Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Версия 21:00, 15 августа 2018

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

14   Тензорные произведения векторных пространств

14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами

• Тензорное произведение пространств: ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимый тензор: ${\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}}$. Ранг тензора ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle \mathrm {rk} (T)}$ есть миним. среди всех таких ${\displaystyle m}$, что ${\displaystyle T}$ равен сумме ${\displaystyle m}$ разл. тензоров.
• Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ — векторные простр.-ва над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  ${\displaystyle V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle}$ и отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k},Y}$ — вект. простр.-ва над полем ${\displaystyle K}$; тогда для любых
  ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$ существ. единств. такой ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)}$, что ${\displaystyle \forall\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ — базисы
  пространств ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ соответственно; тогда все тензоры ${\displaystyle b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}}$, где ${\displaystyle b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}}$, попарно различны и вместе образуют базис
  пространства ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}}$, а также, если ${\displaystyle \dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}}$.
• Тензорное произв.-е тензоров: ${\displaystyle T\otimes T'}$. Тензорное произв.-е линейных операторов (${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle b\in\mathrm{Hom}(W,Z)}$): ${\displaystyle (a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)}$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle U,V,W}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда ${\displaystyle V\otimes K\cong K\otimes V\cong V}$,
  ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W}$ и ${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V}$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,W,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный линейный оператор и, если ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
  (2) ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъект. лин. оператор и, если ${\displaystyle \dim V,\dim W<\infty }$, то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.

14.2  Тензоры типа ${\displaystyle (p,q)}$ и тензорная алгебра

• Пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$ над ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$. Примеры: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}V=V}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)}$.
• Примеры: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)}$ — простр.-во структур алгебры на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)}$ — простр.-во структур коалгебры на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*}$.
• Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle p,q\in\mathbb N_0}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) ${\displaystyle \Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (3) ${\displaystyle \Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)}$ — изоморфизм вект. простр.-в.
• Тензор типа ${\displaystyle (p,q)}$ в координатах: ${\displaystyle T=\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}}$. Примеры: ${\displaystyle v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i}$, ${\displaystyle \lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j}$, ${\displaystyle a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j}$.
• Примеры: ${\displaystyle \sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}}$ — метрический тензор, ${\displaystyle \mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}}$ — форма объема, связанная с упоряд. базисом ${\displaystyle e}$.
• Преобразование при замене базиса: ${\displaystyle T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}}$. Примеры: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$.
• Тензорная алгебра над ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle {\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$ (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V}$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда множество
  ${\displaystyle \bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}}$ — базис алгебры ${\displaystyle \,{\mathcal {T}}(V)}$, и для любых его элементов ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}}$ и ${\displaystyle \,e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!}$ выполнено
  ${\displaystyle (e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!}$, а также ${\displaystyle \,\mathcal T(V)\cong K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]}$ — алгебра многочленов от своб. перем.-х.

14.3  Операции над тензорами

• Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: ${\displaystyle \bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\!j_1',\ldots,j_{q'}'}\!}$. Кронекерово пр.-е матриц.
• Перестановка компонент: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)}$. Действие ${\displaystyle \mathrm{pat}}$ группы ${\displaystyle \mathrm {S} _{k}}$. Перест.-ка в коорд.-х: ${\displaystyle \bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}}$.
• Свертка по ${\displaystyle b}$-й и ${\displaystyle d}$-й позициям: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)}$.
• Свертка по ${\displaystyle b}$-й и ${\displaystyle d}$-й позициям в координатах: ${\displaystyle \bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)}$, ${\displaystyle \mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)}$, ${\displaystyle a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)}$ и ${\displaystyle \lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Bi} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))}$ и ${\displaystyle \flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)}$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Bi} (V)}$ и форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ выполнено ${\displaystyle (\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}}$ (тензор ${\displaystyle (\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)}$ — обратный тензор по отношению к тензору ${\displaystyle \sigma }$);
  (2) под действием канонического изоморфизма ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ тензор ${\displaystyle (\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)}$ переходит в форму ${\displaystyle (\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)}$;
  (3) для любых ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ выполнено ${\displaystyle \sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)}$.
• Опускание индекса с ${\displaystyle b}$-й позиции: ${\displaystyle (\mathrm{id}_V)^{\otimes(b-1)}\!\otimes\flat_\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_V)^{\otimes(p-b)}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes q}}$. Подъем индекса с ${\displaystyle d}$-й поз.-и: ${\displaystyle (\mathrm{id}_V)^{\otimes p}\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(d-1)}\!\otimes\sharp^\sigma\!\otimes(\mathrm{id}_{V^*}\!)^{\otimes(q-d)}}$.
• Опускание индекса с ${\displaystyle b}$-й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): ${\displaystyle T^{i_1,\ldots,i_{b-1}\,\,i_{b+1},\ldots,i_p}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q}\!=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}}$.
• Подъем индекса с ${\displaystyle d}$-й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): ${\displaystyle T^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,i}_{\;\;\;\;\;\;\;\;\,j_1,\ldots,j_{d-1}\,\,j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}\!}$.

15   Симметрические и внешние степени векторных пространств

15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая степень: ${\displaystyle \mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}}$. Внешняя степень: ${\displaystyle \mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}}$.
• Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; обозначим через ${\displaystyle \iota }$ канонический изоморфизм ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota\bigr)}$ (напоминание: ${\displaystyle \mathrm{pat}_u(\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k)=\lambda_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_{u^{-1}(k)}}$ и ${\displaystyle (\mathrm{paf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})}$);
  (2) ${\displaystyle \iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V}$ и ${\displaystyle \,\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV}$ (далее пространства ${\displaystyle \,\mathsf S^kV^*}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{SMulti}_kV}$ отождествляются);
  (3) ${\displaystyle \iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V}$ и ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V}$ (далее пространства ${\displaystyle \,\mathsf\Lambda^kV^*}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{AMulti}_kV}$ отождествляются).
• Оператор симметризации: ${\displaystyle \mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u}$. Оператор альтернирования: ${\displaystyle \mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u}$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k}$ и ${\displaystyle \mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k}$;
  (2) для любых ${\displaystyle T\in {\mathsf {S}}^{k}V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}(T)=T}$ и для любых ${\displaystyle T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}(T)=T}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$, а также ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}}$ — проектор на ${\displaystyle \,{\mathsf {S}}^{k}V}$ и ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}}$ — проектор на ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$).

• Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: ${\displaystyle v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})}$ и ${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})}$. Пример: ${\displaystyle \mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n}$.
• Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle}$ и отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)}$ — симметричный полилинейный оператор;
  (2) ${\displaystyle \mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle}$ и отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)}$ — антисимметричный полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)}$ существует единственный такой ${\displaystyle a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)}$, что ${\displaystyle \forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle \omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)}$ существует единственный такой ${\displaystyle a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)}$, что ${\displaystyle \forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)}$.
• Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
  ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  (1) все тензоры ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}}$, где ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства ${\displaystyle \,{\mathsf {S}}^{k}V}$;
  (2) все тензоры ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}}$, где ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{k}}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$;
  (3) ${\displaystyle \dim {\mathsf {S}}^{k}V={\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}}$ и ${\displaystyle \,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.
• Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$): ${\displaystyle a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})}$ и ${\displaystyle a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})}$.