Алгебра phys 1 апрель–май — различия между версиями

Версия 23:00, 10 марта 2017

2  Линейная алгебра

2.3  Линейные операторы (часть 2)

2.3.1  Многочлены от линейных операторов, спектр и характеристический многочлен линейного оператора

• Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм. Кольцо, порожденное лин. оператором ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a\le\mathrm{End}(V)}$.
• Минимальный многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ нормирован, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Теорема о ядре многочлена от линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle f\in K[x]}$, то ${\displaystyle a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\subseteq\mathrm{Ker}\,f(a)}$, а также, если ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{Ker}\,f(a)\subseteq\mathrm{Ker}\,g(a)}$;
  (2) если ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_1,\ldots,f_k\in K[x]}$ и ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты; тогда ${\displaystyle \mathrm{Ker}(f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$ (и, значит,
  если ${\displaystyle (f_1\cdot\ldots\cdot f_k)(a)=0}$, то ${\displaystyle V=\mathrm{Ker}\,f_1(a)\oplus\ldots\oplus\mathrm{Ker}\,f_k(a)}$).
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a}$. Нильпотентный линейный оператор: ${\displaystyle \exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}}$.
• Спектр оператора лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}}$; если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}}$.
• Характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)}$. Характеристический многочлен лин. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}}$. Корректность опр.-я.
• Утверждение: ${\displaystyle \chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}}$ (и, значит, ${\displaystyle |\mathrm {Spec} (a)|\leq \dim V}$).
• Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.
• Две кратности: ${\displaystyle \alpha (a,c)}$ — кратность ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \chi _{a}}$ (алгебраическая кратность) и ${\displaystyle \beta (a,c)}$ — кратность ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \mu _{a}}$.
• Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, ${\displaystyle \forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$;
  (3) если ${\displaystyle a}$ — нильпотентный оператор, то ${\displaystyle \chi _{a}=x^{\dim V}}$.