Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 18: | Строка 18: | ||
<ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math> над <math>V</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | <ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math> над <math>V</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | ||
<li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — простр.-во структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — простр.-во структур коалгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*</math>. | <li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — простр.-во структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — простр.-во структур коалгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T_{\,q}V=\mathcal T^qV^*</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа <b>(p,q)</b>.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>p,q\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\ | + | <li><u>Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа <b>(p,q)</b>.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>p,q\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,q}V&\to\mathrm{Multi}_qV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_q)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_q)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V,\ldots,V}^q,V^{\otimes p})\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((w_1,\ldots,w_q)\mapsto\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_p\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(3) <math>\Biggl(\!\begin{align}\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathrm{Multi}(\overbrace{V^*,\ldots,V^*}^p,\overbrace{V,\ldots,V}^q,K)\\\,v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\bigl((\mu_1,\ldots,\mu_p,w_1,\ldots,w_q)\mapsto\mu_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\mu_p(v_p)\,\lambda_1(w_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_q(w_q)\bigr)\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм вект. простр.-в.</i> |
<li>Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координ.-х: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j</math>. | <li>Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координ.-х: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\,e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\,e_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!a^i_j\;e_i\otimes e^j</math>. | ||
<li>Примеры: <math>\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}</math> — метрический тензор, <math>\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}</math> — форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>. | <li>Примеры: <math>\sigma=\!\!\sum_{1\le j_1,j_2\le n}\!\!\sigma_{j_1,j_2}\,e^{j_1}\!\otimes e^{j_2}</math> — метрический тензор, <math>\mathrm{vol}^e\!=\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}\,e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_n}</math> — форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>. | ||
− | <li>Преобразование | + | <li>Преобразование при замене базиса: <math>T^{\tilde{i_1},\ldots,\tilde{i_p}}_{\tilde{j_1},\ldots,\tilde{j_q}}=\!\!\!\!\!\sum_{k_1,\ldots,k_p,l_1,\ldots,l_q}\!\!\!\!\!(e_{k_1})^\tilde{i_1}\!\ldots(e_{k_p})^\tilde{i_p}(e_\tilde{j_1})^{l_1}\!\ldots(e_\tilde{j_q})^{l_q}\;T^{k_1,\ldots,k_p}_{l_1,\ldots,l_q}</math>. Примеры: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>. |
<li>Тензорная алгебра над <math>V</math>: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). | <li>Тензорная алгебра над <math>V</math>: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). | ||
<li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда множество<br><math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> этого базиса<br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное<br>на базисе отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i></ul> | <li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда множество<br><math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> этого базиса<br>выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!</math> (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное<br>на базисе отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i></ul> | ||
<h5>3.4.3 Операции над тензорами</h5> | <h5>3.4.3 Операции над тензорами</h5> | ||
− | <ul><li> | + | <ul><li>Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: <math>\bigl(T\otimes T'\bigr)^{i_1,\ldots,i_p\;\;\;\;\;\;\;i_1',\ldots,i_{p'}'}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_1,\ldots,j_q\;\;\;\;\;\;\;j_1',\ldots,j_{q'}'}\!\!=T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\!\cdot{T'}^{i_1',\ldots,i_{p'}'}_{j_1',\ldots,j_{q'}'}\!</math>. Кронекерово пр.-е матриц. |
− | + | <li>Перестановка компонент: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pat}_u\colon\mathcal T^kV&\to\mathcal T^kV\\v_1\otimes\ldots\otimes v_k&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes\ldots\otimes v_{u^{-1}(k)}\end{align}\!\biggr)</math>. Действие <math>\mathrm{pat}</math> группы <math>\mathrm S_k</math>. Перест.-ка в коорд.-х: <math>\bigl(\mathrm{pat}_u(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_k}\!=T^{i_{u(1)},\ldots,i_{u(k)}}</math>. | |
− | <li>Свертка по | + | <li>Свертка по <math>b</math>-й и <math>d</math>-й позициям: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{tr}^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto\lambda_d(v_b)\;v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>. |
− | <li>Свертка по | + | <li>Свертка по <math>b</math>-й и <math>d</math>-й позициям в координатах: <math>\bigl(\mathrm{tr}^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{h=1}^nT^{i_1,\ldots,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots,j_q}</math>. Теорема о свертках тензоров малой валентности. |
− | <p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{ | + | <p><u>Теорема о свертках тензоров малой валентности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math>, <math>\lambda\in V^*</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\lambda(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\lambda)</math>, <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}^1_1(a)</math>, <math>a(v)=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes a)</math> и <math>\lambda\circ a=\mathrm{tr}^1_2(a\otimes\lambda)</math>;<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> и <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> выполнено <math>\sigma(v,w)=\mathrm{tr}^1_1(\mathrm{tr}^1_1(v\otimes w\otimes\sigma))</math> и <math>\flat_\sigma v=\mathrm{tr}^1_1(v\otimes\sigma)</math>.</i></p> |
− | <li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — | + | <li><u>Теорема об обратном метрическом тензоре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)=\!\!\sum_{1\le i_1,i_2\le n}\!\!\sigma^{i_1,i_2}\,e_{i_1}\!\otimes e_{i_2}</math> (тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> — обратный тензор по отношению к тензору <math>\sigma</math>);<br>(2) под действием канонического изоморфизма <math>\biggl(\!\begin{align}V\otimes V&\to\mathrm{Bi}(V^*)\\v\otimes w&\mapsto\bigl((\lambda,\mu)\mapsto\lambda(v)\,\mu(w)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> тензор <math>(\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)</math> переходит в форму <math>(\lambda,\mu)\mapsto\sigma(\sharp^\sigma\lambda,\sharp^\sigma\mu)</math>;<br>(3) для любых <math>\lambda\in V^*</math> выполнено <math>\sharp^\sigma\lambda=\mathrm{tr}^2_1((\sharp^\sigma\!\otimes\sharp^\sigma)(\sigma)\otimes\lambda)</math>.</i> |
− | <li> | + | <li><math>\flat_\sigma</math> с <math>b</math>-й позиции на <math>d</math>-ю поз.-ю: <math>\biggl(\!\begin{align}(\flat_\sigma)^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p-1}_{\;q+1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes(\flat_\sigma v_b)\otimes\lambda_d\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>. |
− | <li> | + | <li><math>\sharp^\sigma\!</math> с <math>d</math>-й позиции на <math>b</math>-ю поз.-ю: <math>\biggl(\!\begin{align}(\sharp^\sigma)^b_d\,\colon\mathcal T^p_{\;q}V&\to\mathcal T^{p+1}_{\;q-1}V\\v_1\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_q&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_{b-1}\!\otimes(\sharp^\sigma\lambda_d)\otimes v_b\!\otimes\ldots\otimes v_p\otimes\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_{d-1}\!\otimes\lambda_{d+1}\!\otimes\ldots\otimes\lambda_q\end{align}\!\biggr)</math>. |
− | <li>Опускание и подъем в | + | <li>Опускание и подъем индексов в коорд.-х: <math>\bigl((\flat_\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i_{b+1},\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j,j_d,\ldots,j_q}=\sum_{i_b=1}^nT^{i_1,\ldots,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}\sigma_{i_b,j}</math> и <math>\bigl((\sharp^\sigma)^b_d(T)\bigr)^{i_1,\ldots,i_{b-1},i,i_b,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_{d-1},j_{d+1},\ldots,j_q}\!=\sum_{j_d=1}^n\sigma^{i,j_d}\,T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_d,\ldots,j_q}</math>.</ul> |
<h3>3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3> | <h3>3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств</h3> | ||
<h5>3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5> | <h5>3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами</h5> | ||
− | <ul><li>Симметрическая | + | <ul><li>Симметрическая степень: <math>\mathsf S^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=T\bigr)\}</math>. Внешняя степень: <math>\mathsf\Lambda^kV=\{T\in\mathcal T^kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{pat}_u(T)=\mathrm{sgn}(u)\,T\bigr)\}</math>. |
− | <li><u>Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; обозначим через <math>\iota</math> изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{ | + | <li><u>Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; обозначим через <math>\iota</math> изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{paf}_u</math> автоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\iota\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{paf}_u\!\circ\iota</math>, <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math> и <math>\,\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> (и, значит, <math>\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math>).</i> |
− | <li>Операторы симметризации и альтернирования: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{ | + | <li>Операторы симметризации и альтернирования: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{pat}_u</math> и <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{pat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. |
− | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{ | + | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{pat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{pat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math>, <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (то есть <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> |
− | <li> | + | <li>Симметрическое произведение векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Внешнее произведение векторов: <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. |
<li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | <li><u>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — в. пр. над <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)</math> — симметричный полилинейный оператор;<br>(2) <math>\mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)</math> — антисимметричный полилинейный оператор.</i> | ||
Строка 58: | Строка 58: | ||
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над <math>V</math>: <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
− | <li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных | + | <li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над <math>V</math>: <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. |
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!</math> этого<br>базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(2) <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\;e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math><br>суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!</math> этого<br>базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упоряд. по неубыванию;<br>(2) <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\;e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}\!</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math><br>суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | ||
Версия 03:00, 17 октября 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
- Тензорное произведение пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Ранг тензора : есть миним. среди всех таких , что равен сумме разл. тензоров.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные простр.-ва над полем ; тогда
и отображение — полилинейный оператор. - Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — вект. простр.-ва над полем ; тогда для любых
существует единств. такой лин. оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и — базисы
пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе образуют базис
пространства , а также, если , то . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е линейных операторов (, ): .
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — вект. простр.-ва над полем ; тогда ,
и , а также . - Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) — инъективный линейный оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в;
(2) — инъект. лин. оператор и, если , то это отображ.-е — изоморфизм вект. простр.-в.
3.4.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
- Пространство тензоров типа над : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — простр.-во структур алгебры на , — простр.-во структур коалгебры на , .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа (p,q). Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) — изоморфизм векторных пространств;
(2) — изоморфизм векторных пространств;
(3) — изоморфизм вект. простр.-в. - Тензоры типа в координ.-х: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема, связанная с упоряд. базисом .
- Преобразование при замене базиса: . Примеры: , .
- Тензорная алгебра над : — ассоциативная -алгебра с (в опр.-и умнож.-я используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда множество
— базис алгебры , и для любых элементов и этого базиса
выполнено (и, значит, отображение, продолжающее по линейности заданное
на базисе отображение , — изоморфизм алгебр с ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное пр.-е тензоров в коорд.-х: . Кронекерово пр.-е матриц.
- Перестановка компонент: . Действие группы . Перест.-ка в коорд.-х: .
- Свертка по -й и -й позициям: .
- Свертка по -й и -й позициям в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — вект. пр.-во над , , и форма невырождена; тогда
(1) для любых выполнено (тензор — обратный тензор по отношению к тензору );
(2) под действием канонического изоморфизма тензор переходит в форму ;
(3) для любых выполнено . - с -й позиции на -ю поз.-ю: .
- с -й позиции на -ю поз.-ю: .
- Опускание и подъем индексов в коорд.-х: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая степень: . Внешняя степень: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрическое произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — в. пр. над и ; тогда
(1) и отображение — симметричный полилинейный оператор;
(2) и отображение — антисимметричный полилинейный оператор. - Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — вект. пр.-ва над и ; тогда
(1) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств);
(2) для любых существует единств. такой линейный оператор , что для любых выполнено
(и, значит, — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров) над : — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тенз.-в) над : — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) — базис алгебры , и для любых элементов и этого
базиса выполнено , где числа суть числа , упоряд. по неубыванию;
(2) — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа
суть числа , упорядоченные по возрастанию.