Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 21:00, 5 августа 2018

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов

• Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм. Алгебра, порожденная лин. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)}$.
• Минимальный многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ нормирован, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle f\in K[x]}$, то ${\displaystyle a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,f(a)}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство);
  (2) если ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)}$;
  (3) если ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_1,\ldots,f_k\in K[x]}$ и многочлены ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$
  (и, значит, ${\displaystyle (f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0\;\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$).
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^2=a{}}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a{}}$). Отражение: ${\displaystyle a^2=\mathrm{id}_V{}}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V{})}$) (здесь ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$).
• Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентный линейный оператор: ${\displaystyle \exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a}$ — нильпот. лин. оператор; тогда ${\displaystyle \chi_a=x^n}$.

  Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.

• Кратности: ${\displaystyle \alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}}$ (алгебраич. кратность), ${\displaystyle \beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}}$. Теорема о минимальном многочлене.

  Теорема о минимальном многочлене. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \beta (a,c)\leq \alpha (a,c)}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$.

11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора

• Собственные подпространства: ${\displaystyle V_1(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)}$; геометрическая кратность: ${\displaystyle \gamma (a,c)=\dim V_{1}(a,c)}$. Лемма о собственных подпространствах.

  Лемма о собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k\in K}$ и
  ${\displaystyle c_1,\ldots,c_k}$ попарно различны; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{Ker}\,((x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_k))(a)=V_1(a,c_1)\oplus\ldots\oplus V_1(a,c_k)}$;
  (2) если ${\displaystyle C_1\subseteq V_1(a,c_1),\ldots,C_k\subseteq V_1(a,c_k)}$ и ${\displaystyle C_1,\ldots,C_k}$ — независимые множества, то ${\displaystyle C_1\cup\ldots\cup C_k}$ — независимое множество;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)}$.

• Теорема о диагонализуемых линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица;
  (у2) ${\displaystyle \mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)}$ (то есть многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$);
  (у3) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму собственных подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (у4) ${\displaystyle \dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)}$.
• Обобщенные собственные подпростр.-ва: ${\displaystyle V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j}$; относительные геометрич. кратности: ${\displaystyle \gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)}$.
• Жорданова клетка: ${\displaystyle \mathrm{jc}_n(c)=c\cdot\mathrm{id}_n+\underline e_1^2+\underline e_2^3+\ldots+\underline e_{n-1}^n}$; если ${\displaystyle a=\mathrm{jc}_n(c)}$, то ${\displaystyle \mu_a=\chi_a=(x-c)^n}$ и ${\displaystyle \forall\,j\in\{0,\ldots,n\}\;\bigl(V_j(a,c)=\langle\underline e_1,\ldots,\underline e_j\rangle\bigr)}$.
• Теорема об обобщенных собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle V_j(a,c)\subseteq V_{j+1}(a,c)}$ и, если ${\displaystyle V_j(a,c)=V_{j+1}(a,c)}$, то ${\displaystyle V_{j+1}(a,c)=V_{j+2}(a,c)}$;
  (2) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle \beta(a,c)\le j\;\Leftrightarrow\,V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_j(a,c)}$;
  (3) ${\displaystyle \{0\}\subset V_1(a,c)\subset\ldots\subset V_{\beta(a,c)-1}(a,c)\subset V_{\beta(a,c)}(a,c)}$ и ${\displaystyle V_{\beta(a,c)}(a,c)=V_{\beta(a,c)+1}(a,c)=\ldots=V_{\alpha(a,c)}(a,c)=\ldots}$.
• Корневые подпространства: ${\displaystyle V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)}$. Нильпотентные части линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)=a|_{V(a,c)\to V(a,c)}\!-c\cdot\mathrm{id}_{V(a,c)}}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено
  для любых линейных операторов ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда
  (1) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)}$ (то есть пространство ${\displaystyle V}$ раскладывается в прямую сумму корневых подпространств линейного оператора ${\displaystyle a}$);
  (2) для любых ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{nil}(a,c)^{\beta(a,c)}\!=0}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ — нильпотентный линейный оператор) и ${\displaystyle \dim V(a,c)=\alpha (a,c)}$.

11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle \forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow f=0\bigr)}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во относит.-но ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle V=U+\langle D\rangle}$.
• Базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ — независ. и порожд. подмн.-во в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$. Две теоремы об относительных базисах (без подробных доказательств).

  Теорема 1 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle E\subseteq V}$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle E}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (у2) ${\displaystyle E}$ — независимое множество и ${\displaystyle V=U\oplus \langle E\rangle }$ (и, значит, если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle |E|=\dim V-\dim U}$);
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существуют единственные такие ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle f\in\mathrm{FinFunc}(E,K)}$, что ${\displaystyle v=u+\sum_{e\in E}f(e)\,e}$;
  (у4) ${\displaystyle E}$ — максимальное независимое множество относительно ${\displaystyle U}$;
  (у5) ${\displaystyle E}$ — минимальное порождающее множество относительно ${\displaystyle U}$.

  Теорема 2 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно дополнить до базиса в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (2) из любого порождающего подмножества в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно выделить базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$ и
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, а также ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle V_{j-1}=\mathrm{Ker}\,a^{j-1}}$, ${\displaystyle V_j=\mathrm{Ker}\,a^j}$ и ${\displaystyle V_{j+1}=\mathrm{Ker}\,a^{j+1}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j+1}}$ относит.-но ${\displaystyle V_{j}}$, то ${\displaystyle a|_C}$ — инъекция и ${\displaystyle a(C)}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j}}$ относит.-но ${\displaystyle V_{j-1}}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V_j-\dim V_{j-1}\ge\dim V_{j+1}-\dim V_j}$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: ${\displaystyle \mathrm{jb}_\Delta(c)}$ — прямая сумма жордановых клеток ${\displaystyle \mathrm{jc}_{n_1}\!(c),\ldots,\mathrm{jc}_{n_r}\!(c)}$, где ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ — длины строк диаграммы Юнга ${\displaystyle \Delta }$.
• Диаграмма Юнга ${\displaystyle \Delta (a,c)}$: высоты столбцов диаграммы ${\displaystyle \Delta (a,c)}$ — относительные геометрич. кратности ${\displaystyle \gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)}$. Корректность опред.-я.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Обозначение: ${\displaystyle \mathrm{jnf}(a)}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$ и ${\displaystyle f\in K[x]}$; тогда ${\displaystyle f(a)=\mathrm c_e^\underline e\!\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_\underline e^e}$.

  Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен
  ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено для любых линейных операторов
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что матрица ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ —
  прямая сумма жордановых блоков ${\displaystyle \,\mathrm{jb}_{\Delta(a,c)}(c)}$ по всем ${\displaystyle c\in \mathrm {Spec} (a)}$.

• Многочлен (ряд) от жордановой клетки: ${\displaystyle f(\mathrm{jc}_n(c))=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}\,\mathrm{jc}_n(0)^k}$. Экспонента от лин. операт. ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Пусть ${\displaystyle V}$ — банахово пространство и ${\displaystyle a,b\in\mathrm{End}(V)\cap\mathrm C^0\!(V,V)}$; тогда ${\displaystyle a\circ b=b\circ a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V\!}$ и ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$.
  (2) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$; тогда ${\displaystyle \det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^{a^\mathtt T}\!\!=(\mathrm e^a)^\mathtt T\!}$ и ${\displaystyle \mathrm e^{\overline a^\mathtt T}\!\!=\bigl(\overline{\mathrm e^a}\bigr)^\mathtt T}$.

• Однородная система линейных дифференциальных уравн.-й: ${\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=a\cdot y}$ (${\displaystyle y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb R^n)}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )}$). Решение системы: ${\displaystyle y(t)=\mathrm e^{ta}\!\cdot v}$, где ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$.

12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы

• Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: ${\displaystyle \mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Iso}((V,\sigma),(V,\sigma))=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),a(w))=\sigma(v,w)\bigr)\}}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$, или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (a(v),a(v))=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$.
• Ортогональная группа (${\displaystyle V}$ — в. пр. над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$): ${\displaystyle \mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )}$. Унитарная группа (${\displaystyle V}$ — в. пр. над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$): ${\displaystyle \mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )}$.
• Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
  (1) Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  ${\displaystyle a\in\mathrm{Aut}(V,\sigma)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)\,\land\,(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}=\sigma_{e,e}}$ и, если форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то условие "${\displaystyle \,a_e^e\in\mathrm{GL}(n,K)}$" можно убрать.
  (2) Пусть ${\displaystyle V}$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры ${\displaystyle (p,q)}$ и ${\displaystyle e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)}$; тогда ${\displaystyle (\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\mathrm c_\tilde e^e=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)}$.
  (3) Пусть ${\displaystyle V}$ — псевдоунитарное пространство сигнатуры ${\displaystyle (p,q)}$ и ${\displaystyle e,\tilde e\in\mathrm{OnOB}(V)}$; тогда ${\displaystyle (\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)}$.
• Матричные ортогонал. группы: ${\displaystyle \mathrm O(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb R)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}}$, ${\displaystyle \mathrm{SO}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)\cap\mathrm O(p,q)}$, ${\displaystyle \mathrm O(n)}$, ${\displaystyle \mathrm{SO}(n)}$.
• Матричные унитарные группы: ${\displaystyle \mathrm U(p,q)=\{a\in\mathrm{Mat}(p+q,\mathbb C)\mid a^\mathtt T\!\cdot\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\!\cdot\overline a=\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\}}$, ${\displaystyle \mathrm{SU}(p,q)=\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)\cap\mathrm U(p,q)}$, ${\displaystyle \mathrm U(n)}$, ${\displaystyle \mathrm{SU}(n)}$.
• Примеры: ${\displaystyle \mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}}$, ${\displaystyle \mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\\sin\varphi&-\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}}$, ${\displaystyle \mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\-\overline b&\overline a\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid a,b\in\mathbb C,\,|a|^2\!+|b|^2\!=1\bigr\}}$.
• Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: ${\displaystyle \mathrm{Isom}(V)=\{a\in\mathrm{Bij}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\mathrm{dist}(a(v),a(w))=\mathrm{dist}(v,w)\bigr)\}}$. Теорема об описании изометрий.

  Теорема об описании изометрий. Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {R} }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}=\mathrm O(V)}$;
  (2) обозначая через ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle H}$ группу ${\displaystyle \,\mathrm{Isom}(V)}$ и ее подгруппы ${\displaystyle \{\bigl(v\mapsto v+z\bigr)\!\mid z\in V\}}$ и ${\displaystyle \{a\in\mathrm{Isom}(V)\mid a(0)=0\}}$ соответственно, имеем
  следующие факты: ${\displaystyle F\cap H=\{\mathrm{id}_V\}}$, ${\displaystyle G=F\circ H}$ и ${\displaystyle \forall\,h\in H\;\bigl(h\circ F\circ h^{-1}\!\subseteq F\bigr)}$, а также ${\displaystyle F\cong V^+\!}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm{Isom}(V)\cong V^+\!\leftthreetimes\mathrm O(V)}$).

12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы

• Пр.-во симметричных операторов: ${\displaystyle \mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)\}}$; условие в коорд.: ${\displaystyle (a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}}$.
• Пр.-во антисимм. операторов: ${\displaystyle \mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(a(v),w)=-\sigma(v,a(w))\bigr)\}}$; условие в коорд.: ${\displaystyle (a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}=-\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}}$.
• Мн.-во положительно опред. операторов (${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$): ${\displaystyle \mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{SEnd}(V,\sigma)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(a(v),v)>0\bigr)\}}$.
• Пример: ${\displaystyle V=\{f\in\mathrm C^\infty\!([\alpha;\beta],\mathbb C)\mid\forall\,k\in\mathbb N_0\,\bigl(f^{(2k)}\!(\alpha)=f^{(2k)}\!(\beta)=0\bigr)\}}$, ${\displaystyle \sigma\,\colon(f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!f\,\overline g\,}$ и ${\displaystyle a\,\colon f\mapsto-f''}$; тогда ${\displaystyle a}$ — положит. определ. оператор.
• Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle \sigma }$ невырождена): ${\displaystyle a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)}$ (${\displaystyle \Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)}$).
• Сопряженный оператор в координатах: ${\displaystyle (a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T}$. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.

  Теорема о свойствах сопряжения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$ и форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle c\in K}$ выполнено ${\displaystyle (a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}}$, ${\displaystyle (c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}}$ и ${\displaystyle (a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — ¯-антиэндоморфизм ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle \,\mathrm {End} (V)}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}}$, а также ${\displaystyle \,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}}$;
  (3) если ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, то для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle a^{**}\!=a}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}}$.

  Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда ${\displaystyle a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp}$, а также ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}}$.

• Форма, связанная с линейн. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)}$. Форма ${\displaystyle \sigma_a}$ в коорд.: ${\displaystyle (\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}}$. Лемма о форме, связанной с оператором.

  Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$; тогда
  (1) если форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (2) если ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}}$;
  (3) если ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)}$ и ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то ${\displaystyle \,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}}$.

• Мн.-во нормальных операторов (${\displaystyle \sigma }$ невырождена): ${\displaystyle \mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}}$; условие в коорд. (${\displaystyle \sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n}$): ${\displaystyle a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e}$.

12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах

• Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть ${\displaystyle V}$ — евклидово или унитарное пространство и ${\displaystyle a\in\mathrm{NEnd}(V)}$; тогда
  для любых ${\displaystyle c\in \mathrm {Spec} (a)}$ выполнено ${\displaystyle V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})}$, а также для любых таких ${\displaystyle c,c'\in\mathrm{Spec}(a)}$, что ${\displaystyle c\ne c'}$, выполнено ${\displaystyle V_1(a,c)\perp V_1(a,c')}$.
• Спектральная теорема для унитарных пространств. Пусть ${\displaystyle V}$ — унитарное пространство и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle a\in\mathrm{NEnd}(V)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (2) ${\displaystyle a\in \mathrm {U} (V)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица с числами вида ${\displaystyle \mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}}$, где ${\displaystyle \varphi \in [0;2\pi )}$, на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (3) ${\displaystyle a\in\mathrm{SEnd}(V)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (4) ${\displaystyle a\in\mathrm{AEnd}(V)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица с числами вида ${\displaystyle \beta \,\mathrm {i} }$, где ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$, на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (5) ${\displaystyle a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Следствие из спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть ${\displaystyle V}$ — унитарное пространство и ${\displaystyle a\in\mathrm{NEnd}(V)}$; тогда
  ${\displaystyle a\in\mathrm U(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1}$, ${\displaystyle a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R}$, ${\displaystyle a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i}$, ${\displaystyle a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}}$.
• Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$; тогда
  (1) ${\displaystyle a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle g\cdot a\cdot g^{-1}}$ — диагональная матрица${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (2) ${\displaystyle a\in\mathrm U(n)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle g\cdot a\cdot g^{-1}}$ — диагональная матрица с числами вида ${\displaystyle \mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}}$, где ${\displaystyle \varphi \in [0;2\pi )}$, на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (3) ${\displaystyle a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle g\cdot a\cdot g^{-1}}$ — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (4) ${\displaystyle a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle g\cdot a\cdot g^{-1}}$ — диагональная матрица с числами вида ${\displaystyle \beta \,\mathrm {i} }$, где ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$, на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$;
  (5) ${\displaystyle a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)}$${\displaystyle \;\,\Leftrightarrow\;\,}$${\displaystyle \exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;}$${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle g\cdot a\cdot g^{-1}}$ — диагональная матрица с положительными числами на диагонали${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Теорема о спектральном разложении нормального оператора. Пусть ${\displaystyle V}$ — унитарное пространство и ${\displaystyle a\in\mathrm{NEnd}(V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle a=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!c\cdot \mathrm {proj} _{V_{1}(a,c)}}$ (это спектральное разложение оператора ${\displaystyle a}$) и для любых ${\displaystyle f\in\mathbb C[x]}$ выполнено ${\displaystyle f(a)=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!f(c)\cdot\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}}$;
  (2) для любых таких ${\displaystyle c,c'\in\mathrm{Spec}(a)}$, что ${\displaystyle c\ne c'}$, выполнено ${\displaystyle \,\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}^2\!=\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}\!=\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}^*}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}\!\circ\mathrm{proj}_{V_1(a,c')}\!=0}$.
• Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
  Пусть ${\displaystyle V}$ — предгильбертово пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)}$; тогда для любого собственного числа ${\displaystyle c}$
  оператора ${\displaystyle a}$ выполнено ${\displaystyle a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1}$, ${\displaystyle a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R}$, ${\displaystyle a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i}$, ${\displaystyle a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}}$, а также
  для любых двух различных собственных чисел ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c'}$ оператора ${\displaystyle a}$ выполнено ${\displaystyle V_1(a,c)\perp V_1(a,c')}$.
• Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).