Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 23:00, 20 июня 2017

2 Линейная алгебра

2.1 Матрицы, базисы, координаты

2.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк

Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$ . Пространство столбцов: $K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$ . Пространство строк: $K_n=\mathrm{Mat}(1,n,K)$ .
Матричные единицы: $(\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}$ . Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$ : $\{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ .
Стандартный базис пространства $K^{p}$ : $\{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$ . Стандартный базис пространства $K_{n}$ : $\{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$ .
Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$ . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$ . Группа $\mathrm {GL} (n,K)$ .
Строки матрицы: $a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a$ . Столбцы матрицы: $a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}$ . Утверждение: $(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}$ и $(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}$ .
След матрицы: $\mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}$ . Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)$ ; тогда $\mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)$ .
Транспонирование матрицы: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$ . Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)$ ; тогда $(b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}$ .

2.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$ . Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ .
Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$ . Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$ . Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$ .
Изоморфизм векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ . Изоморфизм колец и векторных пространств ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ .

2.1.3 Преобразования координат при замене базиса

Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$ . Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$ . Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$ .
Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ . Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ . Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$ .
Преобразование координат гомоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ . Покомпонентная запись (если $a$ — эндоморфизм): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$ .

2.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$ .
Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a$ .
Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})$ .
Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ ; тогда
(1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$ , что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$ ).
Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2 Линейные операторы (часть 1)

2.2.1 Ядро и образ линейного оператора

Отступление о свойствах базиса. Утверждение: $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$ . Утверждение: пусть $U\leq V$ , $\dim U=\dim V<\infty$ ; тогда $U=V$ .
Ядро линейного оператора: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V$ . Образ линейного оператора: $\mathrm {Im} \,a\leq Y$ . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$ , $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ , $y\in Y$ , $v_{0}\in a^{-1}(y)$ ; тогда $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$ .

Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$ , $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$ .
Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ ,
$\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда выполнено $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$ .
Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V=\dim Y<\infty$ ;
тогда выполнено $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)$ .

2.2.2 Ранг линейного оператора

Ранг линейного оператора: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$ . Ранг матрицы (ранг по столбцам): $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$ . Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$ .
Утверждение: $\mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}$ . Утверждение: $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V$ и $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y$ .
Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ ; тогда
(1) для любых матриц $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)$ ;
(2) существуют такие матрицы $g\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g'\in \mathrm {GL} (n,K)$ , что $g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$ ;
(3) $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ и $\,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3 Системы линейных уравнений

Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть $a\cdot v_{0}=y$ ; тогда $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$ .
Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ , $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$ ; тогда $\exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$ .
Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$ .

2.3 Конструкции над векторными пространствами

2.3.1 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

Факторпространство: $V/U$ . Утверждение: пусть $U\leq V$ , $A$ — базис в $U$ , $B$ — базис в $V$ , $A\subseteq B$ ; тогда $\{b+U\mid b\in B\setminus A\}$ — базис в $V/U$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$ .
Прямая сумма векторных пространств: $U\oplus W$ . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$ ;
обозначим через $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$ , $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$ ;
(2) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$ $\;\Leftrightarrow \,$ $\forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}$ $\,\Leftrightarrow \;$ $U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V$ ;
(3) если $\dim V<\infty$ , то $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)$ $\;\Leftrightarrow \;$ $U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V$ ;
(4) если $\dim U,\dim W<\infty$ , то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$ (это формула Грассмана).
Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: $a(U)\leq U$ . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2 Двойственное пространство

Двойственное пространство: $V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)$ . Двойственный базис: $e^{j}(v)=(v^{e})^{j}$ . Утверждение: $\lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}$ . Столбец $e^{*}$ .
Строка координат ковектора. Утверждение: $\lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}$ . Преобразования при замене базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$ , $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ и $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$ .
Отождествление пространств $V$ и $V^{**}$ в случае конечномерного пространства $V$ при помощи изоморфизма $\,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ .
Сводная таблица о координатах. (В таблице $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $n=\dim V<\infty$ и $e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)$ .)

Инвариантный объект

Координаты
относительно базиса

Преобразование координат
при замене базиса

Пример использования
в геометрии и физике

вектор

—
элемент пространства

(тензор типа

над

)

(это изоморфизм
векторных пространств)

матричная запись:

покомпонентная запись:

преобразование базиса:

скорость в точке
гладкого пути
на многообразии

ковектор

—
элемент пространства

(тензор типа

над

)

(это изоморфизм
векторных пространств)

матричная запись:

покомпонентная запись:

преобразование базиса:

дифференциал в точке
гладкой функции (скалярного поля)
на многообразии

эндоморфизм

—
элемент пространства

(тензор типа

над

)

(это изоморфизм колец
и векторных пространств)

матричная запись:

покомпонентная запись:

дифференциал в неподвижной точке
гладкого отображения,
действующего из многообразия в себя

2.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1 Отступление о симметрических группах

Симметрическая группа: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
Утверждение: $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ . Утверждение: $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .
Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда перестановки $s$ и ${\breve {s}}$ сопряжены, если и только
если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок $s$ и ${\breve {s}}$ равны.
Транспозиции $\{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}$ и фундаментальные транспозиции $\{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}$ . Число циклов $\kappa (u)$ .
Лемма об умножении на транспозицию. Пусть $n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $u\in \mathrm {S} _{n}$ , $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i<j$ ; тогда
(1) если числа $i$ и $j$ принадлежат одному циклу в перестановке $u$ , то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1$ ;
(2) если числа $i$ и $j$ принадлежат разным циклам в перестановке $u$ , то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1$ .
Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; обозначим через $l$ число $n-\kappa (u)$ ; тогда
(1) существуют такие транспозиции $u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}$ , что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}$ ;
(2) для любых $t\in \mathbb {N} _{0}$ из существования таких транспозиций $u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}$ , что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}$ , следует, что $t\geq l$ и $t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)$ .
Знак перестановки: $\mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}$ . Утверждение: $\mathrm {sgn}$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: $\mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}$ .

2.4.2 Полилинейные отображения и формы объема

Пространства полилинейных отображений $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ , $\mathrm {Multi} _{k}(V,Y)$ и полилинейных форм $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)$ , $\mathrm {Multi} _{k}V$ .
Пространства билинейных отображений $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)$ , $\mathrm {Bi} (V,Y)$ и билинейных форм $\mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)$ , $\mathrm {Bi} (V)$ . Примеры полилинейных форм.
Пространство симметричных полилинейных форм $\mathrm {SMulti} _{k}V$ . Пространство антисимметричных полилинейных форм $\mathrm {AMulti} _{k}V$ .
Лемма об антисимметричных формах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V$ ; тогда
следующие условия эквивалентны (если $\mathrm {char} \,K=2$ , то исключаются импликации (2) $\;\Rightarrow \,$ (1) и (3) $\;\Rightarrow \,$ (1)):
(1) $\omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V$ ;
(2) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и таких $u\in \mathrm {S} _{k}$ , что $u$ — транспозиция, выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$ ;
(3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$ .
Пространство форм объема $\mathrm {AMulti} _{n}V$ ( $n=\dim V$ ). Форма объема, связанная с базисом: $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}$ .
Теорема о формах объема. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$ , $\dim V<\infty$ ; обозначим через $n$ число $\dim V$ ; тогда
(1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V$ выполнено $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}$ ;
(2) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ множество $\{\mathrm {vol} ^{e}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {AMulti} _{n}V$ ;
(3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0$ .

2.4.3 Определитель линейного оператора

Определитель линейного оператора: $\omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})$ , где $\omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}$ . Корректность определения.
Теорема о главных свойствах определителя. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$ ; тогда
(1) $\mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}$ (напоминание: $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }$ );
(2) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\det(a\circ b)=\det a\cdot \det b$
(и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
Определитель матрицы: $\det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}$ . Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; тогда $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}$ .
Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ ,
$a\in \mathrm {End} (V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; обозначим через $n$ число $\dim V$ ; тогда $\det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}$ .
Утверждение: $\det a=\det a^{\mathtt {T}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
Специальные линейные группы: $\mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)$ и $\mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)$ .

2.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица

Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: $\mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}$ ${\bigl (}$ дополнительный минор матрицы $a$ в позиции $(j,i)$ ${\bigr )}$ .
Теорема о присоединенной матрице. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$ ; тогда
(1) $\forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}$ и $\forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}$ (в частности,
при $i=k$ имеем $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}$ и при $j=l$ имеем $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}$ ;
это формулы разложения определителя матрицы $a$ по $i$ -й строке матрицы $a$ и по $j$ -му столбцу матрицы $a$ соответственно);
(2) $a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}}$ и, если $a\in \mathrm {GL} (n,K)$ , то $a^{-1}={\frac {1}{\det a}}\,\mathrm {adj} (a)$ .
Правило Крамера. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ , $a\in \mathrm {GL} (n,K)$ , $y\in K^{n}$ и $j\in \{1,\ldots ,n\}$ ; тогда $(a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}$ .
Теорема о базисном миноре. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ ; тогда $\mathrm {rk} (a)$ равен максимальному среди всех таких чисел
$m\in \mathbb {N} _{0}$ , что в матрице $a$ существует такая подматрица $a'$ размера $m\times m$ , что $\det a'\neq 0$ (то есть $a'\in \mathrm {GL} (m,K)$ ).

2.5 Линейные операторы (часть 2)

2.5.1 Многочлены от операторов

Многочлен от оператора: $f(a)=\sum _{k=0}^{\deg f}f_{k}a^{k}$ . Эвалюация ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм колец и векторных пространств.
Кольцо, порожденное оператором: $K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm {Im} \,\mathrm {eval} _{a}$ — коммутативное подкольцо и подпространство в $\mathrm {End} (V)$ .
Минимальный многочлен оператора: $\mu _{a}(a)=0$ , $\mu _{a}$ приведен, $\deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}$ ; $(\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]$ .
Утверждение: пусть $a\in \mathrm {End} (V)$ и $f\in K[x]$ ; тогда $a{\bigl (}\mathrm {Ker} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Ker} \,f(a)$ и, если $g\in K[x]$ и $f$ делит $g$ , то $\,\mathrm {Ker} \,f(a)\leq \mathrm {Ker} \,g(a)$ .
Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ ,
$f,g\in K[x]$ и $\gcd(f,g)=1$ ; тогда $\,\mathrm {Ker} \,(fg)(a)=\mathrm {Ker} \,f(a)\oplus \mathrm {Ker} \,g(a)$ .
Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ ,
$f\in K[x]$ , $f(a)=0$ и $f=\prod _{i=1}^{t}f_{i}$ , где $t\in \mathbb {N} _{0}$ , $f_{1},\ldots ,f_{t}\in K[x]$ и $f_{1},\ldots ,f_{t}$ попарно взаимно просты; тогда $V=\bigoplus _{i=1}^{t}\mathrm {Ker} \,f_{i}(a)$ .
Проектор (идемпотент): $a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a$ . Нильпотентный оператор: $\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}$ .

2.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

Спектр оператора: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}$ ; если $\dim V<\infty$ , то $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}$ .
Характеристический многочлен матрицы: $\chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)$ . Характеристический многочлен оператора: $\chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}$ . Корректность определения.
Утверждение: $\chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a$ . Утверждение: $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}$ (и, значит, $|\mathrm {Spec} (a)|\leq \dim V$ ).
Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда $\chi _{a}(a)=0$ .
Две кратности: $\alpha (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\chi _{a}$ (алгебраическая кратность) и $\beta (a,c)$ — кратность $c$ как корня многочлена $\mu _{a}$ .
Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ ; тогда
(1) многочлен $\mu _{a}$ делит многочлен $\chi _{a}$ (и, значит, $\forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}$ );
(2) $\mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}$ ;
(3) если $a$ — нильпотентный оператор, то $\chi _{a}=x^{\dim V}$ .

2.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора

Обобщенные собственные подпространства: $V_{j}(a,c)=\mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})^{j}\leq V$ . Корневые подпространства: $V(a,c)=\bigcup _{j=0}^{\infty }V_{j}(a,c)\leq V$ .
Цепь $a$ -инвариантных подпространств: $\{0\}<V_{1}(a,c)<\ldots <V_{p-1}(a,c)<V_{p}(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots$ ; вывод: $V(a,c)=V_{p}(a,c)$ .
Относительные геометрические кратности: $\gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)$ и $\gamma (a,c)=\gamma _{1}(a,c)$ . Утверждение: $\gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)$ .
Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ ;
тогда следующие условия эквивалентны:
(1) существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}$ — диагональная матрица;
(2) $\mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)$ (то есть $\mu _{a}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ );
(3) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму собственных подпространств оператора $a$ );
(3') $\dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)$ .
Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ , $c\in K$ ; тогда
(1) для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$ выполнено $\beta (a,c)\leq j\,\Leftrightarrow \,V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{j}(a,c)$ ;
(2) $\beta (a,c)=\min\{j\in \mathbb {N} _{0}\mid V_{j}(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}$ и $V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)$ .
Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ ,
$\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то
это условие выполнено для любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$ ); тогда
(1) $V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)$ (это разложение пространства $V$ в прямую сумму корневых подпространств оператора $a$ );
(2) для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$ , обозначая через $\mathrm {nil} (a,c)$ оператор $(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})|_{V(a,c)\to V(a,c)}$ , имеем следующий факт: для любых $j\in \mathbb {N} _{0}$
выполнено $\,\mathrm {Ker} \,\mathrm {nil} (a,c)^{j}=V_{j}(a,c)$ , а также $\mathrm {nil} (a,c)$ — нильпотентный оператор и $\dim V(a,c)=\alpha (a,c)$ .

2.6 Линейные операторы (часть 3)

2.6.1 Относительные базисы

Независимое подмножество в $V$ относительно $U$ : $\sum _{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow \,f=0$ . Порождающее подмножество в $V$ относительно $U$ : $U+\langle D\rangle =V$ .
Базис в $V$ относительно $U$ : одновременно независимое и порождающее подмножество в $V$ относительно $U$ . Три леммы-упражнения.
Лемма 1 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $U\leq V$ , $E\subseteq V$ ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) $E$ — базис в $V$ относительно $U$ ;
(1') $E$ — независимое подмножество в $V$ и $U\oplus \langle E\rangle =V$ ;
(2) $E$ — максимальное независимое подмножество в $V$ относительно $U$ ;
(3) $E$ — минимальное порождающее подмножество в $V$ относительно $U$ .
Лемма 2 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $U\leq V$ ; тогда
(1) любое независимое подмножество в $V$ относительно $U$ можно дополнить до базиса в $V$ относительно $U$ ;
(2) из любого конечного порождающего подмножества в $V$ относительно $U$ можно выделить базис в $V$ относительно $U$ .
Лемма 3 об относительных базисах. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $U'\leq U\leq V$ , $E$ — базис в $V$ относительно $U$ , $E'$ — базис в $U$
относительно $U'$ ; тогда $E\cup E'$ — базис в $V$ относительно $U'$ .
Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$ ;
обозначим через $V_{j-1}$ , $V_{j}$ , $V_{j+1}$ пространства $\,\mathrm {Ker} \,a^{j-1}$ , $\mathrm {Ker} \,a^{j}$ , $\mathrm {Ker} \,a^{j+1}$ соответственно; пусть $C$ — независимое подмножество в $V_{j+1}$
относительно $V_{j}$ ; тогда $a|_{C\to a(C)}$ — биекция и $a(C)$ — независимое подмножество в $V_{j}$ относительно $V_{j-1}$ .
Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ ,
$\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$ и $j\in \mathbb {N}$ ; тогда $\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j-1}\geq \dim \mathrm {Ker} \,a^{j+1}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}$ .

2.6.2 Жорданова нормальная форма оператора

Жордановы клетки: $\mathrm {jc} _{n}(0)=\mathrm {se} _{1}^{2}+\mathrm {se} _{2}^{3}+\ldots +\mathrm {se} _{n-1}^{n}$ и $\mathrm {jc} _{n}(c)=c\cdot \mathrm {id} _{n}+\mathrm {jc} _{n}(0)$ . Прямая сумма матриц: $a\oplus b\oplus \ldots =\!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots \end{smallmatrix}}{\Biggr )}$ .
Диаграммы Юнга. Жорданов блок: $\mathrm {jb} _{\Delta }(c)=\mathrm {jc} _{n_{1}}\!(c)\oplus \ldots \oplus \mathrm {jc} _{n_{r}}\!(c)$ , где числа $n_{1},\ldots ,n_{r}$ суть длины строк диаграммы Юнга $\Delta$ .
Диаграмма Юнга $\Delta (a,c)$ : высоты столбцов диаграммы $\Delta (a,c)$ суть относительные геометрические кратности $\gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)$ .
Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$ , $\dim V<\infty$ ,
$a\in \mathrm {End} (V)$ , $a$ — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что $a_{e}^{e}=\mathrm {jb} _{\Delta (a,0)}(0)$ .
Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ , $\dim V<\infty$ , $a\in \mathrm {End} (V)$
и многочлен $\chi _{a}$ раскладывается в произведение многочленов степени $1$ в кольце $K[x]$ (если $K=\mathbb {C}$ , то это условие выполнено для
любого оператора $a$ в силу алгебраической замкнутости поля $\,\mathbb {C}$ ); тогда существует такой упорядоченный базис $e\in \mathrm {OB} (V)$ , что
$a_{e}^{e}=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\mathrm {jb} _{\Delta (a,c)}(c)$ (то есть матрица $a_{e}^{e}$ раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).

2.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике

Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$ и $f\in K[x]$ ; тогда $f(a)=\mathrm {c} _{e}^{\mathrm {se} }\cdot f(\mathrm {jnf} (a))\cdot \mathrm {c} _{\mathrm {se} }^{e}$ . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
Экспонента от оператора: $\mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Пример вычисления экспоненты: $\mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$ и $\dim V<\infty$ ; тогда
(1) для любых таких $a,b\in \mathrm {End} (V)$ , что $a\circ b=b\circ a$ , выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\circ \mathrm {e} ^{b}$ ;
(2) для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}$ , а также $\det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}$ .
Однородная система линейных дифференциальных уравнений: $y'=a\cdot y$ ( $y\in \mathrm {C} ^{1}\!(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})$ , $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$ ). Решение: $y(x)=\mathrm {e} ^{xa}\!\cdot v$ ( $v\in \mathbb {C} ^{n}$ ).
Сведе́ние уравнения $y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +p_{0}y=0$ к системе уравнений ${\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}'\!=a\cdot \!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}$ . Фундаментальная система решений.
Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ''=E\psi$ и $\psi (0)=\psi (l)=0$ .
Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: $|\psi _{n}(x)|^{2}={\frac {2}{l}}\sin ^{2}\!{\Bigl (}{\frac {\pi n}{l}}x{\Bigr )}$ — плотность вероятности, $E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ml^{2}}}n^{2}$ — энергия.

2.7 Алгебры

2.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами

$K$ -Алгебра — векторное пространство над $K$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из $K$ .
Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
Примеры алгебр: $K$ -алгебры $K[x]$ , $K[[x]]$ , $K(x)$ , $\mathrm {End} (V)$ , $\mathrm {Mat} (n,K)$ , $\mathrm {Map} (X,K)$ ; $\mathbb {R}$ -алгебры $\mathbb {C}$ , $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением, $\mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )$ .
Структурные константы алгебры: ${\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}\!=((e_{j_{1}}e_{j_{2}})^{e})^{i}$ . Утверждение: массив ${\bigl (}{\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}{\bigr )}_{1\leq i,j_{1},j_{2}\leq \dim A}$ определяет умножение в $K$ -алгебре $A$ .
Теорема Кэли для алгебр. Пусть $K$ — поле и $A$ — ассоциативная $K$ -алгебра с $1$ ; обозначим через ${}_{K}\!A$ векторное пространство над
полем $K$ , получающееся из $K$ -алгебры $A$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых $a\in A$ , обозначая через $\mathrm {lm} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}$ , имеем следующий факт: $\mathrm {lm} _{a}$ — линейный оператор на векторном
пространстве ${}_{K}\!A$ (то есть элемент $K$ -алгебры $\,\mathrm {End} ({}_{K}\!A)$ );
(2) обозначая через $\mathrm {lm}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ , имеем следующий факт: $\mathrm {lm}$ — инъективный гомоморфизм алгебр с $1$ .
Алгебра с делением: $\forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}$ . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.

2.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных

Тензорное произведение полилинейных форм: $(\omega \otimes \omega ')(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}')=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})\,\omega '(v_{1}',\ldots ,v_{k'}')$ . Свойства операции $\otimes$ .
Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $n=\dim V$ ; тогда множество $\{e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\mid j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {Multi} _{k}V$ .
Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): $\mathrm {Multi} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathrm {Multi} _{k}V$ . Утверждение: $\mathrm {Multi} (V)$ — ассоциативная $K$ -алгебра с $1$ .
Моном (слово) от свободных переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ степени $k$ : $x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}$ ( $j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ ). Моноид слов $\mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ .
Пространство однородных многочленов степени $k$ : $K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}$ . Алгебра многочленов: $K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\bigoplus _{k=0}^{\infty }K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}$ .
Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть $K$ — поле, $V$ — вект. пр. над $K$ , $\dim V<\infty$ , $e\in \mathrm {OB} (V)$ ; обозначим через $n$ число $\dim V$ ;
тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to \mathrm {Multi} (V)\\x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}&\mapsto e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ , — изоморфизм алгебр с $1$ .

2.7.3 Тело кватернионов

$\mathbb {R}$ -Алгебра кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ и $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$ , $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$ , $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$ .
Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$ .
Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {re} (a)-\mathrm {im} (a)$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {re} (a)^{2}+\|\mathrm {im} (a)\|^{2}}}$ . Чистые кватернионы: $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {re} (v)=0\}=\{v\in \mathbb {H} \mid {\overline {v}}=-v\}$ .
Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {R}$ и $v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ выполнено $(\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')$ .
(2) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм алгебры $\,\mathbb {H}$ ).
(4) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Трехмерная сфера: $\mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }$ . Утверждение: пусть $g,g'\in \mathrm {S} ^{3}$ ; тогда $\forall \,a\in \mathbb {H} \;{\bigl (}|g\,a\,g'|=|a|{\bigr )}$ и $\forall \,v\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\,{\bigl (}g\,v\,g^{-1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }{\bigr )}$ .
Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный
гомоморфизм алгебр с $1$ , и его образ есть ${\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}$ (и, значит, $\mathbb {H} \cong {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}$ ).

2.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)

Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность ( $[a,a]=0$ ), тождество Якоби ( $[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0$ ).
Коммутатор в ассоциативной алгебре $A$ : $[a,b]=a\,b-b\,a$ . Алгебра $A^{-}$ : пространство ${}_{K}\!A$ с операцией $[\,,]$ . Утверждение: $A^{-}$ — алгебра Ли.
Примеры алгебр Ли: ${\mathfrak {gl}}(V)=\mathrm {End} (V)^{-}$ , ${\mathfrak {sl}}(V)=\{a\in {\mathfrak {gl}}(V)\mid \mathrm {tr} \,a=0\}$ , $\mathbb {R} ^{3}$ с векторным умножением ( $v\times w={\frac {1}{2}}[v,w]$ в алгебре Ли $\mathbb {H} ^{-}$ ).
Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть $K$ — поле и ${\mathfrak {g}}$ — $K$ -алгебра Ли; тогда
(1) для любых $a\in {\mathfrak {g}}$ , обозначая через $\mathrm {ad} _{a}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {g}}\\b&\mapsto [a,b]\end{aligned}}\!{\biggr )}$ , имеем следующий факт: $\mathrm {ad} _{a}$ — линейный оператор на векторном
пространстве ${}_{K}{\mathfrak {g}}$ (то есть элемент алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})$ );
(2) обозначая через $\mathrm {ad}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({}_{K}{\mathfrak {g}})\\a&\mapsto \mathrm {ad} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ , имеем следующий факт: $\mathrm {ad}$ — гомоморфизм алгебр Ли.
Алгебра дифференцирований алгебры $A$ : $\mathrm {Der} (A)=\{d\in {\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)\mid \forall \,a,b\in A\;{\bigl (}d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b){\bigr )}\}$ — подалгебра алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}({}_{K}\!A)$ .
Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $M$ — открытое подмножество в $\,\mathbb {R} ^{n}$ ; обозначим через $\,\mathrm {Func} (M)$ и $\,\mathrm {Vect} (M)$
алгебру $\,\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathbb {R} )$ и векторное пространство $\,\mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathbb {R} ^{n})$ соответственно; тогда
(1) для любых $v\in \mathrm {Vect} (M)$ , обозначая через $\mathrm {der} _{v}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Func} (M)&\to \mathrm {Func} (M)\\f&\mapsto \mathrm {d} f\cdot v\end{aligned}}\!{\biggr )}$ (здесь $\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R_n)$ ), имеем следующий
факт: $\mathrm {der} _{v}$ — дифференцирование алгебры $\,\mathrm {Func} (M)$ (то есть элемент алгебры Ли $\mathrm {Der} (\mathrm {Func} (M))$ );
(2) обозначая через $\mathrm {der}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Vect} (M)&\to \mathrm {Der} (\mathrm {Func} (M))\\v&\mapsto \mathrm {der} _{v}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ , имеем следующий факт: $\mathrm {der}$ — инъективный линейный оператор,
а также $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {der}$ — подалгебра алгебры Ли $\mathrm {Der} (\mathrm {Func} (M))$ ;
(3) определим на векторном пространстве $\,\mathrm {Vect} (M)$ бинарную операцию $[\,,]$ так, что для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$ выполнено
$\mathrm {der} _{[v,w]}=[\mathrm {der} _{v},\mathrm {der} _{w}]$ (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию $[\,,]$ ); тогда для любых $v,w\in \mathrm {Vect} (M)$
выполнено $[v,w]=\mathrm {d} w\cdot v-\mathrm {d} v\cdot w$ (здесь $\mathrm {d} v,\mathrm {d} w\in \mathrm {C} ^{\infty }\!(M,\mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} ))$ ), а также $\,\mathrm {Vect} (M)$ — алгебра Ли относительно операции $[\,,]$ .

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 __NOTOC__
 <h2>2&nbsp; Линейная алгебра</h2>
-<table cellpadding="6" cellspacing="0">
-<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-<br>научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-<br>щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического<br>анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-<br>нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство<br>приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности<br>малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы<br>является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной<br>алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной<br>двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-<br>лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.</td></tr><tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия</i></td></tr></table></td></tr>
-<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table><br>
-[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]
+<h3>2.1&nbsp; Матрицы, базисы, координаты</h3>
+<h5>2.1.1&nbsp; Пространства матриц, столбцов, строк</h5>
+<ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>K_n=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.
+<li>Матричные единицы: <math>(\mathrm{se}_i^j)^k_l=\delta_i^k\delta^j_l</math>. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathrm{se}_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
+<li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{\mathrm{se}_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>K_n</math>: <math>\{\mathrm{se}^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
+<li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.
+<li>Строки матрицы: <math>a^i=\mathrm{se}^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы: <math>a_j=a\cdot\mathrm{se}_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k=\sum_{j=1}^pa^j_k\,b_j</math></i>.
+<li>След матрицы: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math></i>.
+<li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math></i>.</ul>
-<font size="3"><b>Содержание первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>
+<h5>2.1.2&nbsp; Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5>
-<h5>2.1&nbsp; Матрицы, базисы, координаты</h5>
+<ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>.
-<ul><li>2.1.1&nbsp; Пространства матриц, столбцов, строк
+<li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.
-<li>2.1.2&nbsp; Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
+<li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>
-<li>2.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса
-<li>2.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</ul>
-<h5>2.2&nbsp; Линейные операторы (часть 1)</h5>
-<ul><li>2.2.1&nbsp; Ядро и образ линейного оператора
-<li>2.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора
-<li>2.2.3&nbsp; Системы линейных уравнений</ul>
-<h5>2.3&nbsp; Конструкции над векторными пространствами</h5>
-<ul><li>2.3.1&nbsp; Факторпространства и прямая сумма векторных пространств
-<li>2.3.2&nbsp; Двойственное пространство</ul>
-<h5>2.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h5>
-<ul><li>2.4.1&nbsp; Отступление о симметрических группах
-<li>2.4.2&nbsp; Полилинейные отображения и формы объема
-<li>2.4.3&nbsp; Определитель линейного оператора
-<li>2.4.4&nbsp; Миноры матрицы и присоединенная матрица</ul><br>
-<font size="3"><b><u>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</u></b></font>
+<h5>2.1.3&nbsp; Преобразования координат при замене базиса</h5>
+<ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}</math></i>.
+<li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.
+<li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
+<h5>2.1.4&nbsp; Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
+<ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
+<li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathrm{se}_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\mathrm{se}_i^i)\cdot a</math>.
+<li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_j^j)</math>.
+<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
+<p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p>
+<li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul>
+<h3>2.2&nbsp; Линейные операторы (часть 1)</h3>
+<h5>2.2.1&nbsp; Ядро и образ линейного оператора</h5>
+<ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U=\dim V<\infty</math>; тогда <math>U=V</math></i>.
+<li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
+<p><u>Лемма о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p>
+<p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
+<li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда выполнено <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>
+<li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда выполнено <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math>.</i></ul>
+<h5>2.2.2&nbsp; Ранг линейного оператора</h5>
+<ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>.
+<li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min\{\dim V,\dim Y\}</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>.
+<li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathrm{se}_1^1+\mathrm{se}_2^2+\ldots+\mathrm{se}_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul>
+<h5>2.2.3&nbsp; Системы линейных уравнений</h5>
+<ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math></i>.
+<li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;\bigl(a\cdot v=y\bigr)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i>
+<li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul>
+<h3>2.3&nbsp; Конструкции над векторными пространствами</h3>
+<h5>2.3.1&nbsp; Факторпространства и прямая сумма векторных пространств</h5>
+<ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>.
+<li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i>
+<li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
+<p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>;<br>обозначим через <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;\dim U+\dim W=\dim V</math>;<br>(4) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i></p>
+<li>Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
+<li>Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.</ul>
+<h5>2.3.2&nbsp; Двойственное пространство</h5>
+<ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\!\sum_{j=1}^{\dim V}\!\lambda(e_j)e^j</math>. Столбец <math>e^*</math>.
+<li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
+<li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>.
+<li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>
+<p><table border cellpadding="3" cellspacing="0">
+<tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
+<tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
+<td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
+<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr>
+<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr>
+<tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
+<td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr>
+<tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
+<td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
+<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
+<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr>
+<tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
+<td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
+<tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
+<td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
+<td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
+<tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)</math></td></tr></table></td>
+<td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p>
+<h3>2.4&nbsp; Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
+<h5>2.4.1&nbsp; Отступление о симметрических группах</h5>
+<ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
+<li>Утверждение: <math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.
+<li><u>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s,\breve s\in\mathrm S_n</math>; тогда перестановки <math>s</math> и <math>\breve s</math> сопряжены, если и только<br>если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math> равны.</i>
+<li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>.
+<li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i<j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i>
+<li><u>Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>n-\kappa(u)</math>; тогда<br>(1) существуют такие транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_l</math>;<br>(2) для любых <math>t\in\mathbb N_0</math> из существования таких транспозиций <math>u_1,\ldots,u_t\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_t</math>, следует, что <math>t\ge l</math> и <math>t\equiv l\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
+<li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{sgn}</math> — гомоморфизм групп</i>. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}\trianglelefteq\mathrm S_n</math>.</ul>
+<h5>2.4.2&nbsp; Полилинейные отображения и формы объема</h5>
+<ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math>, <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math>, <math>\mathrm{Multi}_kV</math>.
+<li>Пространства билинейных отображений <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math> и билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилинейных форм.
+<li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}_kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}_kV</math>.
+<li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}_kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i>
+<li>Пространство форм объема <math>\mathrm{AMulti}_nV</math> (<math>n=\dim V</math>). Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>.
+<li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}_nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul>
+<h5>2.4.3&nbsp; Определитель линейного оператора</h5>
+<ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math>. Корректность определения.
+<li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i>
+<li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math></i>.
+<li><u>Лемма об определителе оператора и определителе матрицы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>.</i>
+<li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
+<li>Специальные линейные группы: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>.</ul>
+<h5>2.4.4&nbsp; Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5>
+<ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>.
+<li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности,<br>при <math>i=k</math> имеем <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a\Bigr)</math> и при <math>j=l</math> имеем <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a\Bigr)</math>;<br>это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i>
+<li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i>
+<li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел<br><math>m\in\mathbb N_0</math>, что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i></ul>
 <h3>2.5&nbsp; Линейные операторы (часть 2)</h3>
@@ Строка 73: / Строка 160: @@
 <h5>2.6.3&nbsp; Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5>
 <ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
-<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&\varphi\\-\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
+<li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты.
 <p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math>, что <math>a\circ b=b\circ a</math>, выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>;<br>(2) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>, а также <math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>.</i></p>
 <li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>).
@@ Строка 95: / Строка 182: @@
 <li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W_\otimes(x_1,\ldots,x_n)</math>.
 <li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]=\bigoplus_{k=0}^\infty K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]_k</math>.
-<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i>
+<li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_k}\!\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></ul>
-<li>Идеалы <math>I_\mathrm S</math> и <math>I_\mathrm A</math>: <math>I_\mathrm S=\bigl(\{x_i\otimes x_j-x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>, <math>I_\mathrm A=\bigl(\{x_i\otimes x_j+x_j\otimes x_i\mid i,j\in\{1,\ldots,n\}\}\cup\{x_i\otimes x_i\mid i\in\{1,\ldots,n\}\}\bigr)</math>.
-<li>Алгебры многочл. от коммутирующих и антикоммутирующих перем.: <math>K[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/I_\mathrm S</math>, <math>K_\wedge[x_1,\ldots,x_n]=K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]/I_\mathrm A</math>.</ul>
 <h5>2.7.3&nbsp; Тело кватернионов</h5>
@@ Строка 109: / Строка 194: @@
 <h5>2.7.4&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5>
 <ul><li>Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (<math>[a,a]=0</math>), тождество Якоби (<math>[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0</math>).
-<li>Коммутатор в ассоциативной алгебре <math>A</math>: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^-</math>: пространство <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,\,]</math>. Утверждение: <i><math>A^-</math> — алгебра Ли</i>.
+<li>Коммутатор в ассоциативной алгебре <math>A</math>: <math>[a,b]=a\,b-b\,a</math>. Алгебра <math>A^-</math>: пространство <math>{}_K\!A</math> с операцией <math>[\,,]</math>. Утверждение: <i><math>A^-</math> — алгебра Ли</i>.
 <li>Примеры алгебр Ли: <math>\mathfrak{gl}(V)=\mathrm{End}(V)^-</math>, <math>\mathfrak{sl}(V)=\{a\in\mathfrak{gl}(V)\mid\mathrm{tr}\,a=0\}</math>, <math>\mathbb R^3</math> с векторным умножением (<math>v\times w=\frac12[v,w]</math> в алгебре Ли <math>\mathbb H^-</math>).
 <li><u>Теорема Кэли для алгебр Ли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>\mathfrak g</math> — <math>K</math>-алгебра Ли; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathfrak g</math>, обозначая через <math>\mathrm{ad}_a</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak g\\b&\mapsto[a,b]\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}_a</math> — линейный оператор на векторном<br>пространстве <math>{}_K\mathfrak g</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{ad}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathfrak g&\to\mathfrak{gl}({}_K\mathfrak g)\\a&\mapsto\mathrm{ad}_a\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{ad}</math> — гомоморфизм алгебр Ли.</i>
 <li>Алгебра дифференцирований алгебры <math>A</math>: <math>\mathrm{Der}(A)=\{d\in\mathfrak{gl}({}_K\!A)\mid\forall\,a,b\in A\;\bigl(d(a\,b)=d(a)\,b+a\,d(b)\bigr)\}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathfrak{gl}({}_K\!A)</math>.
-<li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>алгебру <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и векторное пространство <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,{}^n\mathbb R)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,\,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,\,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,\,]</math>.</i></ul><br>
+<li><u>Теорема об алгебре Ли векторных полей.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>M</math> — открытое подмножество в <math>\,\mathbb R^n</math>; обозначим через <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math><br>алгебру <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R)</math> и векторное пространство <math>\,\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R^n)</math> соответственно; тогда<br>(1) для любых <math>v\in\mathrm{Vect}(M)</math>, обозначая через <math>\mathrm{der}_v</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Func}(M)&\to\mathrm{Func}(M)\\f&\mapsto\mathrm df\cdot v\end{align}\!\biggr)</math> (здесь <math>\mathrm df\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathbb R_n)</math>), имеем следующий<br>факт: <math>\mathrm{der}_v</math> — дифференцирование алгебры <math>\,\mathrm{Func}(M)</math> (то есть элемент алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>);<br>(2) обозначая через <math>\mathrm{der}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Vect}(M)&\to\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))\\v&\mapsto\mathrm{der}_v\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{der}</math> — инъективный линейный оператор,<br>а также <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{der}</math> — подалгебра алгебры Ли <math>\mathrm{Der}(\mathrm{Func}(M))</math>;<br>(3) определим на векторном пространстве <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> бинарную операцию <math>[\,,]</math> так, что для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math> выполнено<br><math>\mathrm{der}_{[v,w]}=[\mathrm{der}_v,\mathrm{der}_w]</math> (из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию <math>[\,,]</math>); тогда для любых <math>v,w\in\mathrm{Vect}(M)</math><br>выполнено <math>[v,w]=\mathrm dw\cdot v-\mathrm dv\cdot w</math> (здесь <math>\mathrm dv,\mathrm dw\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathrm{Mat}(n,\mathbb R))</math>), а также <math>\,\mathrm{Vect}(M)</math> — алгебра Ли относительно операции <math>[\,,]</math>.</i></ul>
-<font size="3"><b>Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра курса алгебры</b></font>
-<ol><li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1 «Многочлены от операторов».
-<li>Строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 «Многочлены от операторов».
-<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
-<li>Строки 1, 2, 4 пункта 2.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
-<li>Строки 2, 5, 6 пункта 2.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
-<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
-<li>Строки 1, 4 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
-<li>Строки 1, 5 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
-<li>Строки 1, 6 пункта 2.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
-<li>Строки 1, 2 пункта 2.6.1 «Относительные базисы».
-<li>Строки 3, 4 пункта 2.6.1 «Относительные базисы».
-<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
-<li>Строки 1, 2, 3, 5 пункта 2.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
-<li>Строки 1, 2 пункта 2.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
-<li>Строки 3, 4 пункта 2.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
-<li>Строки 5, 6 пункта 2.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
-<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
-<li>Строки 2, 5, 6 пункта 2.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
-<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
-<li>Строки 4, 5, 6 пункта 2.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
-<li>Строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.7.3 «Тело кватернионов».
-<li>Строки 5, 6 пункта 2.7.3 «Тело кватернионов».
-<li>Строки 1, 2, 3 пункта 2.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
-<li>Строки 1, 4 пункта 2.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
-<li>Строки 5, 6 пункта 2.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».</ol><br>
-<font size="3"><b>Правила проведения экзамена</b></font>
-<ul><li>На экзамене можно использовать только написанные выше подробный план курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
-<li>«Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в подробном плане курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 2.5.1),<br>либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 2.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
-<li>При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,<br>то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
-<li>На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25<br>(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по<br>всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
-<li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать<br>на экзамене подробный план курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).</ul>

Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 23:00, 20 июня 2017

2 Линейная алгебра

2.1 Матрицы, базисы, координаты

2.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк

2.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

2.1.3 Преобразования координат при замене базиса

2.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

2.2 Линейные операторы (часть 1)

2.2.1 Ядро и образ линейного оператора

2.2.2 Ранг линейного оператора

2.2.3 Системы линейных уравнений

2.3 Конструкции над векторными пространствами

2.3.1 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

2.3.2 Двойственное пространство

2.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1 Отступление о симметрических группах

2.4.2 Полилинейные отображения и формы объема

2.4.3 Определитель линейного оператора

2.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица

2.5 Линейные операторы (часть 2)

2.5.1 Многочлены от операторов

2.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

2.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора

2.6 Линейные операторы (часть 3)

2.6.1 Относительные базисы

2.6.2 Жорданова нормальная форма оператора

2.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике

2.7 Алгебры

2.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами

2.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных

2.7.3 Тело кватернионов

2.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)

Навигация

Просмотры

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты