Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 47: | Строка 47: | ||
<ul><li>Положительно опред. формы: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math>. Отрицательно опред. формы: <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>. | <ul><li>Положительно опред. формы: <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math>. Отрицательно опред. формы: <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=-\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>. | ||
<li>Положит. и отрицат. опред. матрицы: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>. | <li>Положит. и отрицат. опред. матрицы: <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=-\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>. | ||
− | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, <math>V=U\oplus U^\perp</math> | + | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, <math>V=U\oplus U^\perp\!</math> и <math>\,U=U^{\perp\perp}</math></i>. |
<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i> | <li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i> | ||
<li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>. | <li>Индексы инерции формы <math>\sigma</math>: <math>\mathrm{ind}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{ind}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\,\land\,\sigma|_{U\times U}\!\in\overline{\mathrm{SBi}}_{<0}(U)\}</math>. | ||
Строка 63: | Строка 63: | ||
<li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.</ul> | <li>Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (<math>K=\mathbb R</math>, <math>v\ne0</math>, <math>w\ne0</math>, <math>U\ne\{0\}</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v\!\mid\!w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>.</ul> | ||
− | <h5>3.2.3 Объем | + | <h5>3.2.3 Объем и векторное произведение</h5> |
− | <ul><li> | + | <ul><li>Псевдоевклидово пространство — конечномерное вект. пр.-во над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой. Пример: пр.-во Минковского. |
− | < | + | <li>Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>. Корректность определения формы <math>\mathrm{vol}</math>. |
− | + | <li>Объем в коорд. (<math>n=\dim V</math>): <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math> (<math>\varepsilon=\mathrm{sgn}</math>). Теорема об объеме и матрицах Грама. | |
− | + | <p><u>Теорема об объеме и матрицах Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы <math>\sigma</math>),<br><math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> (в частности, если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно<br>ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\sigma(v_1,v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|\sigma(v_n,v_n)|}</math>).</i></p> | |
− | + | <li>Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независ. (иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>). | |
+ | <li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}</math>, где <math>\sigma=(\,\mid\,)</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i> | ||
<li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | <li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | ||
<li>Вект. произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\!\sum_{1\le j,j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\!\sigma^{i,j}\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_{n-1},j}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | <li>Вект. произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\!\sum_{1\le j,j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\!\sigma^{i,j}\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_{n-1},j}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | ||
− | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1} | + | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u</math> и <math>(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math><br>(и, значит, <math>V</math> — алгебра Ли относительно операции <math>\times</math>).</i></p></ul> |
<!--<h3>3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3> | <!--<h3>3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3> | ||
− | <h5>3.3.1 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные | + | <h5>2.2.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема</h5> |
+ | <h5>2.3.3 Относительные базисы, жорданова нормальная форма, приложения жордановой нормальной формы</h5> | ||
+ | <h5>3.3.1 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные линейные операторы</h5> | ||
<ul><li>Ортогональная (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>) и унитарная (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>) группы: <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math> и <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. | <ul><li>Ортогональная (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb R</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>) и унитарная (<math>V</math> — вект. пр. над <math>\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>) группы: <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math> и <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. | ||
<li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>. | <li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>. |
Версия 18:00, 30 июня 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм: . Примеры: (, ), (, ).
- Поля с инволюцией. Пространство : . Простр.-во ¯-билинейных форм (полуторалинейных форм, если ): .
- Матрица Грама (): . Форма в координ.-х (): .
- Изоморфизм вект. пр.-в . Преобразования при замене базиса: и .
- Простр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- , .
- Группа автоморф.-в пр.-ва с формой: ; в коорд.: ().
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в коорд.: ; если , то — однор. многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : множество вида , где , , .
- Примеры гиперповерхностей. Утверждение: пусть , , и ; тогда .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма (то есть );
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма (то есть );
(2) отображения и — взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть и , или и ; тогда .
3.1.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
- Оператор бемоль (опускание индекса): . Опускание индекса в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы : . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность: — биекция. Пример: и ; тогда топол. вырождена.
- Пример ( или ): и ; тогда топол. невырождена (без доказат.-ва).
- Оператор диез (подъем индекса): ( невырождена). Подъем индекса в коорд. (): и .
- Теорема о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , , , ,
и ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональные векторы (): . Ортогональное дополн.-е: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр.-во над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор на : );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис относит. : — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис относительно ( или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем и ;
тогда существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис относительно (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис относительно (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , и форма невырождена; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; для любых обозначим через пространство и обозначим через -й угловой минор
матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно тому, что ); для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ). - Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва и Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
- Положительно опред. формы: . Отрицательно опред. формы: .
- Положит. и отрицат. опред. матрицы: и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена, и .
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Индексы инерции формы : и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — вект. простр.-во над полем , , и ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над R или C. Пусть или , — векторные
пространства над полем , , и ; тогда (то есть ),
если и только если , и . - Сигнатура формы : (или ). Классифик.-я кривых и поверхностей второго порядка (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.2 Предгильбертовы пространства
- Предгильбертово пространство — вект. пр.-во над или с полож. опред. формой. Обозн.-е формы: . Примеры: , .
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Норма: . Утверждение: и . Гильбертово пространство — полное предгильбертово пр.-во. Пример: .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Метрика: . Расстояние между вектором и подпространством: . Метод наименьших квадратов.
- Угол между векторами и между вектором и подпр.-вом (, , , ): и .
3.2.3 Объем и векторное произведение
- Псевдоевклидово пространство — конечномерное вект. пр.-во над с невырожденной симметричной билинейной формой. Пример: пр.-во Минковского.
- Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (): . Корректность определения формы .
- Объем в коорд. (): (). Теорема об объеме и матрицах Грама.
Теорема об объеме и матрицах Грама. Пусть — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы ),
, и ; тогда (в частности, если векторы попарно
ортогональны, то ). - Неотрицат. объем в евкл. пр.-ве: в , если независ. (иначе ).
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
(1) , где и ;
(2) если , то . - Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: ().
- Вект. произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — ориентированное евклидово пространство, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и ;
(3) если , то для любых выполнено и
(и, значит, — алгебра Ли относительно операции ).