Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 19: | Строка 19: | ||
<ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | <ul><li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>: <math>\mathcal T^p_{\;q}V=V^{\otimes p}\!\otimes(V^*)^{\otimes q}</math>. Примеры: <math>\mathcal T^0_{\,\,0}V=K</math>, <math>\mathcal T^1V=V</math>, <math>\mathcal T_{\,1}V=V^*</math>, <math>\mathcal T^1_{\,\,1}V\cong\mathrm{End}(V)</math>, <math>\mathcal T_{\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V)</math>. | ||
<li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — пространство структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — пространство структур коалгебры на <math>V</math>. | <li>Примеры: <math>\mathcal T^1_{\,\,2}V\cong\mathrm{Bi}(V,V,V)</math> — пространство структур алгебры на <math>V</math>, <math>\mathcal T^2_{\,\,1}V\cong\mathrm{Hom}(V,V\otimes V)</math> — пространство структур коалгебры на <math>V</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Утверждение: <i>пусть <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T_{\,k}V=\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств</i>. |
− | <li>Тензорная алгебра: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опред. умножения | + | <li>Тензорная алгебра: <math>\mathcal T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal T^kV</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math> (в опред. умножения используются изоморфизмы <math>\mathcal T^kV\otimes\mathcal T^{k'}\!V\cong\mathcal T^{k+k'}\!V</math>). |
<li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через<br><math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> (и, значит,<br>линейное отображение, заданное на базисе по правилу <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i> | <li><u>Теорема о тензорной алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через<br><math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathcal T(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k})\otimes(e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\!\otimes e_{i_1'}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_{k'}'}</math> (и, значит,<br>линейное отображение, заданное на базисе по правилу <math>\biggl(\!\begin{align}K_\otimes[x_1,\ldots,x_n]&\to\mathcal T(V)\\x_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{i_k}\!&\mapsto e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_k}\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>).</i> | ||
<li>Тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^n(v^e)^ie_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_e)_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!(a_e^e)^i_j\,e_i\otimes e^j</math>. | <li>Тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\!\sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q}\!\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}e_{i_1}\!\otimes\ldots\otimes e_{i_p}\!\otimes e^{j_1}\!\otimes\ldots\otimes e^{j_q}</math>. Примеры: <math>v=\sum_{i=1}^n(v^e)^ie_i</math>, <math>\lambda=\sum_{j=1}^n(\lambda_e)_j\,e^j</math>, <math>a=\!\!\sum_{1\le i,j\le n}\!\!(a_e^e)^i_j\,e_i\otimes e^j</math>. | ||
Строка 42: | Строка 42: | ||
<li><u>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное<br>пространство над <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>\iota</math> изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{laf}_u</math> автоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\iota\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{laf}_u\!\circ\iota</math>, <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math>, <math>\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> (и, значит, <math>\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math>).</i> | <li><u>Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное<br>пространство над <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>\iota</math> изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathcal T^kV^*\!&\to\mathrm{Multi}_kV\\\lambda_1\otimes\ldots\otimes\lambda_k&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\lambda_1(v_1)\ldots\lambda_k(v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{laf}_u</math> автоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты:<br><math>\iota\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{laf}_u\!\circ\iota</math>, <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math>, <math>\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{laf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\iota(\mathsf S^kV^*)=\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\iota(\mathsf\Lambda^kV^*)=\mathrm{AMulti}_kV</math> (и, значит, <math>\mathsf S^kV^*\!\cong\mathrm{SMulti}_kV</math> и <math>\,\mathsf\Lambda^kV^*\!\cong\mathrm{AMulti}_kV</math>).</i> | ||
<li>Операторы симметризации и альтернирования: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{lat}_u</math> и <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{lat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. | <li>Операторы симметризации и альтернирования: <math>\mathrm{sym}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{lat}_u</math> и <math>\mathrm{alt}_k=\frac1{k!}\!\sum_{u\in\mathrm S_k}\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{lat}_u</math>. Лемма о симметризации и альтернировании. | ||
− | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math>, <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (то есть <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | + | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{alt}_k\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math>, <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (то есть <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> |
<li>Симметрич. произведение векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Внешнее произведение векторов: <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. | <li>Симметрич. произведение векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Внешнее произведение векторов: <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. | ||
+ | <li><u>Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm S^kV=\langle\{v_1\cdot\ldots\cdot v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\rangle</math> и для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено <math>v_{u(1)}\!\cdot\ldots\cdot v_{u(k)}\!=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math>;<br>(2) <math>\mathrm\Lambda^kV=\langle\{v_1\wedge\ldots\wedge v_k\mid v_1,\ldots,v_k\in V\}\rangle</math> и для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено <math>v_{u(1)}\!\wedge\ldots\wedge v_{u(k)}\!=\mathrm{sgn}(u)\,v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>.</i> | ||
<li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\!\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)\!=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | <li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\!\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)\!=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> | ||
<li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | <li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | ||
Строка 52: | Строка 53: | ||
<li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math>; тогда <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math></i>. | <li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math>; тогда <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math></i>. | ||
<li>Симметрическое произведение тензоров: <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. Внешнее произведение тензоров: <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. | <li>Симметрическое произведение тензоров: <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. Внешнее произведение тензоров: <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. | ||
− | <li><u>Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, | + | <li><u>Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над<br>полем <math>K</math>, <math>k,k',k''\!\in\mathbb N_0</math> и <math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>, <math>T''\!\in\mathcal T^{k''}\!V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{sym}_k(T)\cdot T'=T\cdot\mathrm{sym}_{k'}(T')=T\cdot T'</math> и <math>\mathrm{alt}_k(T)\wedge T'=T\wedge\mathrm{alt}_{k'}(T')=T\wedge T'</math>;<br>(2) <math>(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot(T'\cdot T'')=\mathrm{sym}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math> и <math>(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge(T'\wedge T'')=\frac{(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}\,\mathrm{alt}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math><br>(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено <math>(\ldots(v_1\cdot v_2)\cdot\ldots\cdot v_{k-1})\cdot v_k=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math> и <math>(\ldots(v_1\wedge v_2)\wedge\ldots\wedge v_{k-1})\wedge v_k=v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>;<br>(4) <math>T\cdot T'=T'\cdot T</math> и <math>T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T</math> (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно).</i> |
<li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): <math>\mathsf S(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> — ассоциативная коммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
<li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | <li>Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): <math>\mathsf\Lambda(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math> — ассоциативная суперкоммутативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math>. | ||
<li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math><br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) множество <math>\{e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}\!\mid k\in\mathbb N_0,\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1\le\ldots\le i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf S(V)</math>, и для любых элементов <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math> и<br><math>e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k})\cdot(e_{i_1'}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{\hat i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>,<br>упорядоченные по неубыванию;<br>(2) множество <math>\{e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}\!\mid k\in\{0,\ldots,n\},\,i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\},\,i_1<\ldots<i_k\}</math> — базис алгебры <math>\,\mathsf\Lambda(V)</math>, и для любых элементов<br><math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math> и <math>e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}</math> этого базиса выполнено <math>(e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k})\wedge(e_{i_1'}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm{sgn}(i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'\!)\,e_{\hat i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{\hat i_{k+k'}}</math>, где<br>числа <math>\hat i_1,\ldots,\hat i_{k+k'}</math> суть числа <math>i_1,\ldots,i_k,i_1',\ldots,i_{k'}'</math>, упорядоченные по возрастанию.</i></ul> |
Версия 14:00, 15 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорная алгебра и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: пусть и ; тогда — изоморфизм вект. пространств.
- Тензорная алгебра: — ассоциативная -алгебра с (в опред. умножения используются изоморфизмы ).
- Теорема о тензорной алгебре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
число ; тогда множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено (и, значит,
линейное отображение, заданное на базисе по правилу , — изоморфизм алгебр с ). - Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — векторное
пространство над , , ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, , ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть — поле, , — вект. пр. над , ; тогда
(1) и для любых и выполнено ;
(2) и для любых и выполнено . - Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, связанная с ; ().
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть — поле, , — векторное пространство над
полем , и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и
(симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
(3) для любых выполнено и ;
(4) и (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно). - Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная коммутативная -алгебра с .
- Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): — ассоциативная суперкоммутативная -алгебра с .
- Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) множество — базис алгебры , и для любых элементов и
этого базиса выполнено , где числа суть числа ,
упорядоченные по неубыванию;
(2) множество — базис алгебры , и для любых элементов
и этого базиса выполнено , где
числа суть числа , упорядоченные по возрастанию.