Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 55: Строка 55:
 
<li>Симметрические группы: <math>\mathrm S_n=\mathrm{Bij}(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
 
<li>Симметрические группы: <math>\mathrm S_n=\mathrm{Bij}(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
 
<p><u>Лемма о циклах.</u> <i>Пусть <math>l,m,n\in\mathbb N</math>, <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, числа <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k</math> попарно различны и <math>u\in\mathrm S_n</math>; тогда<br><math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>, а также <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}\!=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.</i></p>
 
<p><u>Лемма о циклах.</u> <i>Пусть <math>l,m,n\in\mathbb N</math>, <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k\in\{1,\ldots,n\}</math>, числа <math>i_1,\ldots,i_l,j_1,\ldots,j_m,k</math> попарно различны и <math>u\in\mathrm S_n</math>; тогда<br><math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>, а также <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}\!=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.</i></p>
<li>Мультипликативные обозначения: <math>g\,h</math>, <math>1</math>, <math>g^{-1}</math>, <math>g^n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: <math>a+b</math>, <math>0</math>, <math>-a</math>, <math>n\,a</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>).</ul>
+
<li>Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: <math>g\,h</math>, <math>1</math>, <math>g^{-1}</math> и <math>g^n</math>. Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: <math>a+b</math>, <math>0</math>, <math>-a</math> и <math>n\,a</math>.</ul>
  
 
<h5>2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5>
 
<h5>2.3&nbsp; Подгруппы, классы смежности, циклические группы</h5>

Текущая версия на 00:00, 20 сентября 2018

Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-
вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат
не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-
дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку
этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.
Ю.И. Манин. Математика и физика
Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем
и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а
не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.
П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1   Множества, отображения, отношения

1.1  Множества
  • Логические операции: — отрицание («не»), — дизъюнкция («или»), — конъюнкция («и»), — импликация («влечет»), — эквивалентность.
  • Кванторы: — существование («существует»), — всеобщность («для любых»), — существование и единственность («существует единственный»).
  • Принадлежность: . Равенство множеств: . Включение и строгое включение между множ.-вами: и .
  • Кванторы по элементам множества: и . Задание множества перечислением элементов: . Пустое множество: .
  • Выделение подмножества: . Операции над мн.-вами: — объединение, — пересечение, — разность, — прямое произведение.
  • Теорема об операциях над множествами. Пусть — множества; тогда
    (1) и , а также и ;
    (2) и ;
    (3) если — множество и , то и .
  • Числовые множества: , , , — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, , ().
  • Множество подмножеств мн.-ва : . Прямая степень мн.-ва (): . Порядок (количество элементов) мн.-ва : ().
1.2  Отображения
  • Множество отображений, действующих из мн.-ва в мн.-во : . Область отобр.-я : . Кообласть отобр.-я : . Примеры.
  • Образ множества относительно (): , прообраз множества относительно (): , образ отображения : .
  • Сужения отображения ( и ): и . Сокращенная запись образа: .
  • Инъекции: . Сюръекции: .
  • Биекции: . Композиция отображений и : . Тождественное отображение: .
  • Теорема о композиции отображений. Пусть — множества и ; тогда
    (1) , и, если — множества, и , то ;
    (2) если , то — инъекция, если и только если ;
    (3) — сюръекция, если и только если ;
    (4) — биекция, если и только если .
  • Отображение , обратное к отображению : и . Пример: взаимно обратные биекции и .
1.3  Отношения
  • Множество отношений между множествами и : . Область отношения : . Кообласть отношения : . Примеры.
  • Отношение эквивалентности на — такое отн.-е между и , что .
  • Класс эквивалентности: . Утверждение: . Фактормножество: . Трансверсали.
  • Разбиение множества — такое подмн.-во в , что и . Утверждение: — разбиение.
  • Отношение : . Мн.-во слоев отобр.-я : (). Факторотображение — биекция.
  • Утверждение: . Принцип Дирихле. Пусть — множества и ; тогда .
  • Отношение порядка на — такое отн.-е между и , что .
  • Наименьший эл.-т мн.-ва с отн.-ем порядка : . Единственность наименьшего эл.-та. Наибольший эл.-т мн.-ва с отн.-ем порядка.

2   Группы (часть 1)

2.1  Множества с операцией
  • Внутренняя -арная операция на мн.-ве — отображение, действующее из в (нульарная операция на — выделенный элемент множества ).
  • Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: .
  • Изоморфизмы: . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: . Автоморфизмы: .
  • Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть и — множества с -арной операцией; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) для любых выполнено .
  • Операции над подмножествами: . Примеры: , , .
  • Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: ; коммутативность (абелевость): .
  • Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.

    Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть — полугруппа, и ; тогда значение выражения не зависит от
    расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
  • Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
  • Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций , моноиды отображений , моноиды слов и .
  • Обратимые элементы: . Единственность обратного элемента. Утверждение: .
  • Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ( — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: .
  • Примеры: числовые группы, группы остатков и , группы функций , группы биекций , свободные группы .
  • Группа изометрий пр.-ва : , где .
  • Симметрические группы: . Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.

    Лемма о циклах. Пусть , , числа попарно различны и ; тогда
    , а также .

  • Степени эл.-та группы. Мультипликативные обозначения: , , и . Аддитивные обозн.-я в абелевой (коммутативной) группе: , , и .
2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
  • Подгруппа: . Подгруппа, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подгруппа, содержащая .
  • Утверждение: (в частности, ). Пример: .
  • Отношения и (): () и (). Утверждение: и .
  • Множества классов смежности: и . Теорема Лагранжа. Индекс: .

    Теорема Лагранжа. Пусть — группа, и ; тогда (и, значит, делит ).

  • Порядок элемента: (). Утверждение: пусть ; тогда .
  • Лемма о порядке элемента. Пусть — группа и ; тогда и, если , то делит и .
  • Теорема об обратимых остатках.
    (1) Пусть и ; тогда .
    (2) Пусть ; тогда (в частности, если , то ).
    (3) Пусть , и не делит ; тогда (это малая теорема Ферма).
  • Циклическая группа: . Примеры: для любых , , для некоторых . Теорема о циклических группах.

    Теорема о циклических группах. Пусть — циклическая группа и ; тогда, если , то , и, если , то .

2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
  • Нормальная подгруппа: . Пример: если , то .
  • Сопряжение при помощи эл.-та : . Отнош.-е сопряженности: и сопряжены. Классы сопряженности.
  • Нормальная подгруппа, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но нормальная подгруппа, содержащая . Утверждение: .
  • Ядро и образ гомоморфизма : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

    Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть — группы и ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) — инъекция, если и только если .

  • Факторгруппа: с фактороперациями (). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — группы и ; тогда .

  • Задание групп образующими и соотношениями ( — множество, ): . Пример: .
  • Прямое произведение групп: с покомпонентными операциями. Утверждение: и — гомоморфизмы групп.
  • Теорема о прямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".

3   Кольца (часть 1)

3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
  • Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
  • Примеры: числовые кольца, кольца остатков , кольца функций . Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца : и .
  • Подкольцо: . Подкольцо, порожд. мн.-вом : (в частности, ).
  • Идеал: . Идеал, порожденный мн.-вом : . Пример: если — коммут. кольцо и , то .
  • Ядро и образ гомоморфизма : и . Факторкольцо: с фактороперациями (). Корректность. Теорема о гомоморфизме.

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — кольца и ; тогда .

  • Прямое произв.-е колец: с покомпонент. операциями. Характеристика кольца : , если ; иначе .
  • Кольцо без делителей нуля: и . Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: .
  • Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля , где . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.
3.2  Кольца многочленов
  • Множество многочленов от переменной над кольцом : ; общий вид многочлена: ; операции в .
  • Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в ( — коммут. кольцо): .

    Лемма о степени многочлена. Пусть — кольцо без делителей нуля и ; тогда , а также .

  • Неприводимые многочл. ( — обл. цел.): . Пример: если — поле и , то .
  • Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть — коммутативное кольцо, и старший коэффициент многочлена обратим; тогда
    существуют единственные такие многочлены , что и (обозначения: и ).
  • Кольцо остатков по модулю многочлена ( — поле, ): . Утверждение: .
  • Сопост.-е многочлену полиномиал. функции — гомоморфизм (, ).
  • Сокращенная запись: . Корень многочлена в кольце : . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.

    Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда (и, значит, ).

    Теорема о количестве корней многочлена. Пусть — область целостности и ; тогда , а также,
    если , то существует такой элемент , что (и, значит, — инъекция).

  • Теорема Виета. Пусть — кольцо, , и ; тогда для
    любых выполнено (в частности, и ).
3.3  Поле комплексных чисел
  • Кольцо комплексных чисел: , где . Утверждение: . Комплексные числа как точки плоскости .
  • Вещественная и мнимая части: и . Сопряжение: . Модуль: .
  • Теорема о свойствах комплексных чисел.
    (1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — поле).
    (2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — автоморфизм поля ).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Группа : . Утверждение: . Экспонента от компл. числа : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    (1) Для любых выполнено , а также и .
    (2) Для любых выполнено (и, значит, и ).

  • Тригонометрическая запись: . Группа корней -й степ. из : .
  • Первообразные корни -й степени из . Корни -й степени из : .
  • «Основная теорема алгебры»: — алгебраически замкнутое поле, то есть (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
  • Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
    (1) Пусть , и ; тогда .
    (2) и .
3.4  Тело кватернионов
  • Кольцо кватернионов: , где , а также , , .
  • Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
  • Чистые кватернионы: . Скалярное произвед.-е, векторное произвед.-е, норма в : , , .
  • Утверждение: пусть ; тогда . Сопряжение: . Модуль: .
  • Теорема о свойствах кватернионов.
    (1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
    (2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — антиавтоморфизм тела ).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Группа : . Утверждение: . Экспонента от кватерниона : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    (1) Для любых выполнено , а также и .
    (2) Для любых и таких , что , выполнено (и, значит, ).

  • Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
    (1) Пусть ; тогда — поворот на угол против часовой стрелки вокруг нуля.
    (1') (доказательство только включения ).
    (2) Пусть , и ; тогда — поворот на угол против час. стрелки вокруг оси с напр. вектором .
    (2') (доказательство только включения ).