Отчётность: без понятия

1. Существует ли биективный многочлен ${\displaystyle f(x,y)}$:

a. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}->\mathbb {Z} }$ b. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}->\mathbb {Q} }$ ?

Домашнее задание к 11.09

Отчётность: решаем, на занятии обсуждаем.

1. Доказать, что на плоскости можно расположить не более чем счётное число непересекающихся фигурок. Фигурка — это точка, из которой торчат 3 непересекающиеся ломаные.

2. ${\displaystyle F\subseteq 2^{\mathbb {N} }}$. Два независимых пункта с условием: a. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:}$ либо ${\displaystyle A\subseteq B}$, либо ${\displaystyle B\subseteq A}$ b. ${\displaystyle \forall A,B\subseteq F,A\neq B:|A\cap B|<\infty }$ Может ли F быть несчётным?

3. ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {N} ,|E|=\infty }$. Доказать, что существует ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>1}$ такое, что существует существует бесконечно много натуральных ${\displaystyle n}$ таких, что ${\displaystyle \left\lfloor {a^{n}}\right\rfloor \in E}$ (${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ - целая часть ${\displaystyle x}$ или округление вниз).