Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
<ul><li>Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором <math>a</math>: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)</math>. | <ul><li>Эвалюация <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{eval}_a\colon K[x]&\to\mathrm{End}(V)\\f&\mapsto f(a)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором <math>a</math>: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)</math>. | ||
<li>Минимальный многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> нормирован, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}\,\land\,f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>. | <li>Минимальный многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> нормирован, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus\!\{0\}\,\land\,f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math>, а также, если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(2) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, если <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0</math>, то <math>V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i> | + | <li><u>Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) если <math>f\in K[x]</math>, то <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)</math>, а также, если <math>f,g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)</math>;<br>(2) если <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>f_1,\ldots,f_k\in K[x]</math> и многочлены <math>f_1,\ldots,f_k</math> попарно взаимно просты, то <math>\,\mathrm{Ker}\,(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math><br>(и, значит, если <math>(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0</math>, то <math>V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)</math>).</i> |
− | <li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>. | + | <li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>. Отражение: <math>a^2=\mathrm{id}_V\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(a-\mathrm{id}_V)\oplus\mathrm{Ker}\,(a+\mathrm{id}_V)</math> (здесь <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>). |
<li>Собственные число и вектор лин. операт. <math>a</math>: <math>a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0</math>. Спектр лин. операт. <math>a</math>: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\notin\mathrm{GL}(V)\}</math>. Лемма о спектре. | <li>Собственные число и вектор лин. операт. <math>a</math>: <math>a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0</math>. Спектр лин. операт. <math>a</math>: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\notin\mathrm{GL}(V)\}</math>. Лемма о спектре. | ||
<p><u>Лемма о спектре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)</math><br>и, если <math>\dim V<\infty</math>, то "<math>\,\subseteq</math>" можно заменить на "<math>\,=</math>".</i></p> | <p><u>Лемма о спектре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)</math><br>и, если <math>\dim V<\infty</math>, то "<math>\,\subseteq</math>" можно заменить на "<math>\,=</math>".</i></p> | ||
<li>Характеристический многочлен матрицы <math>a</math>: <math>\chi_a=\det(x\cdot\mathrm{id}_n-a)</math>. Характеристический многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\chi_a=\chi_{a_e^e}</math>. Корректность опред.-я. | <li>Характеристический многочлен матрицы <math>a</math>: <math>\chi_a=\det(x\cdot\mathrm{id}_n-a)</math>. Характеристический многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\chi_a=\chi_{a_e^e}</math>. Корректность опред.-я. | ||
<li>След линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e</math>. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли. | <li>След линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e</math>. Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли. | ||
− | <p><u>Теорема о спектре и характеристическом многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\chi_a(c)=0\}</math> (и, значит, <math>|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n</math>);<br>(2) <math>\chi_a=x^n-\mathrm{tr}\,a\cdot x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det a</math>;<br>(3) если <math>a</math> — нильпотентный линейный оператор, то <math>\chi_a=x^n</math>.</i></p> | + | <p><u>Теорема о спектре и характеристическом многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\chi_a(c)=0\}</math> (и, значит, <math>|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\chi_a=n</math>);<br>(2) <math>\chi_a=x^n-\mathrm{tr}\,a\cdot x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det a</math>;<br>(3) если <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)</math> (то есть <math>a</math> — нильпотентный линейный оператор), то <math>\chi_a=x^n</math>.</i></p> |
<p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p> | <p><u>Теорема Гамильтона–Кэли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\chi_a(a)=0</math>.</i></p> | ||
− | <li> | + | <li>Кратности: <math>\alpha(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\chi_a\}</math> (алгебраич. кратность), <math>\beta(a,c)=\max\{k\in\mathbb N_0\!\mid(x-c)^k\,|\,\mu_a\}</math>. Теорема о минимальном многочлене. |
− | <p><u> | + | <p><u>Теорема о минимальном многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) многочлен <math>\mu_a</math> делит многочлен <math>\chi_a</math> (и, значит, <math>\forall\,c\in K\;\bigl(\beta(a,c)\le\alpha(a,c)\bigr)</math>);<br>(2) <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\mu_a(c)=0\}</math> (и, значит, <math>|\mathrm{Spec}(a)|\le\deg\mu_a</math>).</i></p></ul> |
Версия 18:00, 12 марта 2017
2 Линейная алгебра
2.3 Линейные операторы (часть 2)
2.3.1 Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора
- Эвалюация — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором : .
- Минимальный многочлен лин. оператора : , нормирован, ; .
- Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если , то , а также, если и делит , то ;
(2) если , и многочлены попарно взаимно просты, то
(и, значит, если , то ). - Проектор (идемпотент): . Отражение: (здесь ).
- Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. операт. : . Лемма о спектре.
Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
и, если , то "" можно заменить на "". - Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
- След линейного оператора : . Корректность определения. Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Теорема Гамильтона–Кэли.
Теорема о спектре и характеристическом многочлене. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) (и, значит, );
(2) ;
(3) если (то есть — нильпотентный линейный оператор), то .Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Кратности: (алгебраич. кратность), . Теорема о минимальном многочлене.
Теорема о минимальном многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) (и, значит, ).