Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 58: | Строка 58: | ||
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | ||
− | <h5>3. | + | <h3>3.6 Векторные пространства с геометрической структурой (часть 2)</h3> |
− | <ul><li>Билин. формы <math>\otimes^k\sigma</math> и <math>\wedge^k\sigma</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\otimes^k\sigma\,\colon\mathcal T^kV\times\mathcal T^kV&\to K\\(v_1\otimes\ldots\otimes v_k,w_1\otimes\ldots\otimes w_k)&\mapsto\sigma(v_1,w_1)\cdot\ldots\cdot\sigma(v_k,w_k)\end{align}\!\biggr)\!\in\mathrm{Bi}(\mathcal T^kV)</math> и <math>\wedge^k\sigma=\frac1{k!}\bigl({\otimes}^k\sigma\bigr)|_{\mathsf\Lambda^kV\times\mathsf\Lambda^kV}\!\in\mathrm{Bi}(\mathsf\Lambda^kV)</math>. | + | <h5>3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа</h5> |
+ | <ul><li>Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (<math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm{vol}=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\,\mathrm{vol}^e</math>. Корректность определения формы <math>\mathrm{vol}</math>. | ||
+ | <li>Объем в коорд. (<math>n=\dim V</math>): <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\sum_{1\le j_1,\ldots,j_n\le n}\!\!\!\varepsilon_{j_1,\ldots,j_n}v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_n^{j_n}</math> (<math>\varepsilon=\mathrm{sgn}</math>). Теорема об объеме и матрицах Грама. | ||
+ | <p><u>Теорема об объеме и матрицах Грама.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы <math>\sigma</math>),<br><math>n=\dim V</math>, <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_n)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\det\sigma_{d,d}|}</math> (в частности, если векторы <math>v_1,\ldots,v_n</math> попарно<br>ортогональны, то <math>\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)=\mathrm{sign}(d)\sqrt{|\sigma(v_1,v_1)|}\cdot\ldots\cdot\!\sqrt{|\sigma(v_n,v_n)|}</math>).</i></p> | ||
+ | <li>Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_m)|</math> в <math>\langle v_1,\ldots,v_m\rangle</math>, если <math>v_1,\ldots,v_m</math> независимы; иначе <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=0</math>. | ||
+ | <li><u>Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>m\in\mathbb N_0</math> и <math>v_1,\ldots,v_m\in V</math>; тогда<br>(1) <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=\!\sqrt{\det\sigma_{d,d}}</math>, где <math>\sigma=(\,\mid\,)</math> и <math>d=(v_1,\ldots,v_m)</math>;<br>(2) если <math>m\ge1</math>, то <math>|\mathrm{vol}|_m(v_1,\ldots,v_m)=|\mathrm{vol}|_{m-1}(v_1,\ldots,v_{m-1})\cdot\|v_m\!-\mathrm{proj}_{\langle v_1,\ldots,v_{m-1}\rangle}(v_m)\|</math>.</i> | ||
+ | <li>Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}=\sharp^\sigma\bigl(v_n\!\mapsto\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math> (<math>\Leftrightarrow\,\forall\,v_n\in V\;\bigl(\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},v_n)=\mathrm{vol}(v_1,\ldots,v_n)\bigr)</math>). | ||
+ | <li>Вект. произведение в коорд.: <math>(v_1\times\ldots\times v_{n-1})^i=\mathrm{sign}(e)\sqrt{|\det\sigma_{e,e}|}\!\!\!\!\sum_{1\le j,j_1,\ldots,j_{n-1}\le n}\!\!\!\!\sigma^{i,j}\,\varepsilon_{j_1,\ldots,j_{n-1},j}\,v_1^{j_1}\!\cdot\ldots\cdot v_{n-1}^{j_{n-1}}</math>. Теорема о векторном произведении. | ||
+ | <p><u>Теорема о векторном произведении.</u> <i>Пусть <math>V</math> — ориентированное евклидово пространство, <math>n=\dim V\ge1</math> и <math>v_1,\ldots,v_{n-1}\in V</math>; тогда<br>(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы <math>v_1,\ldots,v_{n-1}</math> независимы, (у2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\ne0</math> и (у3) <math>(v_1,\ldots,v_{n-1},v_1\times\ldots\times v_{n-1})\in\mathrm{OB}_{>0}(V)</math>;<br>(2) <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math> и <math>\|v_1\times\ldots\times v_{n-1}\|=|\mathrm{vol}|_{n-1}(v_1,\ldots,v_{n-1})</math>;<br>(3) если <math>n=3</math>, то для любых <math>u,v,w\in V</math> выполнено <math>(u\times v)\times w=(u\!\mid\!w)\,v-(v\!\mid\!w)\,u\,</math> и <math>\,(u\times v)\times w+(v\times w)\times u+(w\times u)\times v=0</math>.</i></p> | ||
+ | <li>Билин. формы <math>\otimes^k\sigma</math> и <math>\wedge^k\sigma</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\otimes^k\sigma\,\colon\mathcal T^kV\times\mathcal T^kV&\to K\\(v_1\otimes\ldots\otimes v_k,w_1\otimes\ldots\otimes w_k)&\mapsto\sigma(v_1,w_1)\cdot\ldots\cdot\sigma(v_k,w_k)\end{align}\!\biggr)\!\in\mathrm{Bi}(\mathcal T^kV)</math> и <math>\wedge^k\sigma=\frac1{k!}\bigl({\otimes}^k\sigma\bigr)|_{\mathsf\Lambda^kV\times\mathsf\Lambda^kV}\!\in\mathrm{Bi}(\mathsf\Lambda^kV)</math>. | ||
<li><u>Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_k\in V</math> выполнено <math>(\wedge^k\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_k,w_1\wedge\ldots\wedge w_k)=\det\!\Biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v_1,w_1)&\ldots&\sigma(v_1,w_k)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma(v_k,w_1)&\ldots&\sigma(v_k,w_k)\end{smallmatrix}\Biggr)</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,\dim V\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>{\downarrow_{\wedge^k\sigma}}(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^k\sigma(e_{i_h},e_{i_h})\,(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})^*</math> (и, значит, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то и форма <math>\wedge^k\sigma</math> невырождена).</i> | <li><u>Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_k\in V</math> выполнено <math>(\wedge^k\sigma)(v_1\wedge\ldots\wedge v_k,w_1\wedge\ldots\wedge w_k)=\det\!\Biggl(\begin{smallmatrix}\sigma(v_1,w_1)&\ldots&\sigma(v_1,w_k)\\\vdots&\ddots&\vdots\\\sigma(v_k,w_1)&\ldots&\sigma(v_k,w_k)\end{smallmatrix}\Biggr)</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,\dim V\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>{\downarrow_{\wedge^k\sigma}}(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^k\sigma(e_{i_h},e_{i_h})\,(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})^*</math> (и, значит, если форма <math>\sigma</math> невырождена, то и форма <math>\wedge^k\sigma</math> невырождена).</i> | ||
<li>Отнош.-е одинаковой ориентированности: <math>e\;\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\;\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_\tilde e^e>0</math>. Утверждение: <math>|\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim|=2</math>. Ориентация: элемент <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. | <li>Отнош.-е одинаковой ориентированности: <math>e\;\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\;\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_\tilde e^e>0</math>. Утверждение: <math>|\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim|=2</math>. Ориентация: элемент <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. | ||
Строка 68: | Строка 77: | ||
<li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и <math>z_\sigma</math> — поливектор<br>ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; пусть <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>;<br>(4) если <math>n\ge1</math>, то для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема об операторе Ходжа.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над <math>\,\mathbb R</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена и <math>z_\sigma</math> — поливектор<br>ориентации в <math>V</math> (то есть <math>V</math> — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; пусть <math>k\in\{0,\ldots,n\}</math>; тогда<br>(1) для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> поливектор <math>*x</math> однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:<br><math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)=z_\sigma^*(x\wedge y)\bigr)</math> и <math>\forall\,y\in\mathsf\Lambda^{n-k}V\;\bigl((\wedge^{n-k}\sigma)(*x,y)\,z_\sigma=x\wedge y\bigr)</math>;<br>(2) если <math>e\in\mathrm{OB}_{>0}(V)\cap\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math>, то для любых таких <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math>, что <math>i_1<\ldots<i_k</math>, выполнено <math>*(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=</math><br><math>=\prod_{h=1}^{n-k}\sigma(e_{\bar i_h},e_{\bar i_h})\,\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k})\,e_{\bar i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\bar i_{n-k}}</math>, где числа <math>\bar i_1,\ldots,\bar i_{n-k}</math> суть числа из множества <math>\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_1,\ldots,i_k\}</math>,<br>упорядоченные по возрастанию (в частности, <math>*1=\mathrm{sd}(\sigma)\,z_\sigma</math> и <math>*z_\sigma=1</math>);<br>(3) оператор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathsf\Lambda^kV&\to\mathsf\Lambda^{n-k}V\\x&\mapsto*x\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств, и для любых <math>x\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>*{*x}=\mathrm{sd}(\sigma)\,(-1)^{k(n-k)}x</math>;<br>(4) если <math>n\ge1</math>, то для любых <math>v_1,\ldots,v_{n-1},w\in V</math> выполнено <math>\sigma(v_1\times\ldots\times v_{n-1},w)=\omega_\sigma(v_1,\ldots,v_{n-1},w)</math> и <math>v_1\times\ldots\times v_{n-1}\in\langle v_1,\ldots,v_{n-1}\rangle^\perp</math>.</i></ul> | ||
− | < | + | <h5>3.6.2 Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве и в пространстве Минковского</h5> |
− | <h5>3. | + | <ul><li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> — евклидово пространство с билинейной формой <math>(v,w)\mapsto\mathrm{Re}(v\,\overline w)</math>).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi+\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w+\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i></ul> |
+ | |||
+ | <h3>3.7 Многообразия (часть 2)</h3> | ||
+ | <h5>3.7.1 Многообразия с глобальной гладкой структурой</h5> | ||
<ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | <ul><li>Глобальная <math>n</math>-мерная система координат на <math>M</math> — биекция между <math>M</math> и открытым подмн.-вом в <math>\mathbb R^n</math>; соглашение: глобальность далее подразумевается. | ||
<li>Отнош.-е согласованности: <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем координат (атлас). | <li>Отнош.-е согласованности: <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> — диффеоморфизм; <math>n</math>-мерная гладкая структура — класс согласованности <math>n</math>-мерных систем координат (атлас). | ||
Строка 80: | Строка 92: | ||
<li><u>Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math>, <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math>,<br><math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) <math>p'(0)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)\cdot p'(0)^\alpha</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\partial_\tilde jf(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\alpha(m))\,\partial_lf(m)\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(3) <math>\forall\,\breve p\in\mathrm{Paths}(M)_m\;\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\Leftrightarrow\,p'(0)^\tilde\alpha\!=\breve p'(0)^\tilde\alpha\bigr)</math> и <math>\forall\,\breve f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\Leftrightarrow\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\tilde\alpha\bigr)</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции.</u> <i>Пусть <math>M</math> — многообразие (с г. г. с.), <math>m\in M</math>, <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math>,<br><math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) <math>p'(0)^\tilde\alpha\!=\mathrm c_\alpha^\tilde\alpha(m)\cdot p'(0)^\alpha</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^\tilde i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(2) <math>\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm df(m)_\alpha\!\cdot\mathrm c_\tilde\alpha^\alpha(m)</math> (это матричная запись) и <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\partial_\tilde jf(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial x^\tilde j}(\tilde\alpha(m))\,\partial_lf(m)\Bigr)</math> (это покомпонентная запись);<br>(3) <math>\forall\,\breve p\in\mathrm{Paths}(M)_m\;\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\Leftrightarrow\,p'(0)^\tilde\alpha\!=\breve p'(0)^\tilde\alpha\bigr)</math> и <math>\forall\,\breve f\in\mathrm{Func}(M)\;\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\Leftrightarrow\,\mathrm df(m)_\tilde\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\tilde\alpha\bigr)</math>.</i></ul> | ||
− | <h5>3. | + | <h5>3.7.2 Касательное пространство и кокасательное пространство</h5> |
<ul><li>Отношения <math>\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math> и <math>\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>: <math>p\;\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve p\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>f\;\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve f\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm d(f-\breve f)(m)_\alpha\!=0\bigr)</math>. | <ul><li>Отношения <math>\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math> и <math>\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>: <math>p\;\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve p\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(p'(0)^\alpha\!=\breve p'(0)^\alpha\bigr)</math> и <math>f\;\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim\;\breve f\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm df(m)_\alpha\!=\mathrm d\breve f(m)_\alpha\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,\alpha\in\mathcal A_M\,\bigl(\mathrm d(f-\breve f)(m)_\alpha\!=0\bigr)</math>. | ||
<li>Скорость пути: <math>p'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(p)\in\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Касательное пространство в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\{p'(0)\mid p\in\mathrm{Paths}(M)_m\}</math>. | <li>Скорость пути: <math>p'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(p)\in\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Касательное пространство в точке <math>m</math>: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\{p'(0)\mid p\in\mathrm{Paths}(M)_m\}</math>. | ||
Строка 90: | Строка 102: | ||
<li>Производная Ли функции <math>f</math> вдоль вектора <math>v</math>: <math>\mathcal L_v(f)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v(fg)=\mathcal L_v(f)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_v(g)</math> и <math>\mathcal L_{\!\frac\partial{\partial x^i}(m)\!}(f)=\partial_if(m)</math></i>.</ul> | <li>Производная Ли функции <math>f</math> вдоль вектора <math>v</math>: <math>\mathcal L_v(f)=(\mathrm df(m))(v)</math>. Утверждение: <i><math>\mathcal L_v(fg)=\mathcal L_v(f)\,g(m)+f(m)\,\mathcal L_v(g)</math> и <math>\mathcal L_{\!\frac\partial{\partial x^i}(m)\!}(f)=\partial_if(m)</math></i>.</ul> | ||
− | <h5>3. | + | <h5>3.7.3 Тензорные расслоения и тензорные поля</h5> |
<ul><li>Расслоения над <math>M</math>: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>, <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>. | <ul><li>Расслоения над <math>M</math>: <math>\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T_mM</math> и <math>\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathrm T^*_mM</math>, <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>. | ||
<li>Отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>; векторные поля: <math>\mathrm{Vect}(M)=\mathrm{Tens}^1(M)</math><br>(неформально: тензорное поле типа <math>(p,q)</math> на <math>M</math> — поле тензоров типа <math>(p,q)</math> в касательных пространствах к <math>M</math>, гладко зависящих от точки). | <li>Отобр.-е проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>; векторные поля: <math>\mathrm{Vect}(M)=\mathrm{Tens}^1(M)</math><br>(неформально: тензорное поле типа <math>(p,q)</math> на <math>M</math> — поле тензоров типа <math>(p,q)</math> в касательных пространствах к <math>M</math>, гладко зависящих от точки). |
Версия 02:00, 10 июля 2017
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимый тензор: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Формула замены коорд. тензора: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: , .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.6 Векторные пространства с геометрической структурой (часть 2)
3.6.1 Объем, векторное произведение, оператор Ходжа
- Форма объема в ориентированном псевдоевклидовом простр.-ве (): . Корректность определения формы .
- Объем в коорд. (): (). Теорема об объеме и матрицах Грама.
Теорема об объеме и матрицах Грама. Пусть — ориентированное псевдоевклидово пространство (относительно билинейной формы ),
, и ; тогда (в частности, если векторы попарно
ортогональны, то ). - Неотриц. объем в евкл. пр.-ве: в , если независимы; иначе .
- Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда
(1) , где и ;
(2) если , то . - Вект. пр.-е в ориентир. псевдоевкл. пр.-ве: ().
- Вект. произведение в коорд.: . Теорема о векторном произведении.
Теорема о векторном произведении. Пусть — ориентированное евклидово пространство, и ; тогда
(1) след. утв.-я эквивалентны: (у1) векторы независимы, (у2) и (у3) ;
(2) и ;
(3) если , то для любых выполнено и . - Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произвед.-е: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над , , , форма невырождена и — поливектор
ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; пусть ; тогда
(1) для любых поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6.2 Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве и в пространстве Минковского
- Теорема о группах SU(2) и SO(3).
(1) , (пространство — евклидово пространство с билинейной формой ).
(2) Для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
(3) Для любых и , обозначая через кватернион , имеем следующие факты: ,
и для любых выполнено .
(4) Обозначая через отображение , имеем следующие факты: — гомоморфизм групп, и
(и, значит, и ).
3.7 Многообразия (часть 2)
3.7.1 Многообразия с глобальной гладкой структурой
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура — класс согласованности -мерных систем координат (атлас).
- Множество гладких отображений (морфизмов): .
- Обозначения: и , (тогда ).
- Лемма о замене координат. Мн.-во ( — откр. в , ) и -алгебра .
Лемма о замене координат. Пусть — многообразия (с глобальной гладкой структурой), , и , ;
тогда (это матричная запись). - Скорость в координатах (, где — откр. в , ): и .
- Дифференциал в координатах (): и .
- Теорема о замене координат для скорости пути и дифференциала функции. Пусть — многообразие (с г. г. с.), , ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(3) и .
3.7.2 Касательное пространство и кокасательное пространство
- Отношения и : и .
- Скорость пути: . Касательное пространство в точке : .
- Дифференциал функции: . Кокасател. пр.-во в точке : .
- Базисные векторы и ковекторы, опред. сист. координат : и .
- Теорема о касательном пространстве. Пусть — многообразие (с г. г. с.), и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является биекцией; определим на множестве структуру векторного
пространства над так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
(2) для любых образ вектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Теорема о кокасательном пространстве. Пусть — многообразие (с г. г. с.), и ; обозначим через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
(2) для любых образ ковектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть строка (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в );
(4) для любых выполнено (это формула замены координат в );
(5) (это формула замены базиса в ). - Теорема о двойственности между касательным и кокасательным пространствами. Пусть — многообразие (с г. г. с.) и ; тогда
(1) для любых и , выбирая систему координат и обозначая через число , имеем следующий факт:
число не зависит от выбора системы координат ;
(2) для любых и выполнено ;
(3) для любых и выполнено ;
(4) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств. - Производная Ли функции вдоль вектора : . Утверждение: и .
3.7.3 Тензорные расслоения и тензорные поля
- Расслоения над : и , , и .
- Отобр.-е проекции на : . Тензорные поля: ; векторные поля:
(неформально: тензорное поле типа на — поле тензоров типа в касательных пространствах к , гладко зависящих от точки). - Симметрич. и внешние -формы: и
(неформально: симметрич.внешняя -форма — поле симметрич.антисимметрич. тензоров типа в касат. пр.-вах, гладко зависящих от точки). - Векторные, ковекторные, тензорные поля в коорд.: , , .
- Формула замены координат тензорного поля типа : .
- Дифференциал внешней -формы: — внешняя -форма.
- Псевдориманово многообразие сигнатуры — многообразие с метрической формой сигнатуры (форма имеет сигн.-у в каждой точке).
- Градиент функции: ; дивергенция и ротор вект. поля: и ; лапласиан функции:
(опускание индекса, подъем индекса и оператор Ходжа на : , и ).