Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 00:00, 18 сентября 2018

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11 Линейные операторы (часть 2)

11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов

Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором $a$ : $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)$ .
Минимальный многочлен лин. оператора $a$ : $\mu _{a}(a)=0$ , $\mu _{a}$ нормирован, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$ ; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$ .
Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный лин. оператор: $\exists\,m\in\mathbb N_0\,\bigl(a^m=0\bigr)$ . Утверждение: пусть $a$ — нильпот. лин. оператор; тогда $\chi _{a}=x^{\dim V}$ .
Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда $\chi _{a}(a)=0$ .
Алгебраическая и безымянная кратности: $\alpha (a,c)$ и $\beta (a,c)$ — кратности $c$ как корня многочлена $\chi _{a}$ и многочлена $\mu _{a}$ . Теорема о минимальном многочлене.
Теорема о минимальном многочлене. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда $\mu _{a}$ делит $\chi _{a}$
(и, значит, для любых $c\in K$ выполнено $\beta (a,c)\leq \alpha (a,c)$ ), а также $\,\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$ .
Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) если $f\in K[x]$ , то $a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)$ (то есть $\mathrm{Ker}\,f(a)$ — $a$ -инвариантное подпространство);
(2) если $f,g\in K[x]$ и $f$ делит $g$ , то $\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)$ ;
(3) если $k\in \mathbb {N} _{0}$ , $f_1,\ldots,f_k\in K[x]$ и многочлены $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты, то $\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$
(и, значит, $(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)$ ).
Проектор (идемпотент): $a^{2}=a$ ( $\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a$ ). Отражение: $a^2=\mathrm{id}_V$ ( $\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)$ , если $\mathrm {char} \,K\neq 2$ ).
Ряд от лин. оператора $a$ ( $V$ — нормир. пр.-во): $\sum_{k=0}^\infty f_ka^k$ . Достат. условие сходимости ( $V$ — банах. пр.-во, $a\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)$ ): $\sum_{k=0}^\infty|f_k|\|a\|^k<\infty$ .
Экспонента от непрерывного линейн. оператора $a$ в банах. пр.-ве: $\mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Пример: $\mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
Пусть $V$ — банахово пр.-во; тогда для любых $a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)$ выполнено $a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b$ , а также $\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!$ и $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ .

11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

Собственные подпространства: $V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)$ ; геометрическая кратность: $\gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)$ . Лемма о собственных подпространствах.
Лемма о собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ , $k\in \mathbb {N} _{0}$ , $c_1,\ldots,c_k\in K$ и
$c_1,\ldots,c_k$ попарно различны; тогда
(1) $\mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)$ ;
(2) если $C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)$ и $C_1,\ldots,C_k$ — независимые множества, то $C_1\cup\ldots\cup C_k$ — независимое множество;
(3) если $\dim V<\infty$ , то для любых $c\in K$ выполнено $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$ .
Теорема о диагонализации линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(у1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
(у2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть многочлен $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в $K[x]$ );
(у3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора $a$ );
(у4) $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$ .
Обобщенные собственные подпростр.-ва: $V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j$ ; относительные геометрич. кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$ .
Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ ; тогда
(1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)$ и, если $V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)$ , то $V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)$ ;
(2) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)$ ;
(3) $\{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)$ и $V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots$ .
Корневые подпространства: $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$ . Нильпотентные части линейного оператора $a$ : $\mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}$ .
Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ расклад.-ся в
произв.-е многочленов степени $1$ в $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то это условие выполнено для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебр. замкнутости поля $\,\mathbb {C}$ ); тогда
(1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (то есть пространство $V$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора $a$ );
(2) для любых $c\in K$ выполнено $\mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0$ (и, значит, $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный линейный оператор) и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$ .
Жорданова клетка: $\mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\mathbf e_1^2+\ldots+\mathbf e_{n-1}^n$ . Пример: если $a=\mathrm{jc}_n(c)$ , то $\chi_a=\mu_a=(x-c)^n$ и $\forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_j\rangle\bigr)$ .

11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора

$C$ — независимое мн.-во относит.-но $U$ : $\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)$ . $D$ — порождающее мн.-во относит.-но $U$ : $V=U+\langle D\rangle$ .
Базис относительно $U$ — независимое и порождающее множ.-во относительно $U$ . Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).
Первая теорема об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $U\leq V$ и $E\subseteq V$ ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) $E$ — базис пространства $V$ относительно $U$ ;
(у2) $E$ — независимое множество и $V=U\oplus \langle E\rangle$ (и, значит, если $\dim V<\infty$ , то $|E|=\dim V-\dim U$ );
(у3) для любого вектора $v\in V$ существуют единственные такие $u\in U$ и $f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)$ , что $v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e$ ;
(у4) $E$ — максимальное независимое множество относительно $U$ ;
(у5) $E$ — минимальное порождающее множество относительно $U$ .

Вторая теорема об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $U\leq V$ ; тогда
(1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$ ;
(2) из любого порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$ .
Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$ и
$a\in \mathrm {End} (V)$ , а также $j\in \mathbb {N}$ , $V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}$ , $V_j=\mathrm{Ker}\,a^j$ и $V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}$ ; тогда
(1) если $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$ относительно $V_{j}$ , то $a|_C$ — инъекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$ ;
(2) если $\dim V<\infty$ , то $\dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j$ .
Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm{jb}_\Delta(c)$ — прямая сумма жордановых клеток $\mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)$ , где $n_{1},\ldots ,n_{r}$ — длины строк диаграммы Юнга $\Delta$ .
Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$ : высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ — относительные геометрич. кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$ . Корректность опред.-я.
Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в
произведение многочленов степени $1$ в $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то это условие выполнено для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ в силу алгебр. замкнутости поля $\,\mathbb {C}$ );
тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}$ — прямая сумма жордановых блоков $\,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)$ по всем $c\in \mathrm {Spec} (a)$ .
Вычисление рядов от лин. операторов при помощи жордановой нормальной формы. Утверждение: $\sum_{k=0}^\infty f_k\,\mathrm{jc}_n(c)^k=\sum_{l=0}^{n-1}\frac1{l!}\Bigl(\sum_{k=l}^\infty\frac{k!}{(k-l)!}f_kc^{k-l}\Bigr)\,\mathrm{jc}_n(0)^l$ .
Утверждение: $\det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}$ , $\mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T$ и $\,\mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T$ , а также $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(\mathrm e^{\tau\,a})=a\cdot\mathrm e^{\tau\,a}$ . Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$ ; обозначим через $\gamma$ кривую $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathrm{GL}(n,\mathbb C)\!\\\tau&\mapsto\mathrm e^{\tau\,a}\end{align}\!\biggr)$ ; тогда
(1) если $a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb R)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb R)$ , и, если $a\in\mathfrak{sl}(n,\mathbb C)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SL}(n,\mathbb C)$ ;
(2) если $a\in\mathfrak{so}(n)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SO}(n)$ , а также, если $a\in\mathfrak u(n)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm U(n)$ , и, если $a\in\mathfrak{su}(n)$ , то $\,\mathrm{Im}\,\gamma\subseteq\mathrm{SU}(n)$ .

12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

Группа автоморфизмов простр.-ва с ¯-билинейной формой: $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}$ .
Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ , или $K=\mathbb {C}$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ ; тогда $\,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}$ .
Ортогональная группа ( $V$ — вект. пр. над $\mathbb {R}$ , $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ ): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$ ; унитарная группа ( $V$ — вект. пр. над $\mathbb {C}$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ ): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$ .
Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
(1) Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $n=\dim V<\infty$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; тогда
$a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}$ и, если форма $\sigma$ невырождена, то условие " $\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)$ " можно убрать.
(2) Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$ ; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$ .
(3) Пусть $V$ — псевдоунитарное пространство сигнатуры $(p,q)$ и $e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)$ ; тогда $(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)$ .
Матричные ортогонал. группы: $\mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$ , $\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)$ , $\mathrm O(n)$ и $\mathrm{SO}(n)$ .
Матричные унитарные группы: $\mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}$ , $\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)$ , $\mathrm U(n)$ и $\mathrm{SU}(n)$ .
Примеры: $\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$ , $\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}$ и $\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}$ .
Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: $\mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}$ . Теорема об описании изометрий.
Теорема об описании изометрий. Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {R}$ ; тогда $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)$ , а также,
обозначая через $G$ , $F$ и $H$ группу $\,\mathrm{Isom}(V)$ и ее подгруппы $\{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}$ и $\{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}$ соответственно, имеем следующие
факты: $F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}$ , $G=F\circ H$ , $\forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)$ и $F\cong V^+\!$ (и, значит, $\mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)$ ).

12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

Простр.-во симметричных операторов: $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}$ ; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$ .
Простр.-во антисимм. операторов: $\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}$ ; условие в коорд.: $(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}$ .
Множество полож. определенных операторов ( $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ , $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$ ): $\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}$ .
Пример: $V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}$ , $\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,$ и $a\,\colon f\mapsto-f''$ ; тогда $a$ — полож. определенный оператор.
Линейный оператор, сопряженный к линейному оператору $a$ ( $\sigma$ невырождена): $a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)$ ( $\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)$ ).
Сопряженный оператор в координатах: $(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T$ . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
Теорема о свойствах сопряжения. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. простр.-во над полем $K$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и форма $\sigma$ невырождена; тогда
(1) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ выполнено $(a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}$ , $(c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}$ и $(a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}$ (и, значит, отобр.-е ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ —
¯-антиэндоморфизм $K$ -алгебры $\,\mathrm {End} (V)$ ), а также $a^{**}\!=a$ и $\,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}$ ;
(2) $\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}$ , $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}$ и $\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}$ .

Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр.-во над $K$ , $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ , форма $\sigma$ невырождена,
$a\in \mathrm {End} (V)$ и $U\leq V$ ; тогда $a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp$ , а также $\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp$ и $\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}$ .
Форма, связанная с линейным оператором $a$ : $\sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)$ . Форма $\sigma_a$ в коорд.: $(\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$ . Лемма о форме, связанной с оператором.
Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ ; тогда
(1) если форма $\sigma$ невырождена, то отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств;
(2) $\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}$ и $\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}$ ;
(3) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$ , то $\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}$ .
Множество нормальных операторов ( $\sigma$ невырождена): $\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}$ ; условие в коорд. ( $\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n$ ): $a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e$ .

12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах

Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; тогда для любых
$c\in \mathrm {Spec} (a)$ выполнено $V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})$ , а также для любых таких $c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a)$ , что $c\ne c'$ , выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$ .
Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in \mathrm {U} (V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ , где $\varphi \in [0;2\pi )$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$ , где $\beta \in \mathbb {R}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; тогда
$a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$ , $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$ , $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$ , $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$ .
Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$ ; тогда
(1) $a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in\mathrm U(n)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}$ , где $\varphi \in [0;2\pi )$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с числами вида $\beta \,\mathrm {i}$ , где $\beta \in \mathbb {R}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Теорема о спектральном разложении. Пусть $V$ — унитарное пр.-во и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; для любых $c\in \mathbb {C}$ обозначим через $\,p_c$ оператор $\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}$ ; тогда
(1) для любых таких $c,c'\!\in\mathrm{Spec}(a)$ , что $c\ne c'$ , вып.-но $\,p_c^2=p_c=p_c^*\,$ и $\,p_c\!\circ p_{c'}=0$ , а также $|\{c\in\mathbb C\mid p_c\ne0\}|<\infty$ , $\mathrm{id}_V=\sum_{c\in\mathbb C}p_c$ и $a=\sum_{c\in\mathbb C}c\,p_c$ ;
(2) если для любых $c\in \mathbb {C}$ заданы операторы $\,p_c'\in\mathrm{End}(V)$ , удовлетворяющие условиям из пункта (1), то для любых $c\in \mathbb {C}$ выполнено $\,p_c'=p_c$ .
Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
Пусть $V$ — предгильбертово пространство над полем $\,\mathbb {C}$ и $a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)$ ; тогда для любого собственного числа $c$ оператора $a$
выполнено $a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1$ , $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R$ , $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i$ , $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}$ , а также для любых различных
собственных чисел $c$ и $c'$ оператора $a$ выполнено $V_1(a,c)\perp V_1(a,c')$ .
Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).

12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах

Препятствия к диагонализ.-и над $\mathbb {R}$ . $\mathbb {C}$ -Диагональная матрица — блочно-диаг. матр. над $\mathbb {R}$ с блоками разм. $1\!\times\!1$ и блоками ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$ .
$\mathbb {C}$ -Спектр линейного оператора $a$ в конечномерном простр.-ве над $\mathbb {R}$ : $\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)=\{c\in \mathbb {C} \mid \chi _{a}(c)=0\}$ . Пример: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} {\bigl (}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}=\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} ,\alpha -\beta \,\mathrm {i} \}$ .
Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем R. Пусть $V$ — евклидово пространство, $V\neq \{0\}$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $\,\mathrm {Spec} (a)=\varnothing$ ; тогда
(1) существует такое подпространство $U$ пространства $V$ , что $\dim U=2$ , $a(U)\subseteq U$ и, если $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ , то $a^*(U)\subseteq U$ ;
(2) если $\dim V=2$ , то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ выполнено $a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}$ .
Спектральная теорема для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in \mathrm {O} (V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$ -диагон. матрица с числами $1$ , $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\mathrm{SEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\mathrm{AEnd}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$ ${\bigl (}$ $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in\mathrm{NEnd}(V)$ ; тогда
$a\in\mathrm O(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1$ , $a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R$ , $a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i$ , $a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}$ .
Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )$ ; тогда
(1) $a\cdot a^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot a$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(2) $a\in\mathrm O(n)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$ -диагон. матрица с числами $1$ , $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(3) $a\in\mathrm{SMat}(n,\mathbb R)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица ${\bigr )}$ ;
(4) $a\in\mathrm{AMat}(n,\mathbb R)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$ -диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ , где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$ , на диагонали ${\bigr )}$ ;
(5) $a\in\mathrm{SMat}_{>0}(n,\mathbb R)$ $\;\,\Leftrightarrow\;\,$ $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$ ${\bigl (}$ $g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали ${\bigr )}$ .
Теорема Эйлера о вращениях. Пусть $V$ — евклидово пр.-во с ориентацией, $\dim V=3$ и $a\in \mathrm {SO} (V)$ ; тогда существуют такие $e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)$ и
$\varphi \in [0;2\pi )$ , что $a_{e}^{e}={\biggl (}{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\biggr )}$ (и, значит, $a$ — оператор поворота на угол $\varphi$ против час. стрелки вокруг оси с направляющим вектором $e_{1}$ ).
Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пр.-во, $\tau \in \mathrm {SBi} (V)$ и $a$ — лин. оператор, соответств.
форме $\tau$ относит.-но изоморфизма $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto(\,\mid\,)_a\end{align}\!\biggr)$ (то есть $\forall\,v,w\in V\;\bigl((a(v)\!\mid\!w)=\tau(v,w)\bigr)$ ); тогда в $V$ сущ.-т ортонормированный базис,
ортогональный относит.-но формы $\tau$ (то есть $\mathrm {OnOB} (V)\cap \mathrm {OOB} (V,\tau )\neq \varnothing$ ), а также $\{\tau(v,v)\mid v\in V,\,\|v\|=1\}=[\min\mathrm{Spec}(a);\max\mathrm{Spec}(a)]$ .

12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца

Движение со скоростью света: $\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to\mathbb R^4\\\tau&\mapsto\tau\,p+q\end{align}\!\biggr)$ , где $\,p^\mathtt T\eta\,p=0$ ( $\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)$ ). Теорема о сохранении скорости света. Матричная группа Лоренца: $\mathrm O(1,3)$ .
Теорема о сохранении скорости света.
Пусть $\Lambda\in\mathrm{GL}(4,\mathbb R)$ ; тогда след. утверждения эквивалентны: (у1) $\forall\,p\in\mathbb R^4\,\bigl(p^\mathtt T\eta\,p=0\,\Leftrightarrow(\Lambda\,p)^\mathtt T\eta\,(\Lambda\,p)=0\bigr)$ и (у2) $\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=c\,\eta$ , где $c=(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0$ .
Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$ ; тогда $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)$ , а также $\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$ .
(2) Пусть $\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)$ и $(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1$ ; введем следующие обозначения: $\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)$ ( $\varepsilon\in\{1,-1\}$ ), $\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)$ ( $\varphi\in[0;\infty)$ ),
$\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)$ , $\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)$ ( $v,w\in\mathrm S^2\!$ ) и $b=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)$ ; тогда $\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)$ , а также
$\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,b^\mathtt Tv\,\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,b^\mathtt Tb-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3$ и $\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det b$ .
(3) $\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;b\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det b))\end{align}\!\Biggr)$ — сюръективный гомоморфизм групп, и $\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}$ — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через $\,\mathrm{SO}^+(1,3)$ ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: $\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)$ и $\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}$ .
Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: $\mathrm{SO}^+(1,3)$ . Бусты: $\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,v\in\mathrm S^2\bigr\}$ . Повороты: $\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}$ .
Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры $(1,3)$ ; $a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)$ (опред.-е не зависит от выбора базиса).
Спинорная модель пространства Минковского: $\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)$ . Спинорная модель трехмерного евклидова пространства: $\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)$ .
Матрицы Паули: $\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Утверждение: $\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k$ , $\mathrm{tr}(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}$ и $[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{k=1}^32\,\mathrm i\,\varepsilon_{i,j,k}\,\sigma_k$ .
Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Форма $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)$ определяет на $\mathcal M$ структуру пространства Минковского, и $(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)$ .
(2) Сужение на $\mathcal E$ формы из пункта (1), взятое с противопол. знаком, определяет на $\mathcal E$ структуру евклидова пространства, и $(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)$ .
(3) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ и таких $u\in\mathcal E$ , что $\|u\|=1$ , выполнено $u^2=\mathrm{id}_2$ , $\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,$ и $\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u$ .
Теорема о бустах и поворотах. (1) Пусть $\varphi \in \mathbb {R}$ , $u\in\mathcal E$ и $\|u\|=1$ ; тогда $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — буст с быстротой $2\varphi$ вдоль оси с направляющим
вектором $u$ , а также $\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)$ — поворот на угол $2\varphi$ вокруг оси с направляющим вектором $u$ (эскиз доказательства).
(2) Спинорные представления $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ и $\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)$ — изоморфизмы групп (без док.-ва).

13 Многообразия (часть 1)

13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями

$n$ -Мерная система координат на топол. пр.-ве $M$ — гомеоморфизм между откр. мн.-вами в $M$ и $\mathbb {R} ^{n}$ ; отн.-е согласованности: $\tilde\xi\circ\xi^{-1}$ — диффеоморфизм.
$n$ -Мерный атлас на $M$ — множество попарно согласованных $n$ -мерных систем координат на $M$ , области определения которых покрывают $M$ . Примеры.
$n$ -Мерное многообразие $M$ — хаусдорфово со счетной базой топол. пр.-во $M$ с максимальным $n$ -мерным атласом $\mathcal A$ . Примеры: $\mathbb {R} ^{n}$ , откр. мн.-ва в $\mathbb {R} ^{n}$ , $\mathrm S^n$ .
Отобр. $\varphi$ между многообр. $M$ и $P$ гладкое в $m$ , если существ. такие $\xi\in\mathcal A$ и $\rho\in\mathcal D$ , что $m\in\mathrm{Dom}\,\xi$ , $\varphi(m)\in\mathrm{Dom}\,\rho$ и отобр. $\rho\circ\varphi\circ\xi^{-1}\!$ гладкое в $\xi(m)$ .
Утверждение: гладкость отображения не зависит от выбора систем координат. Мн.-во гладких отображений между многообр.-ми $M$ и $P$ : $\mathrm C^\infty\!(M,P)$ .
$\mathrm{Curv}_m(M)=\!\!\!\bigcup_{\alpha\in[-\infty;0),\,\beta\in(0;\infty]}\!\!\!\{\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)\mid\gamma(0)=m\}$ — множество кривых, проходящих через $m$ . $\mathrm C^\infty\!(M)=\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)$ — $\mathbb {R}$ -алгебра функций.
Скорость кривой в координатах ( $\gamma\in\mathrm C^\infty\!((\alpha;\beta),M)$ , $\tau\in(\alpha;\beta)$ ): $\dot\gamma(\tau)^\xi=(\xi\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)\in\mathbb R^n$ ; $i$ -я компонента скорости: $(\dot\gamma(\tau)^\xi)^i=\bigl((\xi\circ\gamma)^i\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(\tau)=\dot\gamma(\tau)^i$ .
Матрица Якоби замены коорд.: $\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)=\mathrm d(\tilde\xi\circ\xi^{-1})(\xi(m))$ ; $(i,k)$ -я компон.: $\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)_k^i=\frac{\partial(\tilde\xi\circ\xi^{-1})^i}{\partial x^k}(\xi(m))=\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))$ . Лемма о замене координат.
Лемма о замене координат. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$ , $m\in M$ , $\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ , $\xi,\tilde\xi\in\mathcal A$ и $m\in\mathrm{Dom}\,\xi\cap\mathrm{Dom}\,\tilde\xi$ ; тогда
(1) $\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\mathrm c_\xi^\tilde\xi(m)\cdot\dot\gamma(0)^\xi$ (это матричная запись) и $\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\dot\gamma(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,\dot\gamma(0)^k\Bigr)$ (это покомпонентная запись);
(2) $\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\,\Leftrightarrow\,\dot\gamma(0)^\tilde\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\tilde\xi\!$ (то есть равенство скоростей кривых в координатах не зависит от выбора системы координат).

13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства

Отнош.-е касания в $m$ ( $\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ ): $\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr)$ . Инвариантная скорость: $\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim$ .
Касательное простр.-во в точке $m$ : $\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim$ . Базисные векторы, определяемые координатами: $\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\,\mathbf e_i)\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(0)$ .
Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на $M$ : $v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k$ и $\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)$ .
Теорема о касательном пространстве. Пусть $M$ — многообразие, $n=\dim M$ , $m\in M$ , $\xi\in\mathcal A$ и $m\in\mathrm{Dom}\,\xi$ ; тогда
(1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ , выбирая такую кривую $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ , что $v=\dot\gamma(0)$ , и обозначая через $v^\xi$ столбец $\dot\gamma(0)^\xi$ , имеем следующий факт:
столбец $v^\xi$ не зависит от выбора кривой $\gamma$ ;
(2) отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\v&\mapsto v^\xi\end{align}\!\biggr)$ — биекция; определим на $\,\mathrm {T} _{m}M$ структуру вект. простр.-ва над $\,\mathbb {R}$ так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом
вект. простр.-в (то есть $\forall\,v,w\in\mathrm T_mM,\,c,d\in\mathbb R\;\bigl((c\,v+d\,w)^\xi=c\,v^\xi+d\,w^\xi\bigr)$ ); тогда эта структура не зависит от выбора системы координат;
(3) множество ${\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}(m){\Bigr \}}$ — базис пространства $\,\mathrm {T} _{m}M$ , и для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ выполнено $v=\sum_{i=1}^n(v^\xi)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)$ .
Кокасательное пр.-во в точке $m$ : $\mathrm T^*_mM=(\mathrm T_mM)^*$ . Базисные ковекторы, опред. координатами: $\mathrm dx^j(m)=\Bigl(\frac\partial{\partial x^j}(m)\Bigr)^{\!*}$ . Строка координат ковектора: $\lambda_\xi$ .
Разложение по базису в $\mathrm T^*_mM$ : $\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_\xi)_j\,\mathrm dx^j(m)$ . Преобр.-я при замене координат: $\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\xi(m))\,\lambda_l$ и $\mathrm dx^\tilde j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^\tilde j}{\partial x^l}(\xi(m))\,\mathrm dx^l(m)$ .
Теорема о дифференциале функции. Пусть $M$ — многообразие, $m\in M$ и $f\in\mathrm C^\infty\!(M)$ ; тогда
(1) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ , выбирая такую кривую $\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)$ , что $v=\dot\gamma(0)$ , и обозначая через $(\mathrm df(m))(v)$ число $(f\circ\gamma)\!\dot{\phantom i}\!(0)$ , имеем следующий
факт: число $(\mathrm df(m))(v)$ не зависит от выбора кривой $\gamma$ ;
(2) для любых $v\in \mathrm {T} _{m}M$ и таких $\xi\in\mathcal A$ , что $m\in\mathrm{Dom}\,\xi$ , выполнено $(\mathrm df(m))(v)=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\cdot v^\xi$ ;
(3) обозначая через $\mathrm df(m)$ отображение $\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\v&\mapsto(\mathrm df(m))(v)\end{align}\!\biggr)$ , имеем следующий факт: $\mathrm df(m)\in\mathrm T^*_mM$ .
Дифференциал функции в коорд. ( $f\in\mathrm C^\infty\!(M)$ ): $\mathrm df(m)_\xi=\mathrm d(f\circ\xi^{-1})(\xi(m))\in\mathbb R_n$ ; $j$ -я компон. дифф.-ла: $(\mathrm df(m)_\xi)_j=\frac{\partial(f\circ\xi^{-1})}{\partial x^j}(\xi(m))=\partial_jf(m)$ .
Произв. Ли функции вдоль вект.: $\mathcal L_vf(m)=(\mathrm df(m))(v)$ . Пример: $\mathcal L_{\frac\partial{\partial x^i}(m)}f(m)=\partial_if(m)$ . Утверждение: $\mathcal L_v(fg)(m)=\mathcal L_vf(m)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_vg(m)$ .

@@ Строка 107: / Строка 107: @@
 <h5>13.2&nbsp; Касательные пространства и кокасательные пространства</h5>
-<ul><li>Отнош.-е касания в <math>m</math> (<math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr)</math>; инвариантная скорость: <math>\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>.
+<ul><li>Отнош.-е касания в <math>m</math> (<math>\gamma,\breve\gamma\in\mathrm{Curv}_m(M)</math>): <math>\gamma\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\breve\gamma\,\Leftrightarrow\,\exists\,\xi\in\mathcal A\;\bigl(m\in\mathrm{Dom}\,\xi\,\land\,\dot\gamma(0)^\xi=\dot{\breve\gamma}(0)^\xi\bigr)</math>. Инвариантная скорость: <math>\dot\gamma(0)=[\gamma]_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\!\in\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>.
 <li>Касательное простр.-во в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Curv}_m(M)/\!\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Базисные векторы, определяемые координатами: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(\tau\mapsto\xi^{-1}(\xi(m)+\tau\,\mathbf e_i)\bigr)\!\dot{\phantom i}\!(0)</math>.
 <li>Теорема о касательном пространстве. Преобразования при замене координат на <math>M</math>: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\xi(m))\,v^k</math> и <math>\frac\partial{\partial x^\tilde i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial x^\tilde i}(\tilde\xi(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)</math>.

Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 00:00, 18 сентября 2018

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11 Линейные операторы (часть 2)

11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов

11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора

12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах

12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах

12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца

13 Многообразия (часть 1)

13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями

13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства

Навигация

Просмотры

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты