Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 96: Строка 96:
 
<li>Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в <math>R[x]</math> (<math>R</math> — коммут. кольцо): <math>g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)</math>.
 
<li>Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в <math>R[x]</math> (<math>R</math> — коммут. кольцо): <math>g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)</math>.
 
<p><u>Лемма о степени многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо без делителей нуля и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g</math>, а также <math>R[x]^\times\!=R^\times</math>.</i></p>
 
<p><u>Лемма о степени многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо без делителей нуля и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g</math>, а также <math>R[x]^\times\!=R^\times</math>.</i></p>
<li>Неприводимые многочлены: <math>\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}</math>. Пример: если <math>K</math> — поле, <math>a,b\in K</math> и <math>a\ne0</math>, то <math>a\,x+b\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>.
+
<li>Неприводимые многочл. (<math>R</math> — обл. цел.): <math>\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}</math>. Пример: если <math>K</math> — поле и <math>\deg f=1</math>, то <math>f\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>.
 
<li><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим; тогда<br>существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=q\,f+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math> (обозначения: <math>q=g\;\mathrm{div}\,f</math> и <math>t=g\;\mathrm{mod}\,f</math>).</i>
 
<li><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим; тогда<br>существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=q\,f+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math> (обозначения: <math>q=g\;\mathrm{div}\,f</math> и <math>t=g\;\mathrm{mod}\,f</math>).</i>
 
<li>Кольцо остатков по модулю многочлена <math>f</math> (<math>K</math> — поле, <math>f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>): <math>K[x]/f=\{a\in K[x]\mid\deg a<\deg f\}</math>. Утверждение: <math>K[x]/(f)\cong K[x]/f</math>.
 
<li>Кольцо остатков по модулю многочлена <math>f</math> (<math>K</math> — поле, <math>f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>): <math>K[x]/f=\{a\in K[x]\mid\deg a<\deg f\}</math>. Утверждение: <math>K[x]/(f)\cong K[x]/f</math>.
 
<li>Сопост.-е многочлену полиномиал. функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_A\colon R[x]&\to\mathrm{Func}(A,A)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(a\mapsto f_na^n+\ldots+f_0\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм (<math>R\le A</math>, <math>\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)</math>).
 
<li>Сопост.-е многочлену полиномиал. функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_A\colon R[x]&\to\mathrm{Func}(A,A)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(a\mapsto f_na^n+\ldots+f_0\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм (<math>R\le A</math>, <math>\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)</math>).
<li>Обозначение: <math>f(a)=\bigl(\mathrm{pf}_A(f)\bigr)(a)</math>. Корень <math>a</math> многочлена <math>f</math> в кольце <math>A</math>: <math>f(a)=0</math>. Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.
+
<li>Сокращенная запись: <math>f(a)=\bigl(\mathrm{pf}_A(f)\bigr)(a)</math>. Корень <math>a</math> многочлена <math>f</math> в кольце <math>A</math>: <math>f(a)=0</math>. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
 
<p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math> (и, значит, <math>(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0</math>).</i></p>
 
<p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math> (и, значит, <math>(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0</math>).</i></p>
<p><u>Теорема о корнях многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности и <math>f\in R[x]\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда <math>|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\le\deg f</math>.</i></p>
+
<p><u>Теорема о количестве корней многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности и <math>f\in R[x]\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда <math>|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\le\deg f</math>, а также,<br>если <math>|R|=\infty</math>, то существует такой <math>r\in R</math>, что <math>f(r)\ne0</math> (и, значит, <math>\mathrm{pf}_R</math> — инъекция).</i></p>
<p><u>Следствие из теоремы о корнях многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности, <math>|R|=\infty</math>, <math>f\in R[x]</math> и <math>\forall\,r\in R\;\bigl(f(r)=0\bigr)</math>; тогда <math>f=0</math>.</i></p>
+
 
<li><u>Теорема Виета.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо, <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R</math> и <math>x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)</math>; тогда для<br>любых <math>k\in\{0,\ldots,n-1\}</math> выполнено <math>f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}</math> (в частности, <math>f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n</math> и <math>f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)</math>).</i></ul>
 
<li><u>Теорема Виета.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо, <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R</math> и <math>x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)</math>; тогда для<br>любых <math>k\in\{0,\ldots,n-1\}</math> выполнено <math>f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}</math> (в частности, <math>f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n</math> и <math>f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)</math>).</i></ul>
  
Строка 124: Строка 123:
 
<li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
 
<li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i>
 
<li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 
<li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3,\,\varphi\in[0;\pi)\}</math>).</i></p>
+
<p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3,\,\varphi\in[0;\pi]\}</math>).</i></p>
<li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> является поворотом пространства <math>\,\mathbb C</math> вокруг нуля на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> является поворотом пространства <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> вокруг оси с единичным<br>направляющим вектором <math>u</math> на угол <math>2\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul>
+
<li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг нуля на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг оси с направл. вектором <math>u</math> на угол <math>2\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul>

Версия 20:00, 24 октября 2017

1  Основы алгебры

Читателю может потребоваться усилие воли, чтобы увидеть в математике воспитателя образного мышления. Чаще с ней связы-
вается представление о жесткой логике и вычислительном формализме. Но это — лишь дисциплина, линейка, которой нас учат
не умирать. Вычислительный формализм математики — мысль, экстериоризованная до такой степени, что она на время отчуж-
дается и превращается в технологический процесс. Математический образ формируется в затяжном приживлении к человеку
этой временно отторгнутой мысли. Думать — значит вычислять, волнуясь.
Ю.И. Манин. Математика и физика
Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем
и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а
не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.
П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества
  • Логические операции: — отрицание («не»), — дизъюнкция («или»), — конъюнкция («и»), — импликация («влечет»), — эквивалентность.
  • Кванторы: — существование («существует»), — всеобщность («для любых»), — существование и единственность («существует единственный»).
  • Принадлежность: . Равенство множеств: . Включение и строгое включение между множ.-вами: и .
  • Кванторы по элементам множества: и . Задание множества перечислением элементов: . Пустое множество: .
  • Выделение подмножества: . Операции над мн.-вами: — объединение, — пересечение, — разность, — прямое произведение.
  • Теорема об операциях над множествами. Пусть — множества; тогда
    (1) и , а также и ;
    (2) и ;
    (3) если — множество и , то и .
  • Числовые множества: , , , — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, , ().
  • Множество подмножеств мн.-ва : . Прямая степень мн.-ва (): . Порядок (количество элементов) мн.-ва : ().
1.1.2  Отображения
  • Множество отображений, действующих из мн.-ва в мн.-во : . Область отобр.-я : , кообласть отобр.-я : . Примеры.
  • Образ множества относительно (): , прообраз множества относительно (): , образ отображения : .
  • Сужения отображения ( и ): и . Сокращенная запись образа: .
  • Инъекции: . Сюръекции: .
  • Биекции: . Композиция отображений и : . Тождественное отображение: .
  • Теорема о композиции отображений. Пусть — множества и ; тогда
    (1) , и, если — множества, и , то ;
    (2) если , то — инъекция, если и только если ;
    (3) — сюръекция, если и только если ;
    (4) — биекция, если и только если .
  • Отображение , обратное к отображению : и . Пример: взаимно обратные биекции и .
1.1.3  Отношения
  • Множество отношений между множествами и : . Область отношения : , кообласть отношения : . Примеры.
  • Отношения эквивалентности: .
  • Класс эквивалентности элемента : . Утверждение: . Фактормножество: .
  • Разбиения: . Утверждение: . Трансверсали.
  • Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть — множество; тогда отображение — биекция.
  • Отношение : . Мн.-во слоев отобр.-я : (). Факторотображение — биекция.
  • Утверждение: . Принцип Дирихле. Пусть — множества и ; тогда .

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией
  • Внутренняя -арная операция на мн.-ве — отображение, действующее из в (нульарная операция на — выделенный элемент множества ).
  • Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: .
  • Изоморфизмы: . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: . Автоморфизмы: .
  • Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть и — множества с -арной операцией; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) для любых выполнено .
  • Обозначение по Минковскому: . Примеры: , , .
  • Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: ; коммутативность (абелевость): .
  • Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.

    Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть — полугруппа, и ; тогда значение выражения не зависит от
    расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)
  • Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
  • Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций , моноиды отображений , моноиды слов и .
  • Обратимые элементы: . Единственность обратного элемента. Утверждение: .
  • Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ( — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: .
  • Примеры: числовые группы, группы остатков и , группы функций , группы биекций , свободные группы .
  • Группа изометрий пр.-ва : , где .
  • Симметрические группы: . Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.

    Лемма о циклах. Пусть , , числа попарно различны и ; тогда
    , а также .

  • Мультипликативные обозначения: , , , (). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: , , , ().
1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы
  • Подгруппа: . Подгруппа, порожденная мн.-вом : — наименьшая подгруппа, содержащая .
  • Утверждение: (в частности, ). Пример: .
  • Отношения и (): () и (). Утверждение: и .
  • Множества классов смежности: и . Теорема Лагранжа. Индекс: .

    Теорема Лагранжа. Пусть — группа, и ; тогда (и, значит, делит ).

  • Порядок элемента: (). Утверждение: пусть ; тогда .
  • Лемма о порядке элемента. Пусть — группа и ; тогда и, если , то делит и .
  • Теорема об обратимых остатках.
    (1) Пусть и ; тогда .
    (2) Пусть ; тогда (в частности, если , то ).
    (3) Пусть , и не делит ; тогда (это малая теорема Ферма).
  • Циклическая группа: . Примеры: для любых , , для некоторых . Теорема о циклических группах.

    Теорема о циклических группах. Пусть — циклическая группа и ; тогда, если , то , и, если , то .

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
  • Нормальная подгруппа: . Пример: если , то .
  • Сопряжение при помощи эл.-та : . Отнош.-е сопряженности: и сопряжены. Классы сопряженности.
  • Нормальная подгруппа, порожденная множеством : — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая . Утверждение: .
  • Ядро и образ гомоморфизма : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.

    Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть — группы и ; тогда
    (1) для любых и выполнено ;
    (2) — инъекция, если и только если .

  • Факторгруппа: с фактороперациями (). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — группы и ; тогда .

  • Задание группы образующими и соотношениями ( — множество, ): . Пример: .
  • Прямое произведение групп: с покомпонентными операциями. Утверждение: и — гомоморфизмы групп.
  • Теорема о прямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
    (1) , и ;
    (2) ;
    (3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".

1.3  Кольца (часть 1)

1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами
  • Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
  • Примеры: числовые кольца, кольца остатков , кольца функций . Аддитивная и мультипликативная группы кольца : и .
  • Подкольцо: . Подкольцо, порожденное мн.-вом : . Подкольца вида .
  • Идеал: . Идеал, порожд. мн.-вом : . Пример: если — коммут. кольцо и , то .
  • Ядро и образ гомоморфизма : и . Факторкольцо: с фактороперациями (). Корректность. Теорема о гомоморфизме.

    Теорема о гомоморфизме. Пусть — кольца и ; тогда .

  • Прямое произв.-е колец: с покомпонент. операциями. Характеристика кольца : , если ; иначе .
  • Кольцо без делителей нуля: и . Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: .
  • Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля , где . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.
1.3.2  Кольца многочленов
  • Множество многочленов от переменной над кольцом : ; общий вид многочлена: ; операции в .
  • Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в ( — коммут. кольцо): .

    Лемма о степени многочлена. Пусть — кольцо без делителей нуля и ; тогда , а также .

  • Неприводимые многочл. ( — обл. цел.): . Пример: если — поле и , то .
  • Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть — коммутативное кольцо, и старший коэффициент многочлена обратим; тогда
    существуют единственные такие многочлены , что и (обозначения: и ).
  • Кольцо остатков по модулю многочлена ( — поле, ): . Утверждение: .
  • Сопост.-е многочлену полиномиал. функции — гомоморфизм (, ).
  • Сокращенная запись: . Корень многочлена в кольце : . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.

    Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда (и, значит, ).

    Теорема о количестве корней многочлена. Пусть — область целостности и ; тогда , а также,
    если , то существует такой , что (и, значит, — инъекция).

  • Теорема Виета. Пусть — кольцо, , и ; тогда для
    любых выполнено (в частности, и ).
1.3.3  Поле комплексных чисел
  • Кольцо комплексных чисел: , где . Утверждение: . Комплексные числа как точки плоскости .
  • Вещественная и мнимая части: и . Сопряжение: . Модуль: .
  • Теорема о свойствах комплексных чисел.
    (1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — поле).
    (2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — автоморфизм поля ).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Группа : . Утверждение: . Экспонента от компл. числа : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    (1) Для любых выполнено , а также и .
    (2) Для любых выполнено (и, значит, и ).

  • Тригонометрическая запись: . Группа корней -й степ. из : .
  • Первообразные корни -й степени из . Корни -й степени из : .
  • «Основная теорема алгебры»: — алгебраически замкнутое поле, то есть (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
  • Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
    (1) Пусть , и ; тогда .
    (2) и .
1.3.4  Тело кватернионов
  • Кольцо кватернионов: , где , а также , , .
  • Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
  • Чистые кватернионы: . Скалярное произвед.-е, норма, векторное произвед.-е в : , , .
  • Сопряж.-е: . Модуль: . Утверждение: .
  • Теорема о свойствах кватернионов.
    (1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
    (2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — антиавтоморфизм тела ).
    (3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
  • Группа : . Утверждение: . Экспонента от кватерниона : . Теорема о свойствах экспоненты.

    Теорема о свойствах экспоненты.
    (1) Для любых выполнено , а также и .
    (2) Для любых и выполнено (и, значит, ).

  • Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
    (1) Пусть ; тогда — поворот вокруг нуля на угол против часовой стрелки.
    (1') (доказательство только включения ).
    (2) Пусть и ; тогда — поворот вокруг оси с направл. вектором на угол против часовой стрелки.
    (2') (доказательство только включения ).