Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 17:30, 26 июня 2017

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры: ${\displaystyle (v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$), ${\displaystyle (f,g)\mapsto\!\int_\alpha^\beta\!\!sfg}$ (${\displaystyle V=\mathrm C^0\!([\alpha;\beta],\mathbb R)}$, ${\displaystyle s\in V}$).
• Поля с инволюцией. Пространство ${\displaystyle {\overline {V}}}$: ${\displaystyle c\overline\cdot v=\overline c\,v}$. Пространство ¯-билинейных (полуторалинейных, если ${\displaystyle \overline{\phantom c}\ne\mathrm{id}_K}$) форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)}$.
• Матрица Грама формы ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle (\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})}$ (${\displaystyle e\in V^{n}}$). ¯-Билинейная форма в координатах: ${\displaystyle \sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}}$.
• Изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ (${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$). Преобразов.-я при замене базиса: ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}}$.
• Простр.-ва (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}}$.
• Пр.-ва (над полем ${\displaystyle \{c\in K\mid c={\overline {c}}\}}$) ${\displaystyle {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}}$, ${\displaystyle \mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))\cap \mathrm {Bij} (V,Y)}$.
• Группа автоморфизмов простр.-ва с формой: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V,\sigma )=\mathrm {Iso} ((V,\sigma ),(V,\sigma ))}$ и ${\displaystyle \mathrm {Aut} (n,K,s)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid a^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {a}}=s\}}$ (${\displaystyle s\in \mathrm {Mat} (n,K)}$).

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\displaystyle {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \kappa(c\,v)=c\,\overline c\,\kappa(v)}$.
• ¯-Квадратичная форма в коорд.: ${\displaystyle \kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}}$; если ${\displaystyle \overline{\phantom c}=\mathrm{id}_K}$, то ${\displaystyle \kappa(v)}$ — однор. многочлен степени ${\displaystyle 2}$ от ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве ${\displaystyle V}$: множество вида ${\displaystyle \{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}}$, где ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}}$, ${\displaystyle \lambda \in V^{*}}$, ${\displaystyle c\in K}$.
• Примеры кривых второго порядка (${\displaystyle \dim V=2}$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \{v\in V\mid(v^1)^2+(v^2)^2=1\}}$, ${\displaystyle \{v\in V\mid(v^1)^2-(v^2)^2=1\}}$, ${\displaystyle \{v\in V\mid(v^1)^2=v^2\}}$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in \mathrm {Quad} (V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v)-\kappa(w)\bigr)/2\end{align}\!\biggr)}$, имеем следующие факты:
  ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — симметричная билинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)}$) и ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\mathrm{pol}_\kappa(v,v)\bigr)}$;
  (2) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle \kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)}$, обозначая через ${\displaystyle \,\mathrm {pol} _{\kappa }}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}}$,
  имеем следующие факты: ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }}$ — полуторалинейная форма (то есть ${\displaystyle \mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$) и ${\displaystyle \forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\mathrm{pol}_\kappa(v,v)\bigr)}$;
  (2) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$ и ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {SBi} (V)}$, или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)}$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}}$.