Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь — различия между версиями

Версия 04:30, 23 ноября 2016

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах

• Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\exists \,t\in R\;{\bigl (}r=s\,t{\bigr )}}$; ${\displaystyle s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow \;s\,|\,r\,\land \,\lnot (r\,|\,s)}$; ${\displaystyle r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;r\,|\,s\,\land \,s\,|\,r}$.
• Понятия ${\displaystyle \mathrm {gcd} }$ и ${\displaystyle \mathrm {lcm} }$ в коммут. кольце ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}t'\,|\,r\,\land \,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow \,t'\,|\,t{\bigr )}}$ и ${\displaystyle t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}r\,|\,t'\,\land \,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow \,t\,|\,t'{\bigr )}}$.
• Нормировка ${\displaystyle \mathrm {gcd} }$ и ${\displaystyle \mathrm {lcm} }$ (если они не ${\displaystyle 0}$): ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,b),\mathrm {lcm} (a,b)\in \mathbb {N} }$ — в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; старшие коэфф.-ты ${\displaystyle \mathrm {gcd} (f,g)}$ и ${\displaystyle \mathrm {lcm} (f,g)}$ равны ${\displaystyle 1}$ — в кольце ${\displaystyle K[x]}$.
• Главный идеал — идеал, порожд. одним элементом. Анонс: в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle K[x]}$ все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал ${\displaystyle (2)+(x)}$ в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.
• Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо и ${\displaystyle r,s,t\in R}$; тогда
  (1) ${\displaystyle s\,|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subseteq (s)}$; ${\displaystyle s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subset (s)}$; ${\displaystyle r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\,\Leftrightarrow \,(r)=(s)}$; ${\displaystyle r\in R^{\times }\Leftrightarrow \,r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1\,\Leftrightarrow \,(r)=R}$;
  (2) если ${\displaystyle R}$ — область целостности, то ${\displaystyle r\neq 0\;\Rightarrow \;\forall \,a,b\in R\;{\bigl (}a\,r=b\,r\,\Rightarrow \,a=b{\bigr )}}$, а также ${\displaystyle r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\exists \,\varepsilon \in R^{\times }{\bigl (}r=\varepsilon \,s{\bigr )}}$;
  (3) ${\displaystyle t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)\cap (s)}$; если идеал ${\displaystyle (r)+(s)}$ главный, то ${\displaystyle t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)+(s)}$;
  (4) ${\displaystyle (R/(r))^{\times }\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid (r)+(s)=R\}}$ и, если в кольце ${\displaystyle R}$ все идеалы главные, то ${\displaystyle (R/(r))^{\times }\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid \mathrm {gcd} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1\}}$.
• Неприводимые и простые эл.-ты: ${\displaystyle \mathrm {Irr} (R)=(R\!\setminus \!R^{\times }\!)\setminus \{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus \!R^{\times }\!\}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Prime} (R)=\{r\in R\!\setminus \!(R^{\times }\!\cup \{0\})\mid \forall \,s,t\in R\;{\bigl (}r\,|\,s\,t\,\Rightarrow \,r\,|\,s\,\lor \,r\,|\,t{\bigr )}\}}$.
• Примеры: ${\displaystyle \mathrm {Irr} (\mathbb {C} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,\,a\neq 0\}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}}$.
• Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо; тогда
  (1) если ${\displaystyle R}$ — область целостности, то ${\displaystyle \,\mathrm {Prime} (R)\subseteq \mathrm {Irr} (R)}$;
  (2) если в кольце ${\displaystyle R}$ все идеалы главные, то ${\displaystyle \,\mathrm {Irr} (R)\subseteq \mathrm {Prime} (R)}$;
  (3) для любых ${\displaystyle r\in R\!\setminus \!\{0\}}$ следующие два высказывания эквивалентны: ${\displaystyle r\in \mathrm {Prime} (R)}$ и ${\displaystyle R/(r)}$ — область целостности;
  (4) если ${\displaystyle R}$ — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых ${\displaystyle r\in R\!\setminus \!\{0\}}$ следующие четыре высказывания эквивалентны:
  ${\displaystyle r\in \mathrm {Irr} (R)}$, ${\displaystyle r\in \mathrm {Prime} (R)}$, ${\displaystyle R/(r)}$ — область целостности, ${\displaystyle R/(r)}$ — поле.

1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца

• Евклидова норма: ${\displaystyle \nu \colon R\to N}$, где ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {N} _{0}\cup \{-\infty \}}$ и ${\displaystyle \forall \,r\in R\!\setminus \!\{0\},\,s\in R\;{\Bigl (}\exists \,q,t\in R\;{\bigl (}s=q\,r+t\,\land \,\nu (t)<\nu (r){\bigr )}\,\land \,{\bigl (}s\,|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)\leq \nu (r){\bigr )}{\Bigr )}}$.
• Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (${\displaystyle \nu (a)=|a|}$); ${\displaystyle K[x]}$ (${\displaystyle \nu (f)=\deg f}$); ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {2}}\,\mathrm {i} ]}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]}$ (${\displaystyle \nu (a)=|a|^{2}}$).
• Теорема о евклидовых кольцах. Пусть ${\displaystyle R}$ — евклидово кольцо с евклидовой нормой ${\displaystyle \nu }$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle r\in R\!\setminus \!\{0\}}$ и ${\displaystyle s\in R}$ выполнено ${\displaystyle s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)<\nu (r)}$;
  (2) не существует такой бесконечной последовательности ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ элементов кольца ${\displaystyle R}$, что для любых ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ выполнено ${\displaystyle r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_{i}}$;
  (3) если ${\displaystyle I\trianglelefteq R}$, то для любых ${\displaystyle r\in I\!\setminus \!\{0\}}$ выполнено ${\displaystyle I=(r)\,\Leftrightarrow \,\nu (r)=\min\{\nu (s)\mid s\in I\!\setminus \!\{0\}\}}$;
  (4) в кольце ${\displaystyle R}$ все идеалы главные, а также ${\displaystyle \,\mathrm {Irr} (R)=\mathrm {Prime} (R)}$.
• Факториальное кольцо — область целостности с ${\displaystyle {\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}}$-однозначным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
• Примеры: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если ${\displaystyle R}$ факториально, то и ${\displaystyle R[x]}$ факториально (без доказательства).
• Теорема о факториальности евклидовых колец.
  (1) Пусть ${\displaystyle R}$ — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ элементов кольца ${\displaystyle R}$, что
  для любых ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ выполнено ${\displaystyle r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_{i}}$, и, кроме того, ${\displaystyle \mathrm {Irr} (R)=\mathrm {Prime} (R)}$; тогда ${\displaystyle R}$ — факториальное кольцо.
  (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца ${\displaystyle \,\mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle K[x]}$, где ${\displaystyle K}$ — поле, факториальны).
• Теорема о факториальных кольцах. Пусть ${\displaystyle R}$ — факториальное кольцо и ${\displaystyle r,s\in R\!\setminus \!\{0\}}$; разложим ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ в произведение неприводимых элементов:
  ${\displaystyle r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{d_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}}}$ и ${\displaystyle s\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{e_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathrm {Irr} (R)}$, ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ попарно неассоциированы и ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},e_{1},\ldots ,e_{k}\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}e_{i}\leq d_{i}{\bigr )}}$; ${\displaystyle r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}d_{i}=e_{i}{\bigr )}}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {gcd} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{\min(d_{1},e_{1})}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\min(d_{k},e_{k})}}$; ${\displaystyle \mathrm {lcm} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}}$; ${\displaystyle rs\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{d_{1}+e_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}+e_{k}}\!\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\cdot \mathrm {lcm} (r,s)}$.

1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера

• Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: ${\displaystyle r_{0}=s}$ и ${\displaystyle r_{1}=r}$; на ${\displaystyle i}$-м шаге ${\displaystyle r_{i-1}=q_{i}r_{i}+r_{i+1}}$ и ${\displaystyle \nu (r_{i+1})<\nu (r_{i})}$; тогда ${\displaystyle r_{n+1}=0\,\Rightarrow \,r_{n}\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)}$.
• Соотношение Безу для элементов ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ евкл. кольца: ${\displaystyle u\,r+v\,s\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)}$, где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — коэфф.-ты Безу. Нахождение ${\displaystyle (s+(r))^{-1}}$ в группе ${\displaystyle (R/(r))^{\times }}$.
• Расширенный алгоритм Евклида в евкл. кольце: ${\displaystyle u_{n+1}=0}$ и ${\displaystyle v_{n+1}=1}$; на ${\displaystyle i}$-м шаге ${\displaystyle u_{i}=v_{i+1}-q_{i}u_{i+1}}$ и ${\displaystyle v_{i}=u_{i+1}}$; тогда ${\displaystyle u_{1}r_{1}+v_{1}r_{0}\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)}$.
• Китайская теорема об остатках для евклидовых колец. Пусть ${\displaystyle R}$ — евклидово кольцо, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{k}\in R}$ и ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{k}}$ попарно взаимно
  просты (то есть ${\displaystyle \forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (r_{i},r_{j})\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1{\bigr )}}$); обозначим через ${\displaystyle r}$ элемент ${\displaystyle r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{k}}$ кольца ${\displaystyle R}$; тогда отображение
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}R/(r)&\to R/(r_{1})\times \ldots \times R/(r_{k})\\s+(r)&\mapsto (s+(r_{1}),\ldots ,s+(r_{k}))\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ определено корректно и является изоморфизмом колец.
• Китайская теорема об остатках для целых чисел и многочленов.
  (1) Пусть ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$ попарно взаимно просты (${\displaystyle \forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (n_{i},n_{j})=1{\bigr )}}$); обозначим через ${\displaystyle n}$
  число ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$; тогда отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {Z} /n&\to \mathbb {Z} /n_{1}\times \ldots \times \mathbb {Z} /n_{k}\\a&\mapsto (a{\bmod {n}}_{1},\ldots ,a{\bmod {n}}_{k})\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм колец.
  (2) Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in K[x]\!\setminus \!\{0\}}$ и ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ попарно взаимно просты (${\displaystyle \forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (f_{i},f_{j})=1{\bigr )}}$);
  обозначим через ${\displaystyle f}$ многочлен ${\displaystyle f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}}$; тогда отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}K[x]/f&\to K[x]/f_{1}\times \ldots \times K[x]/f_{k}\\a&\mapsto (a{\bmod {f}}_{1},\ldots ,a{\bmod {f}}_{k})\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм колец.
• Функция Эйлера: ${\displaystyle \phi (n)=|\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \mathrm {gcd} (a,n)=1\}|=|(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!|}$. Пример: если ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, то ${\displaystyle \phi (p)=p-1}$. Теорема Эйлера и следствие из нее.

  Теорема Эйлера. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,n)=1}$; тогда ${\displaystyle a^{\phi (n)}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;n)}$.

  Следствие из теоремы Эйлера. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,n)=1}$ и ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$; тогда ${\displaystyle a^{t}\equiv a^{t{\bmod {\phi }}(n)}\;(\mathrm {mod} \;n)}$.

• Теорема о функции Эйлера.
  (1) Пусть ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ и ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle \phi (p^{d})=p^{d-1}(p-1)}$.
  (2) Пусть ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle \mathrm {gcd} (m,n)=1}$; тогда ${\displaystyle \phi (mn)=\phi (m)\,\phi (n)}$.
  (3) Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$; разложим ${\displaystyle n}$ в произведение простых чисел: ${\displaystyle n=p_{1}^{d_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}}}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {P} }$, ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ попарно различны и
  ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle \phi (n)=p_{1}^{d_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}-1}(p_{k}-1)=n\,{\Bigl (}1-{\frac {1}{p_{1}}}{\Bigr )}\cdot \ldots \cdot {\Bigl (}1-{\frac {1}{p_{k}}}{\Bigr )}}$.

1.4.4  Кольца многочленов (revisited)

• Сопоставление многочлену формальной производной ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}'\,\colon R[x]&\to R[x]\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto nf_{n}x^{n-1}+\ldots +f_{1}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Лемма о свойствах формальной производной.

  Лемма о свойствах формальной производной. Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо; тогда для любых ${\displaystyle f,g\in R[x]}$ и ${\displaystyle r\in R}$ выполнено ${\displaystyle (f+g)'=f'\!+g'}$ (и, значит,
  отображение ${\displaystyle \,'}$ — эндоморфизм группы ${\displaystyle R[x]^{+}}$) и ${\displaystyle (rf)'=rf'}$, а также ${\displaystyle (fg)'=f'g+f\,g'}$ (это правило Лейбница).

• Корень ${\displaystyle r}$ кратности ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle (x-r)^{k}\,|\,f\,\land \,\lnot {\bigl (}(x-r)^{k+1}\,|\,f{\bigr )}\;\Leftrightarrow \;\exists \,g\in R[x]\;{\bigl (}f=(x-r)^{k}g\,\land \,g(r)\neq 0{\bigr )}}$. Теорема о кратных корнях.

  Теорема о кратных корнях. Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо, ${\displaystyle f\in R[x]}$, ${\displaystyle r\in R}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$; тогда
  (1) если ${\displaystyle r}$ — корень кратности не меньше ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle f}$, то ${\displaystyle r}$ — корень кратности не меньше ${\displaystyle k-1}$ многочлена ${\displaystyle f'}$;
  (2) если ${\displaystyle R}$ — область целостности, ${\displaystyle \mathrm {char} \,R}$ не делит ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle r}$ — корень кратности ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle f}$, то ${\displaystyle r}$ — корень кратности ${\displaystyle k-1}$ многочлена ${\displaystyle f'}$;
  (3) ${\displaystyle r}$ — кратный корень многочлена ${\displaystyle f}$ (то есть корень кратности не меньше ${\displaystyle 2}$), если и только если ${\displaystyle r}$ — корень многочленов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f'}$.

• Теорема об интерполяции. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n},e_{1},\ldots ,e_{n}\in K}$ и ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ попарно различны; тогда существует единственный такой
  многочлен ${\displaystyle f\in K[x]}$, что ${\displaystyle \deg f<n}$ и для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено ${\displaystyle f(c_{i})=e_{i}}$, и этот многочлен можно найти следующими способами:
  (1) ${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}e_{i}l_{i}}$, где ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\biggl (}l_{i}={\frac {(x-c_{1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{i-1})\cdot (x-c_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{n})}{(c_{i}-c_{1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{i-1})\cdot (c_{i}-c_{i+1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{n})}}{\biggr )}}$ (это интерполяционная формула Лагранжа);
  (2) ${\displaystyle f=f_{n}}$, где ${\displaystyle f_{0}=0}$ и ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\biggl (}f_{i}=f_{i-1}+{\bigl (}e_{i}-f_{i-1}(c_{i}){\bigr )}{\frac {(x-c_{1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{i-1})}{(c_{i}-c_{1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{i-1})}}{\biggr )}}$ (это интерполяционная формула Ньютона).
• Поле частных: ${\displaystyle \mathrm {Q} (R)={\bigl (}R\times (R\!\setminus \!\{0\}){\bigr )}/{\sim }}$; ${\displaystyle (s,r)\sim ({\breve {s}},{\breve {r}})\,\Leftrightarrow \,{\breve {r}}s=r{\breve {s}}}$ и ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }\!(s,r)+\mathrm {cl} _{\sim }\!(u,t)=\mathrm {cl} _{\sim }\!(st+ru,rt)}$, ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }\!(s,r)\,\mathrm {cl} _{\sim }\!(u,t)=\mathrm {cl} _{\sim }\!(su,rt)}$.
• Лемма о поле частных. Отожд.-е ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)}$. Примеры: ${\displaystyle \mathrm {Q} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Q} }$ и ${\displaystyle K(x)=\mathrm {Q} (K[x])={\Bigl \{}{\frac {g}{f}}\!\mid f,g\in K[x],\,f\neq 0{\Bigr \}}}$ — поле рациональных дробей.

  Лемма о поле частных. Пусть ${\displaystyle R}$ — область целостности; тогда
  (1) отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}R&\to \mathrm {Q} (R)\\r&\mapsto \mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный гомоморфизм колец;
  (2) для любых ${\displaystyle r\in R\!\setminus \!\{0\}}$ и ${\displaystyle s\in R}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }\!(s,r)={\frac {\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,1)}{\mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm {Q} (R)={\Bigl \{}{\frac {\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,1)}{\mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)}}\!\mid r,s\in R,\,r\neq 0{\Bigr \}}}$).

• Несократимая дробь: ${\displaystyle {\frac {g}{f}}}$, где ${\displaystyle \mathrm {gcd} (f,g)=1}$. Правильная дробь: ${\displaystyle {\frac {g}{f}}}$, где ${\displaystyle \deg g<\deg f}$.