Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 55: | Строка 55: | ||
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию;<br>(2) <math>\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(3) <math>\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и <math>\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х | + | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\bigcup_{k=0}^\infty\,\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по неубыванию;<br>(2) <math>\bigcup_{k=0}^n\,\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых его элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>\,e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math><br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'}e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(3) <math>\mathsf S(V)\cong K[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и <math>\,\mathsf\Lambda(V)\cong K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]</math> — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.</i></ul> |
− | + | ||
<h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | <h3>3.6 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> (часть 2)</h3> | ||
Строка 72: | Строка 71: | ||
<li>Пример: <math>\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math>. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | <li>Пример: <math>\sharp*(\flat\,v_1\wedge\ldots\wedge\flat\,v_{n-1})=v_1\times\ldots\times v_{n-1}</math>. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. | ||
<p><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориент., <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}</math>, где<br><math>j_{k+1},\ldots,j_n</math> образуют дополнительный набор к <math>j_1,\ldots,j_k</math> (то есть <math>\{j_1,\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}</math> и <math>j_{k+1}\!<\ldots<j_n</math>); в частности, <math>*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}</math>.</i></p> | <p><u>Лемма об операторе Ходжа в координатах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевклид. пр.-во с ориент., <math>\sigma=(\,\mid\,)</math>, <math>n=\dim V</math>, <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>j_{k+1},\ldots,j_n\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>(*\,\omega)_{j_{k+1},\ldots,j_n}\!=\frac1{k!}\,\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le i_1,\ldots,i_k\le n}\!\!\!\varepsilon_{i_1,\ldots,i_k,j_{k+1},\ldots,j_n}\omega^{i_1,\ldots,i_k}</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}_{>0}(V)</math> и <math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>*\,(e^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_k})=(e_{j_1}\!\!\mid\!e_{j_1})\cdot\ldots\cdot(e_{j_k}\!\!\mid\!e_{j_k})\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}e^{j_{k+1}}\!\wedge\ldots\wedge e^{j_n}</math>, где<br><math>j_{k+1},\ldots,j_n</math> образуют дополнительный набор к <math>j_1,\ldots,j_k</math> (то есть <math>\{j_1,\ldots,j_n\}=\{1,\ldots,n\}</math> и <math>j_{k+1}\!<\ldots<j_n</math>); в частности, <math>*\,\mathrm{vol}=(-1)^{\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)}</math>.</i></p> | ||
− | <p><u>Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевкл. пр.-во с ориент., <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> | + | <p><u>Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — псевдоевкл. пр.-во с ориент., <math>q=\mathrm{ind}_{<0}((\,\mid\,))</math>, <math>n=\dim V</math> и <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>*\!*\omega=(-1)^{k(n-k)+q}\,\omega</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{AMulti}_kV&\to\mathrm{AMulti}_{n-k}V\\\omega&\mapsto*\,\omega\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств);<br>(2) для любых <math>\psi,\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math> выполнено <math>\psi\wedge*\,\omega=(\psi\!\mid\!\omega)\,\mathrm{vol}</math>, где <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\,\psi(\sharp^{\wedge k}\omega)</math> (в координатах <math>(\psi\!\mid\!\omega)=\frac1{k!}\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_k\le n}\!\!\!\psi_{j_1,\ldots,j_k}\omega^{j_1,\ldots,j_k}</math>);<br>(3) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>*\,(\flat\,v\wedge*\,\flat\,w)=(-1)^q\,(v\!\mid\!w)</math>;<br>(4) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(-1)^q\,((u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u)</math>.</i></p></ul> |
<h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | <h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | ||
Строка 82: | Строка 81: | ||
<li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4</math>, <math>l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\mathcal E</math> подпространство <math>\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!</math> в <math>\mathcal M</math>, имеем следующие факты: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>, сужение формы из пункта (3), взятое с<br>противоположным знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>, а также <math>\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)</math>.</i> | <li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4</math>, <math>l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\mathcal E</math> подпространство <math>\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!</math> в <math>\mathcal M</math>, имеем следующие факты: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>, сужение формы из пункта (3), взятое с<br>противоположным знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>, а также <math>\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)</math>.</i> | ||
<li>Утверждение: <math>\forall\,\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathcal E\;\bigl(\|u\|=1\,\Rightarrow\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,\land\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u\bigr)</math>. Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва). | <li>Утверждение: <math>\forall\,\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathcal E\;\bigl(\|u\|=1\,\Rightarrow\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\mathrm{ch}\,\varphi\;\mathrm{id}_2+\mathrm{sh}\,\varphi\;u\,\land\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!=\cos\varphi\;\mathrm{id}_2+\sin\varphi\;\mathrm i\,u\bigr)</math>. Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва). | ||
− | <p><u>Теорема о бустах и поворотах.</u> <i>Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст в <math>\mathcal M</math> с быстротой <math>2\,\varphi</math> вдоль оси с направляющим<br>вектором <math>u</math>, и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот в <math>\mathcal M</math> на угол <math>2\,\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math>.</i></p> | + | <p><u>Теорема о бустах и поворотах.</u> <i>Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст в <math>\mathcal M</math> с быстротой <math>2\,\varphi</math> вдоль оси с направляющим<br>вектором <math>u</math>, и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот в <math>\mathcal M</math> на угол <math>2\,\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math>.</i></p></ul> |
− | + | ||
<h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | <h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | ||
Строка 99: | Строка 97: | ||
<h5>3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5> | <h5>3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5> | ||
<ul><li>Метрический тензор сигнатуры <math>(p,q)</math>: <math>g\in\mathrm{Tens}_2(M)</math> и для любых <math>m\in M</math> выполнено <math>g(m)</math> — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры <math>(p,q)</math> на <math>\mathrm T_mM</math>. | <ul><li>Метрический тензор сигнатуры <math>(p,q)</math>: <math>g\in\mathrm{Tens}_2(M)</math> и для любых <math>m\in M</math> выполнено <math>g(m)</math> — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры <math>(p,q)</math> на <math>\mathrm T_mM</math>. | ||
− | <li>Риманово многообразие — | + | <li>Риманово многообразие — многообразие с положит. определ. метрическим тензором. Примеры: <math>\mathbb R^n</math>, подмногообразия в <math>\mathbb R^n</math>, простр.-во Лобачевского <math>\mathrm H^n</math>. |
− | <li>Бемоль, диез и оператор Ходжа на псевдоримановом | + | <li>Псевдориманово многообр. сигнат. <math>(p,q)</math> — многообр. с метрич. тензором сигнат. <math>(p,q)</math>. Канонич. форма объема на псевдориман. многообр. с ориентацией. |
− | <li>Градиент функции: <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df</math>; ротор и дивергенция вект. поля: <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v</math> и <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v</math>; лапласиан функции: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)=*\,\mathrm d\,{*}\,\mathrm df</math>.</ul> | + | <li>Бемоль, диез и оператор Ходжа на псевдоримановом многообразии с ориент.: <math>(\flat\,v)(m)=\flat_{g(m)}(v(m))</math>, <math>(\sharp\,\lambda)(m)=\sharp^{g(m)}(\lambda(m))</math> и <math>(*\,\omega)(m)=*\,(\omega(m))</math>. |
+ | <li>Градиент функции: <math>\mathrm{grad}\,f=\sharp\,\mathrm df</math>; ротор и дивергенция вект. поля: <math>\mathrm{rot}\,v=\sharp\,{*}\,\mathrm d\,\flat\,v</math> и <math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,\flat\,v</math>; лапласиан функции: <math>\Delta f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}\,f)=*\,\mathrm d\,{*}\,\mathrm df</math>. | ||
+ | <li>Длина кривой <math>\gamma</math> (<math>\forall\,\tau\in(\alpha;\beta)\;\bigl(g(\dot\gamma(\tau),\dot\gamma(\tau))>0\bigr)</math>): <math>\int_\alpha^\beta\!\!\!\sqrt{g(\dot\gamma(\tau),\dot\gamma(\tau))}\,\mathrm d\tau</math>. Натуральная параметризация кривой <math>\gamma</math>: <math>\forall\,\tau\in(\alpha;\beta)\;\bigl(g(\dot\gamma(\tau),\dot\gamma(\tau))=1\bigr)</math>.</ul> |
Версия 20:00, 18 декабря 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензор типа в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых его элементов и выполнено
, а также — алгебра многочленов от своб. перем.-х.
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание индекса с -й позиции: . Подъем индекса с -й поз.-и: .
- Опускание индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в располож.-и индексов): .
- Подъем индекса с -й позиции в коорд. (применение операции выражается в расположении индексов): .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (далее пространства и отождествляются);
(3) и (далее пространства и отождествляются). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв.-е векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где числа суть числа , упорядоченные по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых его элементов и
выполнено , где суть , упоряд. по неубыванию;
(3) — алгебра многочленов от коммут. перем.-х, и — алгебра многочленов от антикоммут. перем.-х.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): ; если , то .
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Векторное произведение в коорд.-х: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией: . Пример: .
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где
образуют дополнительный набор к (то есть и ); в частности, .Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из пункта (3), имеем след. факты: и . - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Спинорная модель пр.-ва Минковского: — пр.-во эрмит.-х матриц разм. . Матрицы Паули: , , .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(4) Обозначая через подпространство в , имеем следующие факты: , сужение формы из пункта (3), взятое с
противоположным знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и , а также . - Утверждение: . Теорема о бустах и поворотах (эскиз доказ.-ва).
Теорема о бустах и поворотах. Пусть , и ; тогда — буст в с быстротой вдоль оси с направляющим
вектором , и — поворот в на угол вокруг оси с направляющим вектором .
3.7 Многообразия (часть 2)
3.7.1 Тензорные поля, дифференциальные формы, ориентация многообразия
- Расслоение тензоров типа : . Пр.-во тензорн. полей типа : .
- Тенз. поле в коорд.: . Примеры: , .
- Преобр. координат тензорного поля при замене координат на : .
- Пр.-во дифференц. -форм: . В коорд.-х: .
- Алгебра дифференциальных форм: — ассоциат. суперкоммут. -алгебра с . Теорема о внешнем дифференциале (эскиз доказ.-ва).
Теорема о внешнем дифференциале. Пусть — многообразие; тогда существует единственный такой линейный оператор , что
(то есть — супердифференцирование алгебры ), а также
для любых выполнено и (напоминание: ). - Дифференциал в коорд.-х: . Утверждение: . Замкнутая форма: . Точная форма: .
- Ориентация многообразия — такой выбор ориентаций всех пространств , где , что .
- Атлас : ; тогда .
3.7.2 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
- Метрический тензор сигнатуры : и для любых выполнено — невыр. симметр. билин. форма сигнатуры на .
- Риманово многообразие — многообразие с положит. определ. метрическим тензором. Примеры: , подмногообразия в , простр.-во Лобачевского .
- Псевдориманово многообр. сигнат. — многообр. с метрич. тензором сигнат. . Канонич. форма объема на псевдориман. многообр. с ориентацией.
- Бемоль, диез и оператор Ходжа на псевдоримановом многообразии с ориент.: , и .
- Градиент функции: ; ротор и дивергенция вект. поля: и ; лапласиан функции: .
- Длина кривой (): . Натуральная параметризация кривой : .