Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
<li>Разложимый тензор: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> есть миним. среди всех таких <math>m</math>, что <math>T</math> равен сумме <math>m</math> разл. тензоров. | <li>Разложимый тензор: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> есть миним. среди всех таких <math>m</math>, что <math>T</math> равен сумме <math>m</math> разл. тензоров. | ||
<li><u>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда<br><math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> — полилинейный оператор.</i> | <li><u>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда<br><math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> — полилинейный оператор.</i> | ||
− | <li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда для любых<br><math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> | + | <li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — вект. простр.-ва над полем <math>K</math>; тогда для любых<br><math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существ. единств. такой <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> |
<li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы<br>пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис<br>пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i> | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы<br>пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис<br>пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i> | ||
<li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е линейных операторов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | <li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е линейных операторов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | ||
Строка 44: | Строка 44: | ||
<li>Симметрич. и внешнее произв. векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math> и <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Пример: <math>\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | <li>Симметрич. и внешнее произв. векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math> и <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Пример: <math>\mathrm{vol}^e\!=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math>. | ||
<li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | <li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | ||
− | <li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует | + | <li><u>Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)</math> существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)</math> существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)</math>, что <math>\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)\bigr)</math>.</i> |
<li><u>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>,<br><math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | <li><u>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>,<br><math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | ||
<li>Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math>.</ul> | <li>Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math>.</ul> | ||
Строка 75: | Строка 75: | ||
<h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | <h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | ||
<ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\,\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). | <ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)\mid\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta\,\}</math>, где <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Двумерная сфера: <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math> (<math>\|v\|=\!\sqrt{v^\mathtt Tv\,}</math>). | ||
− | <li><u>Теорема о | + | <li><u>Теорема о матричной группе Лоренца.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,u=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr)</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,u=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>u,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>f=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon f^\mathtt Tu\;\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2f^\mathtt Tf-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det f</math>.<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det f))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп, и <math>\{\mathrm{id}_4,-\mathrm{id}_4,\eta,-\eta\}</math> — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}=</math><br><math>=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\mathrm{ch}\,\varphi\,f\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;\infty),\,\varphi=0\,\Rightarrow\,u=w=\biggl(\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}\biggr),\,\varphi>0\,\Rightarrow\,u,w\in\mathrm S^2,\,f\in\mathrm{GL}_{>0}(3,\mathbb R),\,w=f^\mathtt Tu,\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2f^\mathtt Tf-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3\bigr\}</math>.</i> |
<li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;u^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,u\,u^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;u^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;u&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,u\,u^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in\mathbb R,\,u\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid h\in\mathrm{SO}(3)\bigr\}</math>. | ||
<li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). | <li>Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>; <math>a\in\mathrm{SO}^+(V)\,\Leftrightarrow\,\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;\bigl(a_e^e\in\mathrm{SO}^+(1,3)\bigr)</math> (это опр.-е не завис. от выбора базиса). | ||
− | <li> | + | <li>Спинорная модель пр.-ва Минковского: <math>\mathcal M=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math> — пр.-во эрмит.-х матриц разм. <math>2\times2</math>. Матрицы Паули: <math>\sigma_1=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_2=\bigl(\begin{smallmatrix}0&-\mathrm i\\\mathrm i&0\end{smallmatrix}\bigr)</math>, <math>\sigma_3=\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)</math>. |
− | <li><u>Теорема о | + | <li><u>Теорема о спинорной модели пространства Минковского.</u><br><i>(1) Пусть <math>i,j\in\{1,2,3\}</math>; тогда <math>\sigma_i\,\sigma_j=\delta_{i,j}\,\mathrm{id_2}+\sum_{k=1}^3\varepsilon_{i,j,k}\,\mathrm i\,\sigma_k</math> и <math>\,\mathrm{tr}\,(\sigma_i\,\sigma_j)=2\,\delta_{i,j}</math>.<br>(2) Пусть <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr),\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)\!\in\mathbb R^4</math>, <math>l=l^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3l^i\sigma_i</math> и <math>m=m^0\,\mathrm{id}_2+\sum_{i=1}^3m^i\sigma_i</math>; тогда <math>l=\Bigl(\begin{smallmatrix}l^0+l^3&l^1-l^2\,\mathrm i\!\\l^1+l^2\,\mathrm i&l^0-l^3\end{smallmatrix}\Bigr)</math> и <math>\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2=\Biggl(\begin{smallmatrix}l^0\\l^1\\l^2\\l^3\end{smallmatrix}\Biggr)^{\!\!\mathtt T}\eta\Biggl(\begin{smallmatrix}m^0\\m^1\\m^2\\m^3\end{smallmatrix}\!\Biggr)</math>.<br>(3) Форма <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M\times\mathcal M&\to\mathbb R\\(l,m)&\mapsto\bigl(\mathrm{tr}\,l\;\mathrm{tr}\,m-\mathrm{tr}\,(l\,m)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)</math> определяет на <math>\mathcal M</math> структуру пространства Минковского, и <math>(\mathrm{id_2},\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal M)</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\mathcal E</math> подпространство <math>\langle\mathrm{id}_2\rangle^\perp\!</math> в <math>\mathcal M</math>, имеем следующие факты: <math>\mathcal E=\mathcal M\cap\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)=\mathrm i\;\mathfrak{su}(2)</math>, сужение формы из пункта (3), взятое с<br>противоположным знаком, определяет на <math>\mathcal E</math> структуру евклидова пространства, и <math>(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\in\mathrm{OnOB}(\mathcal E)</math>, а также <math>\forall\,u\in\mathcal E\;\bigl(u^2=\|u\|^2\,\mathrm{id}_2\bigr)</math>.</i> |
− | <li><u>Теорема об описании бустов и поворотов в | + | <li><u>Теорема об описании бустов и поворотов в спинорной модели.</u> <i>Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>, <math>u\in\mathcal E</math> и <math>\|u\|=1</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — буст с быстротой <math>2\,\varphi</math><br>вдоль оси с направляющим вектором <math>u</math>, и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal M&\to\mathcal M\\l&\mapsto\mathrm e^{-\varphi\,\mathrm i\,u}\,l\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот на угол <math>2\,\varphi</math> вокруг оси с направляющим вектором <math>u</math>.</i> |
− | <li>Спинорные | + | <li>Спинорные представления: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SL}(2,\mathbb C)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}^+(\mathcal M)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,\overline g^\mathtt T\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}&\to\mathrm{SO}(\mathcal E)\\\{g,-g\}&\mapsto\bigl(\,l\mapsto g\,l\,g^{-1}\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).</ul> |
<h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | <h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | ||
− | + | <h5>3.7.1 Дифференциальные формы</h5> | |
− | <ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | + | <!--<ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. |
<li>Отнош.-е согласованности: <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем координат (атлас). | <li>Отнош.-е согласованности: <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем координат (атлас). | ||
<li>Множество гладких отображений (морфизмов): <math>\mathrm C^\infty\!(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty\!(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>. | <li>Множество гладких отображений (морфизмов): <math>\mathrm C^\infty\!(M,N)=\{\varphi\in\mathrm{Map}(M,N)\mid\exists\,\alpha\in\mathcal A_M,\,\beta\in\mathcal B_N\;\bigl(\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}\!\in\mathrm C^\infty\!(\mathrm{Codom}\,\alpha,\mathrm{Codom}\,\beta)\bigr)\}</math>. | ||
Строка 93: | Строка 93: | ||
<li>Скорость в координатах (<math>p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)</math>, где <math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math>, <math>\tau\in U</math>): <math>p'(\tau)^\alpha\!=\mathrm dp(\tau)_{\mathrm{id}_U}^\alpha\!\!=(\alpha\circ p)'(\tau)\in\mathbb R^n</math> и <math>p'(\tau)^i=(p'(\tau)^\alpha)^i=\bigl((\alpha\circ p)^i\bigr)'(\tau)</math>. | <li>Скорость в координатах (<math>p\in\mathrm C^\infty\!(U,M)</math>, где <math>U</math> — откр. в <math>\mathbb R</math>, <math>\tau\in U</math>): <math>p'(\tau)^\alpha\!=\mathrm dp(\tau)_{\mathrm{id}_U}^\alpha\!\!=(\alpha\circ p)'(\tau)\in\mathbb R^n</math> и <math>p'(\tau)^i=(p'(\tau)^\alpha)^i=\bigl((\alpha\circ p)^i\bigr)'(\tau)</math>. | ||
<li>Дифференциал в координатах (<math>f\in\mathrm{Func}(M)</math>): <math>\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha^{\mathrm{id}_\mathbb R}\!=\mathrm d(f\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))\in\mathbb R_n</math> и <math>\partial_jf(m)=(\mathrm df(m)_\alpha)_j=\frac{\partial(f\circ\alpha^{-1})}{\partial x^j}(\alpha(m))</math>. | <li>Дифференциал в координатах (<math>f\in\mathrm{Func}(M)</math>): <math>\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha^{\mathrm{id}_\mathbb R}\!=\mathrm d(f\circ\alpha^{-1})(\alpha(m))\in\mathbb R_n</math> и <math>\partial_jf(m)=(\mathrm df(m)_\alpha)_j=\frac{\partial(f\circ\alpha^{-1})}{\partial x^j}(\alpha(m))</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math>, <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math>,<br><math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) <math>p'(0)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)\cdot p'(0)^\alpha</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\partial_\tilde jf(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\alpha(m))\,\partial_lf(m)\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(3) <math>\forall\,\breve p\in\mathrm{Paths}(M)_m\;\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\Leftrightarrow\,p'(0)^\tilde\alpha\!=\breve p'(0)^\tilde\alpha\bigr)</math> и <math>\forall\,\breve f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\Leftrightarrow\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\tilde\alpha\bigr)</math>.</i></ul> | + | <li><u>Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math>, <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math>,<br><math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) <math>p'(0)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)\cdot p'(0)^\alpha</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\partial_\tilde jf(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\alpha(m))\,\partial_lf(m)\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(3) <math>\forall\,\breve p\in\mathrm{Paths}(M)_m\;\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\Leftrightarrow\,p'(0)^\tilde\alpha\!=\breve p'(0)^\tilde\alpha\bigr)</math> и <math>\forall\,\breve f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\Leftrightarrow\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\tilde\alpha\bigr)</math>.</i></ul>--> |
− | <h5>3.7.2 | + | <h5>3.7.2 Псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)</h5> |
− | <ul><li>Расслоения над <math>M</math>: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>, <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>. | + | <!--<ul><li>Расслоения над <math>M</math>: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>, <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>. |
<li>Отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>; векторные поля: <math>\mathrm{Vect}(M)=\mathrm{Tens}^1(M)</math><br>(неформально: тензорное поле типа <math>(p,q)</math> на <math>M</math> — поле тензоров типа <math>(p,q)</math> в касательных пространствах к <math>M</math>, гладко зависящих от точки). | <li>Отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>; векторные поля: <math>\mathrm{Vect}(M)=\mathrm{Tens}^1(M)</math><br>(неформально: тензорное поле типа <math>(p,q)</math> на <math>M</math> — поле тензоров типа <math>(p,q)</math> в касательных пространствах к <math>M</math>, гладко зависящих от точки). | ||
<li>Симметрич. и внешние <math>k</math>-формы: <math>\mathrm{STens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf S^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math><br>(неформально: симметрич.<math>\,/\,</math>внешняя <math>k</math>-форма — поле симметрич.<math>\,/\,</math>антисимметрич. тензоров типа <math>(0,k)</math> в касат. пр.-вах, гладко зависящих от точки). | <li>Симметрич. и внешние <math>k</math>-формы: <math>\mathrm{STens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf S^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math><br>(неформально: симметрич.<math>\,/\,</math>внешняя <math>k</math>-форма — поле симметрич.<math>\,/\,</math>антисимметрич. тензоров типа <math>(0,k)</math> в касат. пр.-вах, гладко зависящих от точки). |
Версия 00:00, 14 ноября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существ. единств. такой , что
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензоры типа в координ.-х: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых элементов и этого базиса
выполнено (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
на базисе отображение , — изоморфизм алгебр с ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание с -й поз.-и на -ю: .
- Подъем с -й позиции на -ю: .
- Опускание и подъем индексов в коорд.-х: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единственный такой , что ;
(2) для любых существует единственный такой , что . - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых элементов и этого
базиса выполнено , где числа суть числа , упоряд. по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа
суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Вект. произведение в координатах: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: (здесь ).
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где числа
суть числа из множества , упорядоченные по возрастанию (в частности, и ).Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных простр.-в);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: , где . Двумерная сфера: ().
- Теорема о матричной группе Лоренца.
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) — сюръективный гомоморфизм групп, и — трансверсаль слоев этого гомоморфизма.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: и
. - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пр.-во Минковского — псевдоевкл. пр.-во сигнатуры ; (это опр.-е не завис. от выбора базиса).
- Спинорная модель пр.-ва Минковского: — пр.-во эрмит.-х матриц разм. . Матрицы Паули: , , .
- Теорема о спинорной модели пространства Минковского.
(1) Пусть ; тогда и .
(2) Пусть , и ; тогда и .
(3) Форма определяет на структуру пространства Минковского, и .
(4) Обозначая через подпространство в , имеем следующие факты: , сужение формы из пункта (3), взятое с
противоположным знаком, определяет на структуру евклидова пространства, и , а также . - Теорема об описании бустов и поворотов в спинорной модели. Пусть , и ; тогда — буст с быстротой
вдоль оси с направляющим вектором , и — поворот на угол вокруг оси с направляющим вектором . - Спинорные представления: и — изоморфизмы групп (без доказ.-ва).