Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 75: | Строка 75: | ||
<h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | <h5>3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца</h5> | ||
<ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)</math>. Обозн.: <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math> (<math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta</math>), <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math>. Теорема о свойствах группы <math>\mathrm O(1,3)</math>. | <ul><li>Матричная группа Лоренца: <math>\mathrm O(1,3)</math>. Обозн.: <math>\eta=\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-\mathrm{id}_3\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math> (<math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\eta\,\Lambda=\eta</math>), <math>\mathrm S^2\!=\{v\in\mathbb R^3\!\mid\|v\|=1\}</math>. Теорема о свойствах группы <math>\mathrm O(1,3)</math>. | ||
− | <p><u>Теорема о свойствах группы <b>O(1,3)</b>.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w= | + | <p><u>Теорема о свойствах группы <b>O(1,3)</b>.</u><br><i>(1) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math>; тогда <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,\Lambda^\mathtt T\!\in\mathrm O(1,3)</math>, а также <math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>.<br>(2) Пусть <math>\Lambda\in\mathrm{Mat}(4,\mathbb R)</math> и <math>(\Lambda^\bullet_0)^\mathtt T\eta\,\Lambda^\bullet_0=\Lambda^0_\bullet\,\eta\,(\Lambda^0_\bullet)^\mathtt T\!=1</math>; введем следующие обозначения: <math>\varepsilon=\mathrm{sign}(\Lambda^0_0)</math> (<math>\varepsilon\in\{1,-1\}</math>), <math>\varphi=\mathrm{arcch}(|\Lambda^0_0|)</math> (<math>\varphi\in[0;\infty)</math>),<br><math>\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=0_{\mathbb R^3}</math>, <math>\varphi>0\,\Rightarrow\,v=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_0\\\Lambda^2_0\\\Lambda^3_0\end{smallmatrix}\Biggr)\land\,w=\frac1{\mathrm{sh}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^0_1\\\Lambda^0_2\\\Lambda^0_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math> (<math>v,w\in\mathrm S^2\!</math>) и <math>h=\frac1{\mathrm{ch}\,\varphi}\Biggl(\begin{smallmatrix}\Lambda^1_1&\Lambda^1_2&\Lambda^1_3\\\Lambda^2_1&\Lambda^2_2&\Lambda^2_3\\\Lambda^3_1&\Lambda^3_2&\Lambda^3_3\end{smallmatrix}\Biggr)</math>; тогда <math>\Lambda=\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, а также<br><math>\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Leftrightarrow\,w=\varepsilon\,h^\mathtt Tv\;\land\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,h^\mathtt Th-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3</math> и <math>\,\Lambda\in\mathrm O(1,3)\,\Rightarrow\,\det\Lambda\in\{1,-1\}\,\land\,\det\Lambda=\varepsilon\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\det h</math>.<br>(3) Отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathrm O(1,3)&\to\{1,-1\}\times\{1,-1\}\\\!\Bigl(\begin{smallmatrix}\varepsilon\,\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)\!&\mapsto(\varepsilon,\mathrm{sign}(\det h))\end{align}\!\Biggr)</math> — сюръективный гомоморфизм групп.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)</math> ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)\triangleleft\mathrm O(1,3)</math> и <math>\,\mathrm{SO}^+(1,3)=\{\Lambda\in\mathrm{SO}(1,3)\mid\Lambda^0_0\ge1\}=</math><br><math>=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\,\mathrm{sh}\,\varphi\;w^\mathtt T\!\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\mathrm{ch}\,\varphi\;h\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;\infty),\,\varphi=0\,\Rightarrow\,v=w=0_{\mathbb R^3},\,\varphi>0\,\Rightarrow\,v,w\in\mathrm S^2,\,h\in\mathrm{GL}_{>0}(3,\mathbb R),\,w=h^\mathtt Tv,\,(\mathrm{ch}\,\varphi)^2\,h^\mathtt Th-(\mathrm{sh}\,\varphi)^2\,w\,w^\mathtt T\!=\mathrm{id}_3\bigr\}</math>.</i></p> |
+ | <li>Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты: <math>\{\mathrm{id}_4\}\cup\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{ch}\,\varphi&\mathrm{sh}\,\varphi\;v^\mathtt T\\\mathrm{sh}\,\varphi\;v&\,\mathrm{id}_3+(\mathrm{ch}\,\varphi-1)\,v\,v^\mathtt T\!\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in(0;\infty),\,v\in\mathrm S^2\bigr\}</math>. Повороты: <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&\mathrm{SO}(3)\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. | ||
+ | <li>Пространство Минковского — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры <math>(1,3)</math>. Обознач.-е: <math>\mathrm{Herm}(2)=\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(2,\mathbb C)</math> — пр.-во эрмитовых матриц размера <math>2\times2</math>. | ||
<!--<li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — евклидово пространство с билинейной формой <math>(v,w)\mapsto\mathrm{Re}(v\,\overline w)</math>).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi+\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w+\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i>--></ul> | <!--<li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — евклидово пространство с билинейной формой <math>(v,w)\mapsto\mathrm{Re}(v\,\overline w)</math>).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi+\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w+\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i>--></ul> |
Версия 03:00, 12 ноября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существует единств. такой лин. оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда ,
и . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензоры типа в координ.-х: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых элементов и этого базиса
выполнено (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
на базисе отображение , — изоморфизм алгебр с ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - Опускание с -й поз.-и на -ю: .
- Подъем с -й позиции на -ю: .
- Опускание и подъем индексов в коорд.-х: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над ,
и ; обозначим через канонический изоморфизм ; тогда
(1) (напоминание: и );
(2) и (и, значит, и ). - Оператор симметризации: . Оператор альтернирования: . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и , а также и (и, значит, — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. и внешнее произв. векторов: и . Пример: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. и внешняя степени лин. оператора (): и .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрическое произв.-е и внешнее произв.-е тензоров (, ): и .
- Симметриз.-я и альтерн.-е в коорд.: и .
- Симметрическое и внешнее произв. в коорд.: и .
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное простр.-во над полем ,
, и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых элементов и этого
базиса выполнено , где числа суть числа , упоряд. по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа
суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.6 Геометрия в векторных пространствах над или (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Каноническая форма объема псевдоевклид. пр.-ве с ориентацией (): (если , то ).
- Корректность опр.-я объема. Объем в коорд.: . Лемма об объеме и матрице Грама.
Лемма об объеме и матрице Грама. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориентацией, , , и ; тогда
и, если попарно ортогональны, то . - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, ,
и ; тогда
(1) ;
(2) если , то . - Вект. произв.-е в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ().
- Вект. произведение в координатах: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — евклидово пространство с ориентацией, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и . - Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: (здесь ).
- Пример: . Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении.
Лемма об операторе Ходжа в координатах. Пусть — псевдоевклид. пр.-во с ориент., , , и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых и выполнено , где числа
суть числа из множества , упорядоченные по возрастанию (в частности, и ).Теорема об операторе Ходжа и внешнем произведении. Пусть — псевдоевкл. пр.-во с ориент., , и ; тогда
(1) для любых выполнено (и, значит, — изоморфизм векторных простр.-в);
(2) для любых выполнено , где (в координатах );
(3) для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено .
3.6.2 Специальная ортохронная группа Лоренца
- Матричная группа Лоренца: . Обозн.: (), . Теорема о свойствах группы .
Теорема о свойствах группы O(1,3).
(1) Пусть ; тогда , а также .
(2) Пусть и ; введем следующие обозначения: (), (),
, () и ; тогда , а также
и .
(3) Отображение — сюръективный гомоморфизм групп.
(4) Обозначая через ядро гомоморфизма из п.-та (3), имеем след. факты: и
. - Матричная специальная ортохронная группа Лоренца: . Бусты: . Повороты: .
- Пространство Минковского — псевдоевклидово пр.-во сигнатуры . Обознач.-е: — пр.-во эрмитовых матриц размера .