Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 96: | Строка 96: | ||
<li>Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в <math>R[x]</math> (<math>R</math> — коммут. кольцо): <math>g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)</math>. | <li>Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в <math>R[x]</math> (<math>R</math> — коммут. кольцо): <math>g\,|\,f\;\Leftrightarrow\;\exists\,h\in R[x]\;\bigl(f=g\,h\bigr)</math>. | ||
<p><u>Лемма о степени многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо без делителей нуля и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g</math>, а также <math>R[x]^\times\!=R^\times</math>.</i></p> | <p><u>Лемма о степени многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо без делителей нуля и <math>f,g\in R[x]</math>; тогда <math>\deg\,(f\,g)=\deg f+\deg g</math>, а также <math>R[x]^\times\!=R^\times</math>.</i></p> | ||
− | <li>Неприводимые | + | <li>Неприводимые многочл. (<math>R</math> — обл. цел.): <math>\mathrm{Irr}(R[x])=(R[x]\!\setminus\!R^\times\!)\setminus\{g\,h\mid g,h\in R[x]\!\setminus\!R^\times\!\}</math>. Пример: если <math>K</math> — поле и <math>\deg f=1</math>, то <math>f\in\mathrm{Irr}(K[x])</math>. |
<li><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим; тогда<br>существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=q\,f+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math> (обозначения: <math>q=g\;\mathrm{div}\,f</math> и <math>t=g\;\mathrm{mod}\,f</math>).</i> | <li><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим; тогда<br>существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=q\,f+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math> (обозначения: <math>q=g\;\mathrm{div}\,f</math> и <math>t=g\;\mathrm{mod}\,f</math>).</i> | ||
<li>Кольцо остатков по модулю многочлена <math>f</math> (<math>K</math> — поле, <math>f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>): <math>K[x]/f=\{a\in K[x]\mid\deg a<\deg f\}</math>. Утверждение: <math>K[x]/(f)\cong K[x]/f</math>. | <li>Кольцо остатков по модулю многочлена <math>f</math> (<math>K</math> — поле, <math>f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}</math>): <math>K[x]/f=\{a\in K[x]\mid\deg a<\deg f\}</math>. Утверждение: <math>K[x]/(f)\cong K[x]/f</math>. | ||
<li>Сопост.-е многочлену полиномиал. функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_A\colon R[x]&\to\mathrm{Func}(A,A)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(a\mapsto f_na^n+\ldots+f_0\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм (<math>R\le A</math>, <math>\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)</math>). | <li>Сопост.-е многочлену полиномиал. функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_A\colon R[x]&\to\mathrm{Func}(A,A)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(a\mapsto f_na^n+\ldots+f_0\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм (<math>R\le A</math>, <math>\forall\,a\in A,\,r\in R\;\bigl(a\,r=r\,a\bigr)</math>). | ||
− | <li> | + | <li>Сокращенная запись: <math>f(a)=\bigl(\mathrm{pf}_A(f)\bigr)(a)</math>. Корень <math>a</math> многочлена <math>f</math> в кольце <math>A</math>: <math>f(a)=0</math>. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. |
<p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math> (и, значит, <math>(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0</math>).</i></p> | <p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math> (и, значит, <math>(x-r)\,|\,f\;\Leftrightarrow\,f(r)=0</math>).</i></p> | ||
− | <p><u>Теорема о | + | <p><u>Теорема о количестве корней многочлена.</u> <i>Пусть <math>R</math> — область целостности и <math>f\in R[x]\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда <math>|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\le\deg f</math>, а также,<br>если <math>|R|=\infty</math>, то существует такой <math>r\in R</math>, что <math>f(r)\ne0</math> (и, значит, <math>\mathrm{pf}_R</math> — инъекция).</i></p> |
− | + | ||
<li><u>Теорема Виета.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо, <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R</math> и <math>x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)</math>; тогда для<br>любых <math>k\in\{0,\ldots,n-1\}</math> выполнено <math>f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}</math> (в частности, <math>f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n</math> и <math>f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)</math>).</i></ul> | <li><u>Теорема Виета.</u> <i>Пусть <math>R</math> — кольцо, <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f_0,\ldots,f_{n-1},r_1,\ldots,r_n\in R</math> и <math>x^n+f_{n-1}x^{n-1}+\ldots+f_0=(x-r_1)\cdot\ldots\cdot(x-r_n)</math>; тогда для<br>любых <math>k\in\{0,\ldots,n-1\}</math> выполнено <math>f_k=(-1)^{n-k}\!\!\!\!\!\sum_{1\le i_1<\ldots<i_{n-k}\le n}\!\!\!\!\!r_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot r_{i_{n-k}}</math> (в частности, <math>f_0=(-1)^n\,r_1\cdot\ldots\cdot r_n</math> и <math>f_{n-1}=-(r_1+\ldots+r_n)</math>).</i></ul> | ||
Строка 124: | Строка 123: | ||
<li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i> | <li><u>Теорема о свойствах кватернионов.</u><br><i>(1) Для любых <math>a\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,\overline a=\overline a\,a=|a|^2</math> и, если <math>a\ne0</math>, то <math>a^{-1}\!=\!\frac\overline a{|a|^2}</math> (и, значит, <math>\mathbb H</math> — тело).<br>(2) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>\overline{a+b}=\overline a+\overline b</math> и <math>\overline{a\,b}=\overline b\,\overline a</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H&\to\mathbb H\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr)</math> — антиавтоморфизм тела <math>\,\mathbb H</math>).<br>(3) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>|a\,b|=|a|\,|b|</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм групп).</i> | ||
<li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты. | <li>Группа <math>\mathrm S^3</math>: <math>\mathrm S^3\!=\{g\in\mathbb H\mid|g|=1\}</math>. Утверждение: <math>\mathbb H^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^3</math>. Экспонента от кватерниона <math>a</math>: <math>\mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Теорема о свойствах экспоненты. | ||
− | <p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3,\,\varphi\in[0;\pi | + | <p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u><br><i>(1) Для любых <math>a,b\in\mathbb H</math> выполнено <math>a\,b=b\,a\,\Rightarrow\,\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b</math>, а также <math>\mathrm e^0\!=1</math> и <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>.<br>(2) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math> выполнено <math>\mathrm e^{\varphi\,u}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;u</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!=\{\mathrm e^{\varphi\,u}\!\mid u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3,\,\varphi\in[0;\pi]\}</math>).</i></p> |
− | <li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда | + | <li><u>Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</u><br><i>(1) Пусть <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\,v\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг нуля на угол <math>\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(1') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb C)=\{\bigl(v\mapsto g\,v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^1,\,z\in\mathbb C\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).<br>(2) Пусть <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in\mathbb R</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto\mathrm e^{\varphi\,u}\,v\,\mathrm e^{-\varphi\,u}\!\end{align}\!\biggr)</math> — поворот вокруг оси с направл. вектором <math>u</math> на угол <math>2\varphi</math> против часовой стрелки.<br>(2') <math>\mathrm{Isom}(\mathbb H_\mathrm{vect})=\{\bigl(v\mapsto g\,v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}\cup\{\bigl(v\mapsto g\,\overline v\,g^{-1}\!+z\bigr)\!\mid g\in\mathrm S^3,\,z\in\mathbb H_\mathrm{vect}\}</math> (доказательство только включения <math>\,\supseteq</math>).</i></ul> |
Версия 20:00, 24 октября 2017
1 Основы алгебры
| ||||||||||||
|
1.1 Множества, отображения, отношения
1.1.1 Множества
- Логические операции: — отрицание («не»), — дизъюнкция («или»), — конъюнкция («и»), — импликация («влечет»), — эквивалентность.
- Кванторы: — существование («существует»), — всеобщность («для любых»), — существование и единственность («существует единственный»).
- Принадлежность: . Равенство множеств: . Включение и строгое включение между множ.-вами: и .
- Кванторы по элементам множества: и . Задание множества перечислением элементов: . Пустое множество: .
- Выделение подмножества: . Операции над мн.-вами: — объединение, — пересечение, — разность, — прямое произведение.
- Теорема об операциях над множествами. Пусть — множества; тогда
(1) и , а также и ;
(2) и ;
(3) если — множество и , то и . - Числовые множества: , , , — мн.-ва натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел, , ().
- Множество подмножеств мн.-ва : . Прямая степень мн.-ва (): . Порядок (количество элементов) мн.-ва : ().
1.1.2 Отображения
- Множество отображений, действующих из мн.-ва в мн.-во : . Область отобр.-я : , кообласть отобр.-я : . Примеры.
- Образ множества относительно (): , прообраз множества относительно (): , образ отображения : .
- Сужения отображения ( и ): и . Сокращенная запись образа: .
- Инъекции: . Сюръекции: .
- Биекции: . Композиция отображений и : . Тождественное отображение: .
- Теорема о композиции отображений. Пусть — множества и ; тогда
(1) , и, если — множества, и , то ;
(2) если , то — инъекция, если и только если ;
(3) — сюръекция, если и только если ;
(4) — биекция, если и только если . - Отображение , обратное к отображению : и . Пример: взаимно обратные биекции и .
1.1.3 Отношения
- Множество отношений между множествами и : . Область отношения : , кообласть отношения : . Примеры.
- Отношения эквивалентности: .
- Класс эквивалентности элемента : . Утверждение: . Фактормножество: .
- Разбиения: . Утверждение: . Трансверсали.
- Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть — множество; тогда отображение — биекция.
- Отношение : . Мн.-во слоев отобр.-я : (). Факторотображение — биекция.
- Утверждение: . Принцип Дирихле. Пусть — множества и ; тогда .
1.2 Группы (часть 1)
1.2.1 Множества с операцией
- Внутренняя -арная операция на мн.-ве — отображение, действующее из в (нульарная операция на — выделенный элемент множества ).
- Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: .
- Изоморфизмы: . Эндоморфизмы мн.-ва с опер.: . Автоморфизмы: .
- Теорема о композиции гомоморфизмов. Пусть и — множества с -арной операцией; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых выполнено . - Обозначение по Минковскому: . Примеры: , , .
- Инфиксная запись бинарных опер.-й. Ассоциативность: ; коммутативность (абелевость): .
- Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. Степени эл.-та полугруппы.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть — полугруппа, и ; тогда значение выражения не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).
1.2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)
- Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
- Примеры: числовые моноиды, моноиды остатков, моноиды функций , моноиды отображений , моноиды слов и .
- Обратимые элементы: . Единственность обратного элемента. Утверждение: .
- Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ( — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: .
- Примеры: числовые группы, группы остатков и , группы функций , группы биекций , свободные группы .
- Группа изометрий пр.-ва : , где .
- Симметрические группы: . Запись перестановки в виде послед.-сти значений. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть , , числа попарно различны и ; тогда
, а также . - Мультипликативные обозначения: , , , (). Степени эл.-та группы. Аддитивные обозн.-я в абелевой группе: , , , ().
1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы
- Подгруппа: . Подгруппа, порожденная мн.-вом : — наименьшая подгруппа, содержащая .
- Утверждение: (в частности, ). Пример: .
- Отношения и (): () и (). Утверждение: и .
- Множества классов смежности: и . Теорема Лагранжа. Индекс: .
Теорема Лагранжа. Пусть — группа, и ; тогда (и, значит, делит ).
- Порядок элемента: (). Утверждение: пусть ; тогда .
- Лемма о порядке элемента. Пусть — группа и ; тогда и, если , то делит и .
- Теорема об обратимых остатках.
(1) Пусть и ; тогда .
(2) Пусть ; тогда (в частности, если , то ).
(3) Пусть , и не делит ; тогда (это малая теорема Ферма). - Циклическая группа: . Примеры: для любых , , для некоторых . Теорема о циклических группах.
Теорема о циклических группах. Пусть — циклическая группа и ; тогда, если , то , и, если , то .
1.2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
- Нормальная подгруппа: . Пример: если , то .
- Сопряжение при помощи эл.-та : . Отнош.-е сопряженности: и сопряжены. Классы сопряженности.
- Нормальная подгруппа, порожденная множеством : — наименьшая нормальная подгруппа, содержащая . Утверждение: .
- Ядро и образ гомоморфизма : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Примеры.
Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть — группы и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Факторгруппа: с фактороперациями (). Корректность опред.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — группы и ; тогда .
- Задание группы образующими и соотношениями ( — множество, ): . Пример: .
- Прямое произведение групп: с покомпонентными операциями. Утверждение: и — гомоморфизмы групп.
- Теорема о прямом произведении. Пусть — группа и ; обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "".
1.3 Кольца (часть 1)
1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами
- Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
- Примеры: числовые кольца, кольца остатков , кольца функций . Аддитивная и мультипликативная группы кольца : и .
- Подкольцо: . Подкольцо, порожденное мн.-вом : . Подкольца вида .
- Идеал: . Идеал, порожд. мн.-вом : . Пример: если — коммут. кольцо и , то .
- Ядро и образ гомоморфизма : и . Факторкольцо: с фактороперациями (). Корректность. Теорема о гомоморфизме.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — кольца и ; тогда .
- Прямое произв.-е колец: с покомпонент. операциями. Характеристика кольца : , если ; иначе .
- Кольцо без делителей нуля: и . Область целостности — коммут. кольцо без делителей нуля. Тело: .
- Поле — коммутативное тело. Гомоморфизмы полей. Примеры: числовые поля, поля , где . Подполя. Подполе, порожденное мн.-вом.
1.3.2 Кольца многочленов
- Множество многочленов от переменной над кольцом : ; общий вид многочлена: ; операции в .
- Степень и старший коэффициент многочлена. Лемма о степени многочлена. Делимость в ( — коммут. кольцо): .
Лемма о степени многочлена. Пусть — кольцо без делителей нуля и ; тогда , а также .
- Неприводимые многочл. ( — обл. цел.): . Пример: если — поле и , то .
- Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть — коммутативное кольцо, и старший коэффициент многочлена обратим; тогда
существуют единственные такие многочлены , что и (обозначения: и ). - Кольцо остатков по модулю многочлена ( — поле, ): . Утверждение: .
- Сопост.-е многочлену полиномиал. функции — гомоморфизм (, ).
- Сокращенная запись: . Корень многочлена в кольце : . Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена.
Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда (и, значит, ).
Теорема о количестве корней многочлена. Пусть — область целостности и ; тогда , а также,
если , то существует такой , что (и, значит, — инъекция). - Теорема Виета. Пусть — кольцо, , и ; тогда для
любых выполнено (в частности, и ).
1.3.3 Поле комплексных чисел
- Кольцо комплексных чисел: , где . Утверждение: . Комплексные числа как точки плоскости .
- Вещественная и мнимая части: и . Сопряжение: . Модуль: .
- Теорема о свойствах комплексных чисел.
(1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — поле).
(2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — автоморфизм поля ).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп). - Группа : . Утверждение: . Экспонента от компл. числа : . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых выполнено , а также и .
(2) Для любых выполнено (и, значит, и ). - Тригонометрическая запись: . Группа корней -й степ. из : .
- Первообразные корни -й степени из . Корни -й степени из : .
- «Основная теорема алгебры»: — алгебраически замкнутое поле, то есть (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
- Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
(1) Пусть , и ; тогда .
(2) и .
1.3.4 Тело кватернионов
- Кольцо кватернионов: , где , а также , , .
- Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
- Чистые кватернионы: . Скалярное произвед.-е, норма, векторное произвед.-е в : , , .
- Сопряж.-е: . Модуль: . Утверждение: .
- Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
(2) Для любых выполнено и (и, значит, отображение — антиавтоморфизм тела ).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп). - Группа : . Утверждение: . Экспонента от кватерниона : . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых выполнено , а также и .
(2) Для любых и выполнено (и, значит, ). - Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
(1) Пусть ; тогда — поворот вокруг нуля на угол против часовой стрелки.
(1') (доказательство только включения ).
(2) Пусть и ; тогда — поворот вокруг оси с направл. вектором на угол против часовой стрелки.
(2') (доказательство только включения ).