Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Версия 18:00, 15 октября 2017

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

3.4.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами

• Тензорное произведение пространств: ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимый тензор: ${\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}}$. Ранг тензора ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle \mathrm {rk} (T)}$ есть миним. среди всех таких ${\displaystyle m}$, что ${\displaystyle T}$ равен сумме ${\displaystyle m}$ разл. тензоров.
• Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ — векторные простр.-ва над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  ${\displaystyle V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\bigl\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\bigr\rangle}$ и отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k},Y}$ — вект. простр.-ва над полем ${\displaystyle K}$; тогда для любых
  ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$ существует единств. такой лин. оператор ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)}$, что для любых ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}}$ выполнено
  ${\displaystyle a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$ (и, значит, ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм вект. пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ — базисы
  пространств ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ соответственно; тогда все тензоры ${\displaystyle b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}}$, где ${\displaystyle b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}}$, попарно различны и вместе образуют базис
  пространства ${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}}$, а также, если ${\displaystyle \dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}}$.
• Тензорное произв.-е тензоров: ${\displaystyle T\otimes T'}$. Тензорное произв.-е линейных операторов (${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y),b\in \mathrm {Hom} (W,Z)}$): ${\displaystyle (a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)}$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle U,V,W}$ — вект. простр.-ва над полем ${\displaystyle K}$; тогда ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes V\otimes W}$,
  ${\displaystyle U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W}$ и ${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V}$, а также ${\displaystyle V\otimes K\cong K\otimes V\cong V}$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V,Y,V_1,\ldots,V_k}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный линейный оператор, а также, если ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$, то это отображение —
  изоморфизм векторных пространств;
  (2) отображения ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V_1^*\!\otimes\ldots\otimes V_k^*\!&\to(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)^*\\\lambda_1\otimes\ldots\lambda_k&\mapsto\bigl(v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ и ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V_1^*\!\otimes\ldots\otimes V_k^*\!&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\cdot\ldots\cdot\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ —
  инъективные линейные операторы, а также, если ${\displaystyle \dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty }$, то эти отображения — изоморфизмы векторных пространств.

3.4.2  Тензорная алгебра и тензоры в координатах

• Пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$. Примеры: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}V=V}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)}$.
• Примеры: ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)}$ — пространство структур алгебры на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)}$ — пространство структур коалгебры на ${\displaystyle V}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}_{\,k}V={\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм вект. пространств.
• Тензорная алгебра: ${\displaystyle {\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$ (в опред. умножения используются изоморфизмы ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V}$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через
  ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда множество ${\displaystyle \{e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}}$ — базис алгебры ${\displaystyle \,{\mathcal {T}}(V)}$, и для любых элементов
  ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}}$ и ${\displaystyle e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}}$ этого базиса выполнено ${\displaystyle (e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}})\otimes (e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\otimes e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}}$ (и, значит,
  линейное отображение, заданное на базисе по правилу ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to {\mathcal {T}}(V)\\x_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{i_{k}}\!&\mapsto e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, — изоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$).
• Тензор в координатах: ${\displaystyle T=\!\!\!\!\!\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\!\otimes e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{q}}}$. Примеры: ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}(v^{e})^{i}e_{i}}$, ${\displaystyle \lambda =\sum _{j=1}^{n}(\lambda _{e})_{j}\,e^{j}}$, ${\displaystyle a=\!\!\sum _{1\leq i,j\leq n}\!\!(a_{e}^{e})_{j}^{i}\,e_{i}\otimes e^{j}}$.
• Примеры: ${\displaystyle \sigma =\!\!\sum _{1\leq j_{1},j_{2}\leq n}\!\!(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\,e^{j_{1}}\!\otimes e^{j_{2}}}$ — метрический тензор, ${\displaystyle \omega =\!\!\!\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}\!\!\!\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {sgn} (j_{1},\ldots ,j_{n})\,e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{n}}}$ — форма объема.
• Формула замены коорд. тензора: ${\displaystyle T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!=\!\!\!\!\!\sum _{k_{1},\ldots ,k_{p},l_{1},\ldots ,l_{q}}\!\!\!\!\!(e_{k_{1}})^{\tilde {i_{1}}}\!\ldots (e_{k_{p}})^{\tilde {i_{p}}}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}\!\ldots (e_{\tilde {j_{q}}})^{l_{q}}\,T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}}$ (здесь ${\displaystyle T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!={\stackrel {\tilde {e}}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ и ${\displaystyle T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}\!={\stackrel {e}{T}}\!\,_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}}$).

3.4.3  Операции над тензорами

• Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление ${\displaystyle \mathrm {lat} }$ группы ${\displaystyle \mathrm {S} _{k}}$ в простр.-ве ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}V}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {lat} _{u}\colon {\mathcal {T}}^{k}V&\to {\mathcal {T}}^{k}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes \ldots \otimes v_{u^{-1}(k)}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Тензорное произведение тензоров в координатах: ${\displaystyle {\bigl (}T\otimes T'{\bigr )}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_{1},\ldots ,j_{q}\;\;\;\;\;\;\;j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1},\ldots ,i_{p}\;\;\;\;\;\;\;i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}\!\!=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}\!\cdot {T'}_{j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}}$. Кронекеровское произведение матриц.
• Свертка по паре ${\displaystyle (b,d)}$: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {con} _{d}^{b}\,\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto \lambda _{d}(v_{b})\,v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Свертка по паре ${\displaystyle (b,d)}$ в координатах: ${\displaystyle {\bigl (}\mathrm {con} _{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{h=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots ,i_{p}}}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \lambda (v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \lambda )}$, ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\mathrm {con} _{1}^{1}(a)}$, ${\displaystyle a(v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes a)}$ и ${\displaystyle \lambda \circ a=\mathrm {con} _{2}^{1}(a\otimes \lambda )}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v,w\in V}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Bi} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \sigma (v,w)=\mathrm {con} _{1}^{1}(\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes w\otimes \sigma ))}$ и ${\displaystyle {\downarrow }_{\sigma }v=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \sigma )}$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Bi} (V)}$; тогда
  (1) прообраз гомоморфизма ${\displaystyle \downarrow _{\sigma }}$ относительно изоморфизма ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,V^{*})\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,\mu {\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ равен тензору ${\displaystyle \sigma }$;
  (2) если форма ${\displaystyle \sigma }$ невырождена, то, обозначая через ${\displaystyle ^{-1}\sigma }$ прообраз гомоморфизма ${\displaystyle \uparrow ^{\sigma }}$ относительно изоморфизма ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\otimes V&\to \mathrm {Hom} (V^{*},V)\\v\otimes w&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v)\,w{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$
  (тензор ${\displaystyle ^{-1}\sigma }$ — тензор типа ${\displaystyle (2,0)}$, обратный к тензору ${\displaystyle \sigma }$), для любых ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$ имеем следующий факт: ${\displaystyle {\uparrow }^{\sigma }\lambda =\mathrm {con} _{1}^{1}(^{-1}\sigma \otimes \lambda )}$.
• Опускание индекса: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}\,\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q+1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes ({\downarrow }_{\sigma }v_{b})\otimes \lambda _{d}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Подъем индекса: ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}\,\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p+1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes ({\uparrow }^{\sigma }\lambda _{d})\otimes v_{b}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Опускание и подъем в координатах: ${\displaystyle {\bigl (}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j,j_{d},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{i_{b}=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b},\ldots ,i_{p}}\sigma _{i_{b},j}}$, ${\displaystyle {\bigl (}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i,i_{b},\ldots ,i_{p}}\!\!=\sum _{j_{d}=1}^{n}(^{-1}\sigma )^{j_{d},i}\,T_{j_{1},\ldots ,j_{d},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$.

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая и внешняя степени: ${\displaystyle {\mathsf {S}}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=T{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\mathsf {\Lambda }}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=\mathrm {sgn} (u)\,T{\bigr )}\}}$.
• Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; обозначим через ${\displaystyle \iota }$ изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {laf} _{u}}$ автоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Multi} _{k}V&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\omega &\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующие факты:
  ${\displaystyle \iota \circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {laf} _{u}\!\circ \iota }$, ${\displaystyle \mathrm {SMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\omega {\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {AMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\mathrm {sgn} (u)\,\omega {\bigr )}\}}$;
  (2) ${\displaystyle \iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V}$ и ${\displaystyle \iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V}$ (и, значит, ${\displaystyle {\mathsf {S}}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {SMulti} _{k}V}$ и ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V}$).
• Операторы симметризации и альтернирования: ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {lat} _{u}}$ и ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {lat} _{u}}$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {lat} _{u}\!\circ \mathrm {sym} _{k}=\mathrm {sym} _{k}\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {sym} _{k}}$ и ${\displaystyle \mathrm {lat} _{u}\!\circ \mathrm {alt} _{k}=\mathrm {alt} _{k}\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {alt} _{k}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle T\in {\mathsf {S}}^{k}V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}(T)=T}$ и для любых ${\displaystyle T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}(T)=T}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V}$, ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$, ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}}$ (то есть ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}}$ — проектор на ${\displaystyle \,{\mathsf {S}}^{k}V}$ и ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}}$ — проектор на ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$).

• Симметрич. произведение векторов: ${\displaystyle v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})}$. Внешнее произведение векторов: ${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})}$.
• Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — в. пр. над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathsf S^kV=\bigl\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle}$ и отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf S^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\cdot\ldots\cdot v_k\end{align}\!\biggr)}$ — симметричный полилинейный оператор;
  (2) ${\displaystyle \mathsf\Lambda^kV=\bigl\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\bigr\rangle}$ и отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V^k\!&\to\mathsf\Lambda^kV\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\wedge\ldots\wedge v_k\end{align}\!\biggr)}$ — антисимметричный полилинейный оператор.
• Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \omega\in\mathrm{SMulti}_k(V,Y)}$ существует единств. такой линейный оператор ${\displaystyle a\in\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)}$, что для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ выполнено
  ${\displaystyle a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)}$ (и, значит, ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf S^kV,Y)&\to\mathrm{SMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — изоморфизм векторных пространств);
  (2) для любых ${\displaystyle \omega\in\mathrm{AMulti}_k(V,Y)}$ существует единств. такой линейный оператор ${\displaystyle a\in\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)}$, что для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ выполнено
  ${\displaystyle a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)}$ (и, значит, ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(\mathsf\Lambda^kV,Y)&\to\mathrm{AMulti}_k(V,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
  ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  (1) все тензоры ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}}$, где ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства ${\displaystyle \,{\mathsf {S}}^{k}V}$;
  (2) все тензоры ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}}$, где ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{k}}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$;
  (3) ${\displaystyle \dim {\mathsf {S}}^{k}V={\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}}$ и ${\displaystyle \,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.
• Симметрич. тензор в координатах: ${\displaystyle T=\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,^{(i_{1},\ldots ,i_{k})}e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}}$. Антисимметрич. тензор в координатах: ${\displaystyle T=\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,^{[i_{1},\ldots ,i_{k}]}e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}}$.
• Примеры: ${\displaystyle \omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,e^{1}\wedge \ldots \wedge e^{n}}$ — форма объема, ${\displaystyle \dim V=3\,\Rightarrow \,v\wedge w=(v\times w)^{3}\,e_{1}\wedge e_{2}-(v\times w)^{2}\,e_{1}\wedge e_{3}+(v\times w)^{1}\,e_{2}\wedge e_{3}}$.

3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

• Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: ${\displaystyle a^{\cdot k}\!=(a^{\otimes k})|_{{\mathsf {S}}^{k}V\to {\mathsf {S}}^{k}Y}}$ и ${\displaystyle a^{\wedge k}\!=(a^{\otimes k})|_{{\mathsf {\Lambda }}^{k}V\to {\mathsf {\Lambda }}^{k}Y}}$ (корректность следует из ${\displaystyle a^{\otimes k}\!\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {lat} _{u}\!\circ a^{\otimes k}}$).
• Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$ и ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$; тогда ${\displaystyle a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})}$ и ${\displaystyle a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})}$.
• Симметрическое произведение тензоров: ${\displaystyle T\cdot T'=\mathrm {sym} _{k+k'}(T\otimes T')}$. Внешнее произведение тензоров: ${\displaystyle T\wedge T'={\frac {(k+k')!}{k!\,k'!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'}(T\otimes T')}$.
• Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над
  полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k,k',k''\!\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}'\!\in V}$ и ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}^{k}V}$, ${\displaystyle T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V}$, ${\displaystyle T''\!\in {\mathcal {T}}^{k''}\!V}$; тогда
  (1) ${\displaystyle (v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\cdot (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\cdot v_{1}'\cdot \ldots \cdot v_{k'}'}$ и ${\displaystyle (v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\wedge (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')={\frac {1}{k!\,k'!}}\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge v_{1}'\wedge \ldots \wedge v_{k'}'}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {sym} _{k}(T)\cdot T'=T\cdot \mathrm {sym} _{k'}(T')=T\cdot T'}$ и ${\displaystyle \mathrm {alt} _{k}(T)\wedge T'=T\wedge \mathrm {alt} _{k'}(T')=T\wedge T'}$;
  (3) ${\displaystyle (T\cdot T')\cdot T''=T\cdot (T'\cdot T'')=\mathrm {sym} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')}$ и ${\displaystyle (T\wedge T')\wedge T''=T\wedge (T'\wedge T'')={\frac {(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')}$
  (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
  (4) ${\displaystyle (\ldots (v_{1}\cdot v_{2})\cdot \ldots \cdot v_{k-1})\cdot v_{k}=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}}$ и ${\displaystyle (\ldots (v_{1}\wedge v_{2})\wedge \ldots \wedge v_{k-1})\wedge v_{k}=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$;
  (5) ${\displaystyle T\cdot T'=T'\cdot T}$ и ${\displaystyle T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T}$ (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно).
• Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): ${\displaystyle {\mathsf {S}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {S}}^{k}V}$ — ассоциативная коммутативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$.
• Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): ${\displaystyle {\mathsf {\Lambda }}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {\Lambda }}^{k}V}$ — ассоциативная суперкоммутативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$.
• Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=0}$, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$
  и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда
  (1) множество ${\displaystyle \{e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}\}}$ — базис алгебры ${\displaystyle \,{\mathsf {S}}(V)}$, и для любых элементов ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}}$ и
  ${\displaystyle e_{i_{1}'}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k'}'}}$ этого базиса выполнено ${\displaystyle (e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}})\cdot (e_{i_{1}'}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{{\hat {i}}_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{{\hat {i}}_{k+k'}}}$, где числа ${\displaystyle {\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}}$ суть числа ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'}$,
  упорядоченные по неубыванию;
  (2) множество ${\displaystyle \{e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}\!\mid k\in \{0,\ldots ,n\},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}<\ldots <i_{k}\}}$ — базис алгебры ${\displaystyle \,{\mathsf {\Lambda }}(V)}$, и для любых элементов
  ${\displaystyle e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}}$ и ${\displaystyle e_{i_{1}'}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k'}'}}$ этого базиса выполнено ${\displaystyle (e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}})\wedge (e_{i_{1}'}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm {sgn} (i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'\!)\,e_{{\hat {i}}_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{{\hat {i}}_{k+k'}}}$, где
  числа ${\displaystyle {\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}}$ суть числа ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'}$, упорядоченные по возрастанию.