Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Версия 03:10, 14 декабря 2016

Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности

Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

• Глобальная ${\displaystyle 4}$-мерная система координат на множестве ${\displaystyle M}$ — биекция между множествами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.
• Глобальные ${\displaystyle 4}$-мерные системы координат ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$ на множестве ${\displaystyle M}$ инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1}}$ —
  преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие ${\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$
  и ${\displaystyle \xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{4}}$, что для любых ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}$ выполнено ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(\alpha ^{-1}(x))=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot x+\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}}$.
• Лемма 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
• Пространство событий в СТО — множество ${\displaystyle M}$, на котором зафиксирован класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M}}$ инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
  ${\displaystyle 4}$-мерных систем координат.
• Инерциальная система координат на пространстве событий ${\displaystyle M}$ в СТО — глобальная ${\displaystyle 4}$-мерная система координат, принадлежащая классу ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M}}$.

Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура ${\displaystyle 4}$-мерного многообразия: на ${\displaystyle 4}$-мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.

Зафиксируем пространство событий ${\displaystyle M}$ в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).

• Лемма 2. Для любых ${\displaystyle m\in M}$, ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{m}M}$ и ${\displaystyle \alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}}$ выполнено ${\displaystyle v^{\tilde {\alpha }}\!=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot v^{\alpha }}$ (здесь ${\displaystyle v^{\alpha }}$ — столбец координат вектора ${\displaystyle v}$ относительно базиса
  ${\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{0}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(m){\Bigr \}}}$ пространства ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$, определяемого инерциальной системой координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$).
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$ и ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{m}M}$; сумма ${\displaystyle n+v}$ точки ${\displaystyle n}$ и касательного вектора ${\displaystyle v}$ — точка ${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (n)+v^{\alpha })}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 3. Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle m\in M}$; скалярное произведение ${\displaystyle g(m)}$ на касательном пространстве ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$ — невырожденная симметричная билинейная форма
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M\times \mathrm {T} _{m}M&\to \mathbb {R} \\(v,w)&\mapsto (v^{\alpha })^{\mathtt {T}}\!\cdot \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)\cdot w^{\alpha }\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 4. Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}\in M}$, ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{k}\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \tau _{1}+\ldots +\tau _{k}=1}$; барицентрическая комбинация ${\displaystyle \tau _{1}m_{1}+\ldots +\tau _{k}m_{k}}$ точек ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}}$ с
  коэффициентами ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{k}}$ — точка ${\displaystyle \alpha ^{-1}(\tau _{1}\alpha (m_{1})+\ldots +\tau _{k}\alpha (m_{k}))}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 5. Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; прямая, проходящая через точки ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, — множество ${\displaystyle \{(1-\tau )m+\tau \,n\mid \tau \in \mathbb {R} \}}$.
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; разность ${\displaystyle n-m}$ точек ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — скорость в нуле пути ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to M\\\tau &\mapsto (1-\tau )m+\tau \,n\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ (это элемент касательного пространства ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$).
• Лемма 6. Для любых ${\displaystyle m,n\in M}$ и ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$ выполнено ${\displaystyle (n-m)^{\alpha }\!=\alpha (n)-\alpha (m)}$.
• Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; тогда
  (1) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to M\\v&\mapsto m+v\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\n&\mapsto n-m\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные биекции;
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to \mathrm {T} _{n}M\\v&\mapsto (n+v)-n\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{n}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\v&\mapsto (m+v)-m\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.

Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры ${\displaystyle (1,3)}$, а также
на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.