Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 82: | Строка 82: | ||
<li>Касательное пространство: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Скорость: <math>p'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(p)\in\mathrm T_mM</math>; обозначение: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(t\mapsto\alpha^{-1}(\alpha(m)+t\,\mathrm{se}_i)\bigr)'(0)</math>. | <li>Касательное пространство: <math>\mathrm T_mM=\mathrm{Paths}(M)_m/\underset{\scriptscriptstyle m}\sim</math>. Скорость: <math>p'(0)=\mathrm{cl}\,_\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(p)\in\mathrm T_mM</math>; обозначение: <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)=\bigl(t\mapsto\alpha^{-1}(\alpha(m)+t\,\mathrm{se}_i)\bigr)'(0)</math>. | ||
<li>Кокасател. пр.-во: <math>\mathrm T^*_mM=\mathrm{Func}(M)/\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\mathrm{Func}(M)/\mathrm{Ker}(f\mapsto\mathrm df(m)_\alpha)</math>. Дифференциал: <math>\mathrm df(m)=\mathrm{cl}\,_\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(f)\in\mathrm T^*_mM</math>; <math>\mathrm dx^j(m)=\mathrm d(\mathrm{se}^j\cdot\alpha)(m)</math>. | <li>Кокасател. пр.-во: <math>\mathrm T^*_mM=\mathrm{Func}(M)/\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim=\mathrm{Func}(M)/\mathrm{Ker}(f\mapsto\mathrm df(m)_\alpha)</math>. Дифференциал: <math>\mathrm df(m)=\mathrm{cl}\,_\overset*\underset{\scriptscriptstyle m}\sim(f)\in\mathrm T^*_mM</math>; <math>\mathrm dx^j(m)=\mathrm d(\mathrm{se}^j\cdot\alpha)(m)</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Теорема о касательном и кокасательном пространствах. Утверждение: <i><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T^*_mM&\to(\mathrm T_mM)^*\\\mathrm df(m)&\mapsto\bigl(p'(0)\mapsto(f\circ p)'(0)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных простр.-в</i>. |
− | <p><u>Теорема о касательном | + | <p><u>Теорема о касательном и кокасательном пространствах.</u> <i>Пусть <math>M</math> — множество с гладкой структурой, <math>m\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>; обозначим<br>через <math>n</math> число <math>\dim M</math>; тогда<br>(1) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathbb R^n\\p'(0)&\mapsto p'(0)^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией; определим на множестве <math>\,\mathrm T_mM</math> структуру векторного<br>пространства так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат <math>\alpha</math>;<br>(2) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> образ вектора <math>\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец <math>\,\mathrm{se}_i</math> (и, значит, множество<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^1}(m),\ldots,\frac\partial{\partial x^n}(m)\Bigr\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(3) для любых <math>p\in\mathrm{Paths}(M)_m</math> выполнено <math>p'(0)=\sum_{i=1}^np'(0)^i\frac\partial{\partial x^i}(m)</math> (это формула разложения по базису в пространстве <math>\,\mathrm T_mM</math>) и<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(p'(0)^\tilde i=\sum_{k=1}^n\frac{\partial\tilde x^i}{\partial x^k}(\alpha(m))\,p'(0)^k\Bigr)</math> (это формула замены координат в пространстве <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(4) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\frac\partial{\partial\tilde x^i}(m)=\sum_{k=1}^n\frac{\partial x^k}{\partial\tilde x^i}(\tilde\alpha(m))\,\frac\partial{\partial x^k}(m)\Bigr)</math> (это формула замены базиса в пространстве <math>\,\mathrm T_mM</math>);<br>(1*) отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T^*_mM&\to\mathbb R_n\\\mathrm df(m)&\mapsto\mathrm df(m)_\alpha\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;<br>(2*) для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> образ ковектора <math>\mathrm dx^j(m)</math> под действием изоморфизма из пункта (1*) есть строка <math>\,\mathrm{se}^j</math> (и, значит, множество<br><math>\{\mathrm dx^1(m),\ldots,\mathrm dx^n(m)\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(3*) для любых <math>f\in\mathrm{Func}(M)</math> выполнено <math>\mathrm df(m)=\sum_{j=1}^n\mathrm df(m)_j\,\mathrm dx^j(m)</math> (это формула разложения по базису в пространстве <math>\,\mathrm T^*_mM</math>) и<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\mathrm df(m)_\tilde j=\sum_{l=1}^n\frac{\partial x^l}{\partial\tilde x^j}(\tilde\alpha(m))\,\mathrm df(m)_l\Bigr)</math> (это формула замены координат в пространстве <math>\,\mathrm T^*_mM</math>);<br>(4*) <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\mathrm d\tilde x^j(m)=\sum_{l=1}^n\frac{\partial\tilde x^j}{\partial x^l}(\alpha(m))\,\mathrm dx^l(m)\Bigr)</math> (это формула замены базиса в пространстве <math>\,\mathrm T^*_mM</math>).</i></p> |
− | + | ||
<li>Тензорные расслоения: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>; отображение проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. | <li>Тензорные расслоения: <math>\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathcal T^p_{\;q}(\mathrm T_mM)</math>, <math>\mathsf S^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf S^k(\mathrm T^*_mM)</math> и <math>\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M=\!\bigsqcup_{m\in M}\!\mathsf\Lambda^k(\mathrm T^*_mM)</math>; отображение проекции на <math>M</math>: <math>\mathrm{pr}_M</math>. | ||
<li>Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: <math>\mathrm TM=\mathcal T^1\mathrm TM</math> и <math>\mathrm T^*M=\mathcal T_{\,1}\mathrm TM</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>. | <li>Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: <math>\mathrm TM=\mathcal T^1\mathrm TM</math> и <math>\mathrm T^*M=\mathcal T_{\,1}\mathrm TM</math>. Тензорные поля: <math>\mathrm{Tens}^p_q(M)=\{T\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathcal T^p_{\;q}\mathrm TM)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ T=\mathrm{id}_M\}</math>. | ||
<li>Поля форм: <math>\mathrm{STens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf S^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^k(M)=\mathrm{ATens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math>. | <li>Поля форм: <math>\mathrm{STens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf S^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math> и <math>\Omega^k(M)=\mathrm{ATens}_k(M)=\{\omega\in\mathrm C^\infty\!(M,\mathsf\Lambda^k\mathrm T^*M)\mid\mathrm{pr}_M\!\circ\omega=\mathrm{id}_M\}</math>. | ||
<li>Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math> — векторное поле, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,\mathrm dx^j</math> — ковекторное поле (<math>1</math>-форма), <math>\omega=\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\!\omega_{[j_1,\ldots,j_k]}\,\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math> — <math>k</math>-форма.</ul> | <li>Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^nv^i\frac\partial{\partial x^i}</math> — векторное поле, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n\lambda_j\,\mathrm dx^j</math> — ковекторное поле (<math>1</math>-форма), <math>\omega=\!\!\!\!\!\sum_{1\le j_1<\ldots<j_k\le n}\!\!\!\!\!\omega_{[j_1,\ldots,j_k]}\,\mathrm dx^{j_1}\!\wedge\ldots\wedge\mathrm dx^{j_k}</math> — <math>k</math>-форма.</ul> |
Версия 15:20, 23 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Лемма о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — вект. пр. над ,
, ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, и ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметрич. тензор в координатах: . Антисимметрич. тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, .
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(4) и ;
(5) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.
3.5.3 Поливектор ориентации и оператор Ходжа
- Билин. формы и : и .
- Лемма о продолжении билинейных форм на тензоры. Пусть — поле, , — вект. пространство над , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) если и , то для любых таких , что , выполнено
(и, значит, если форма невырождена, то и форма невырождена). - Отнош.-е одинаковой ориентированности: . Утверждение: . Ориентация: элемент мн.-ва .
- Поливектор ориентации в псевдоевклидовом простр.-ве (): элемент мн.-ва ().
- Теорема о поливекторе ориентации. Пусть — векторное пространство над полем , , и форма невырождена
(то есть — псевдоевклидово пространство); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено и ;
(2) отображение определено корректно и является биекцией;
(3) если множество и поливектор соответствуют друг другу относительно биекции из пункта (2), то для любых
выполнено (в частности, если , то ). - Форма объема в псевдоевкл. пр.-ве с ориентацией: ; если , то .
- Оператор Ходжа в псевдоевкл. пр.-ве с ориент.: ; вект. произведение: .
- Теорема об операторе Ходжа. Пусть — векторное пространство над полем , , , форма невырождена и
— поливектор ориентации в (то есть — псевдоевклидово пространство с ориентацией); обозначим через число ; тогда
(1) для любых и поливектор однозначно определяется каждым из следующих двух эквивалентных условий:
и ;
(2) если , то для любых таких , что , выполнено
, где числа суть числа из множества ,
упорядоченные по возрастанию (в частности, и );
(3) оператор — изоморфизм векторных пространств, и для любых и выполнено ;
(4) если , то для любых выполнено и .
3.6 Введение в дифференциальную геометрию
3.6.1 Гладкие структуры
- Глобальная -мерная система координат на — биекция между и открытым подмн.-вом в ; соглашение: глобальность далее подразумевается.
- Отнош.-е согласованности: — диффеоморфизм; -мерная гладкая структура на — класс согласованности -мерных систем коорд. на .
- Множество гладких отображений (морфизмов): .
- Обозначения: и , (тогда ).
- Утверждение: . Мн.-во и -алгебра .
- Обозначения: и , а также и .
- Теорема о замене координат для путей и функций. Пусть — множество с гладкой структурой, , , и
; обозначим через число ; тогда
(1) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(2) (это матричная запись) и (это покомпонентная запись);
(3) и ;
(4) и .
3.6.2 Касательное и кокасательное пространства, тензорные расслоения и тензорные поля
- Отношения и : и .
- Касательное пространство: . Скорость: ; обозначение: .
- Кокасател. пр.-во: . Дифференциал: ; .
- Теорема о касательном и кокасательном пространствах. Утверждение: — изоморфизм векторных простр.-в.
Теорема о касательном и кокасательном пространствах. Пусть — множество с гладкой структурой, и ; обозначим
через число ; тогда
(1) отображение определено корректно и является биекцией; определим на множестве структуру векторного
пространства так, чтобы эта биекция стала изоморфизмом; тогда эта структура не зависит от выбора системы координат ;
(2) для любых образ вектора под действием изоморфизма из пункта (1) есть столбец (и, значит, множество
— базис пространства );
(3) для любых выполнено (это формула разложения по базису в пространстве ) и
(это формула замены координат в пространстве );
(4) (это формула замены базиса в пространстве );
(1*) отображение определено корректно и является изоморфизмом векторных пространств;
(2*) для любых образ ковектора под действием изоморфизма из пункта (1*) есть строка (и, значит, множество
— базис пространства );
(3*) для любых выполнено (это формула разложения по базису в пространстве ) и
(это формула замены координат в пространстве );
(4*) (это формула замены базиса в пространстве ). - Тензорные расслоения: , и ; отображение проекции на : .
- Касат.-ное и кокасат.-ное расслоения: и . Тензорные поля: .
- Поля форм: и .
- Примеры: — векторное поле, — ковекторное поле (-форма), — -форма.