Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 28: | Строка 28: | ||
<li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва). | <li>Пример: <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V=\ell^2\!=\bigl\{f\in\mathrm{Func}(\mathbb N,K)\mid\sum_{n=1}^\infty|f_n|^2\!<\infty\bigr\}</math> и <math>\sigma\,\colon(f,g)\mapsto\sum_{n=1}^\infty f_n\overline g_n</math>; тогда <math>\sigma</math> топологич. невырождена (без док.-ва). | ||
<li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>. | <li>Оператор диез (подъем индекса): <math>\sharp^\sigma\!=\flat_\sigma^{-1}</math> (<math>\sigma</math> невырождена). Подъем индекса в коорд. (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e}^{-1})^\mathtt T</math>): <math>(\sharp^\sigma\lambda)^e=\sigma^{e,e}\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>(\sharp^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>d\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i> | + | <li>Нахожд.-е координат вектора при помощи невырожд. формы <math>\sigma</math>: <math>v^e=\sigma^{e,e}\!\cdot((\flat_\sigma v)_e)^\mathtt T\!=\sigma^{e,e}\!\cdot\!\biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v,e_1)\\\vdots\\\sigma(v,e_n)\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Теорема о базисах и невырожденных формах. |
+ | <p><u>Теорема о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>,<br><math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math> и <math>U=\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{d,d}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>d\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i></p> | ||
<li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополн.-е: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>. | <li>Ортогональные векторы (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>v\perp w\,\Leftrightarrow\,\sigma(v,w)=0\,\Leftrightarrow\,\sigma(w,v)=0</math>. Ортогональное дополн.-е: <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\le V</math>. | ||
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul> | <li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\subseteq U^{\perp\perp}</math>, <math>U\subseteq W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\subseteq U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\subseteq(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена, то <math>\dim U+\dim U^\perp\!=\dim V</math>, а также <math>U=U^{\perp\perp}</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!=(U\cap W)^\perp</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Ker}\bigl(\flat_{\sigma|_{U\times U}}\!\bigr)\!=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math>форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;\,</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор на <math>U</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp\!&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>).</i></ul> | ||
Строка 36: | Строка 37: | ||
<li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональн. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>. | <li>Ортонормированный базис (<math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональн. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>. | ||
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i> | <li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>;<br>тогда существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i> | ||
− | <li>Теорема Лагранжа | + | <li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами. |
<p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p> | <p><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i></p> | ||
<p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ. такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p> | <p><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то сущ. такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диаг. матрица с <math>1,\ldots,1,-1,\ldots,-1,0,\ldots,0</math> на диагонали.</i></p> | ||
Строка 58: | Строка 59: | ||
<li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>. | <li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>. | ||
<li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>. | <li>Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v\!\mid\!v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: <math>\ell^2</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2 | + | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v\!\mid\!w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v\!\mid\!e_i)\,e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v\!\mid\!e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i> |
<li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. | <li>Метрика: <math>\mathrm{dist}(v,w)=\|v-w\|</math>. Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: <math>\mathrm{dist}(v,U)=\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. | ||
<p><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство, <math>U\le V</math> и <math>\dim U<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))<\mathrm{dist}(v,u)</math> (и, значит, <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))=\min\{\mathrm{dist}(v,u)\mid u\in U\}</math>);<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя).</i></p> | <p><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство, <math>U\le V</math> и <math>\dim U<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))<\mathrm{dist}(v,u)</math> (и, значит, <math>\mathrm{dist}(v,\mathrm{proj}_U(v))=\min\{\mathrm{dist}(v,u)\mid u\in U\}</math>);<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v\!\mid\!e_j)\,e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v\!\mid\!e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя).</i></p> | ||
Строка 95: | Строка 96: | ||
<li>Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>). | <li>Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору <math>a</math> (<math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)=\sharp^\sigma\bigl(w\mapsto\sigma(v,a(w))\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(a^*(v),w)=\sigma(v,a(w))\bigr)</math>). | ||
<li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. | <li>Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=\sigma^{e,e}\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. | ||
− | <p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, | + | <p><u>Теорема о свойствах сопряжения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math> и форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(2) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}</math>, <math>\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=a\}</math> и <math>\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a^*\!=-a\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>a^{**}\!=a</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>.</i></p> |
− | <p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^* | + | <p><u>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр.-во над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>a(U)\subseteq U\,\Rightarrow\,a^*(U^\perp)\subseteq U^\perp</math>, а также <math>\,\mathrm{Ker}\,a^*\!=(\mathrm{Im}\,a)^\perp</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a^*\!\subseteq(\mathrm{Ker}\,a)^\perp\!=(\mathrm{Im}\,a^*)^{\perp\perp}</math>.</i></p> |
<li>Форма, связанная с линейн. оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором. | <li>Форма, связанная с линейн. оператором <math>a</math>: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math>. Форма <math>\sigma_a</math> в коорд.: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. Лемма о форме, связанной с оператором. | ||
<p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p> | <p><u>Лемма о форме, связанной с оператором.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда<br>(1) если форма <math>\sigma</math> невырождена, то отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(2) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}(V)\}</math> и <math>\,\mathrm{AEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{ABi}}(V)\}</math>;<br>(3) если <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то <math>\,\mathrm{SEnd}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(V)\}</math>.</i></p> | ||
<li>Мн.-во нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.</ul> | <li>Мн.-во нормальных операторов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\mathrm{NEnd}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; условие в коорд. (<math>\sigma_{e,e}=\mathrm{id}_n</math>): <math>a_e^e\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!=\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot a_e^e</math>.</ul> | ||
− | + | <h5>3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах</h5> | |
− | <ul><li><u> | + | <ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное или евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math>; тогда<br>для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>, а также для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i> |
− | <li | + | <li><u>Спектральная теорема в унитарных пространствах.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm{NEnd}(V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\land\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(3) <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\land\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(4) <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\land\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>;<br>(5) <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>a\in\mathrm{NEnd}(V)\,\land\,\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>.</i> |
− | + | <li><u>Матричная формулировка спектральной теоремы в унитарных пространствах.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br>(1) <math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>;<br>(2) <math>a\in\mathrm U(n)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}</math>, где <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(3) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(4) <math>a\in\overline{\mathrm A}\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с числами вида <math>\beta\,\mathrm i</math>, где <math>\beta\in\mathbb R</math>, на диагонали<math>\bigr)</math>;<br>(5) <math>a\in\overline{\mathrm S}\mathrm{Mat}_{>0}(n,\mathbb C)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math>.</i> | |
− | < | + | |
<li>Ортогональный проектор: <math>p^2=p\,\land\,p^*\!=p\;\Leftrightarrow\,\exists\,U\le V\;\bigl(p=\mathrm{proj}_U\!\bigr)</math>. Спектральное разложение нормального оператора <math>a</math>: <math>a=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!c\cdot\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}</math>. | <li>Ортогональный проектор: <math>p^2=p\,\land\,p^*\!=p\;\Leftrightarrow\,\exists\,U\le V\;\bigl(p=\mathrm{proj}_U\!\bigr)</math>. Спектральное разложение нормального оператора <math>a</math>: <math>a=\!\!\!\sum_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!c\cdot\mathrm{proj}_{V_1(a,c)}</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о собственных числах автоморфизмов, | + | <li><u>Теорема о собственных числах и собственных векторах автоморфизмов, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.</u><br><i>(1) Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>a\in\mathrm U(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math><br>оператора <math>a</math> выполнено <math>a\in\mathrm U(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathrm S^1</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R\,\mathrm i</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также<br>для любых двух различных собственных чисел <math>c</math> и <math>d</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.<br>(2) Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство над полем <math>\,\mathbb R</math> и <math>a\in\mathrm O(V)\cup\mathrm{SEnd}(V)\cup\mathrm{AEnd}(V)</math>; тогда для любого собственного числа <math>c</math><br>оператора <math>a</math> выполнено <math>a\in\mathrm O(V)\,\Rightarrow\,c\in\{1,-1\}</math>, <math>a\in\mathrm{AEnd}(V)\,\Rightarrow\,c=0</math>, <math>a\in\mathrm{SEnd}_{>0}(V)\,\Rightarrow\,c\in\mathbb R_{>0}</math>, а также для любых двух различных<br>собственных чисел <math>c</math> и <math>d</math> оператора <math>a</math> выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i> |
− | <li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul> | + | <li>Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).</ul> |
− | <h5>3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5> | + | <!--<h5>3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5> |
<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. | <ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. | ||
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>. | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>. |
Версия 16:00, 5 июля 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
- Матрица Грама (): . Форма в координ.-х (): .
- Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва ¯-симметричных форм и матриц: и .
- Пр.-ва ¯-антисимм. форм и матриц: и .
- Гомоморфизмы между простр.-вами с ¯-билинейной формой: .
- Изоморфизмы между пр.-вами с формой: и .
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
- Поляризация квадратичн. формы (): . Утверждение: .
- Поляризация ¯-квадратичной формы (): . Утверждение: .
- Теорема о биекции между билинейными формами и квадратичными формами.
(1) Пусть — поле, и — вект. пр.-во над ; тогда отобр.-е — изоморфизм векторных пространств.
(2) Пусть — векторное пространство над полем ; тогда отображение — изоморфизм векторных пространств. - Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
- Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
- Топологич. невырожденность ( или , — нормир. вект. пр.-во, ): — биекция.
- Пример: или , и ; тогда топологич. невырождена (без док.-ва).
- Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
- Нахожд.-е координат вектора при помощи невырожд. формы : . Теорема о базисах и невырожденных формах.
Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , ,
и ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополн.-е: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) если и форма невырождена, то , а также и ;
(3) и, если , то форма невырождена;
(4) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : ).
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица. Форма в ортогонал. коорд. (): .
- Ортонормированный базис ( или ): — диагональн. матрица с на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то сущ. такая матрица , что — диаг. матрица с на диагонали. - Утверждение: пусть , , форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ). - Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва и Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- Мн.-ва положительно и отрицательно определенных форм: и .
- Мн.-ва полож. и отриц. опред. матриц: и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена (и, значит, ).
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Индексы инерции формы : и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Теорема о классификации пространств с формой. Пусть или , — векторные пространства над полем , ,
и ; тогда , если и только если , и . - Сигнатура формы : (или ). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.2 Предгильбертовы пространства
- Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Метрика: . Теорема об ортогональном проектировании. Расст.-е между вектором и подпр.-вом: .
Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
(1) для любых и выполнено (и, значит, );
(2) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя). - Метод наименьших квадратов: замена системы , где , и , на систему .
- Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
3.2.3 Объем и векторное произведение
- Псевдоевклидово пространство сигнатуры — конечномерное вект. пр.-во над с невырожд. симметричной билинейной формой сигнатуры .
- Псевдоунитарное пр.-во сигнатуры — конечномерное вект. пр.-во над с невырожд. ¯-симметричной полуторалинейной формой сигнатуры .
- Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (): . Корректность определения формы .
- Объем в коорд. (): (). Теорема об объеме и матрицах Грама.
Теорема об объеме и матрицах Грама. Пусть — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы ),
, и ; тогда (в частности, если векторы попарно
ортогональны, то ). - Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
(1) , где и ;
(2) если , то . - Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: ().
- Вект. произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — ориентированное евклидово пространство, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и ;
(3) если , то для любых выполнено и .
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
- Группа автоморфизмов пр.-ва с ¯-билинейной формой: .
- Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
- Ортогональная группа ( — в. пр. над , ): . Унитарная группа ( — в. пр. над , ): .
- Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах.
(1) Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , , , и ; тогда
и, если форма невырождена, то условие "" можно убрать.
(2) Пусть — псевдоевклидово пространство сигнатуры и ; тогда .
(2) Пусть — псевдоунитарное пространство сигнатуры и ; тогда . - Матричные ортогонал. группы: , , , .
- Матричные унитарные группы: , , , .
- Примеры: , , .
- Группа изометрий предгильбертова пр.-ва: . Теорема об описании изометрий.
Теорема об описании изометрий. Пусть — предгильбертово пространство над полем ; тогда
(1) ;
(2) обозначая через , и группу и ее подгруппы и соответственно, имеем
следующие факты: , и , а также (и, значит, ).
3.3.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
- Пр.-во симметричных операторов: ; условие в коорд.: .
- Пр.-во антисимм. операторов: ; условие в коорд.: .
- Мн.-во положительно опред. операторов (, или ): .
- Пример: , и ; тогда — положит. определ. оператор.
- Линейный оператор, сопряженный к линейн. оператору ( невырождена): ().
- Сопряженный оператор в координатах: . Теорема о свойствах сопряжения. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении.
Теорема о свойствах сопряжения. Пусть — поле с инволюцией, — вект. простр.-во над полем , и форма невырождена; тогда
(1) для любых и выполнено , и
(и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
(2) , и ;
(3) если , то для любых выполнено и .Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , форма невырождена,
и ; тогда , а также и . - Форма, связанная с линейн. оператором : . Форма в коорд.: . Лемма о форме, связанной с оператором.
Лемма о форме, связанной с оператором. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если форма невырождена, то отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) если , то и ;
(3) если и или , то . - Мн.-во нормальных операторов ( невырождена): ; условие в коорд. (): .
3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
- Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — унитарное или евклидово пространство и ; тогда
для любых выполнено , а также для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема в унитарных пространствах. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диагональная матрица;
(2) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(3) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
(4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(5) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали. - Матричная формулировка спектральной теоремы в унитарных пространствах. Пусть и ; тогда
(1) — диагональная матрица;
(2) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
(3) — диагональная матрица с вещественными числами на диагонали;
(4) — диагональная матрица с числами вида , где , на диагонали;
(5) — диагональная матрица с положительными числами на диагонали. - Ортогональный проектор: . Спектральное разложение нормального оператора : .
- Теорема о собственных числах и собственных векторах автоморфизмов, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
(1) Пусть — предгильбертово пространство над полем и ; тогда для любого собственного числа
оператора выполнено , , , , а также
для любых двух различных собственных чисел и оператора выполнено .
(2) Пусть — предгильбертово пространство над полем и ; тогда для любого собственного числа
оператора выполнено , , , а также для любых двух различных
собственных чисел и оператора выполнено . - Ортогональные многочлены как собственные функции формально самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).