Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
<h3>3.4 Тензорные произведения векторных пространств</h3> | <h3>3.4 Тензорные произведения векторных пространств</h3> | ||
<h5>3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами</h5> | <h5>3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами</h5> | ||
− | <ul><li>Тензорное произв.-е пространств: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\mathcal F/\mathcal F_0</math>, где <math>\mathcal F=\mathrm{FinFunc}(V_1\times\ldots\times V_k,K)</math> и <math>\mathcal F_0</math> — | + | <ul><li>Тензорное произв.-е пространств: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\mathcal F/\mathcal F_0</math>, где <math>\mathcal F=\mathrm{FinFunc}(V_1\times\ldots\times V_k,K)</math> и <math>\mathcal F_0</math> — подпространство полилинеаризации. |
<li>Разложимые тензоры: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Утверждение: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\rangle</math>. | <li>Разложимые тензоры: <math>v_1\otimes\ldots\otimes v_k=(v_1,\ldots,v_k)+\mathcal F_0</math>. Утверждение: <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k=\langle\{v_1\otimes\ldots\otimes v_k\mid v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\}\rangle</math>. | ||
<li>Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> равен минимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>, что <math>T=T_1+\ldots+T_m</math>, где <math>T_1,\ldots,T_m</math> — разложимые тензоры. | <li>Ранг тензора <math>T</math>: <math>\mathrm{rk}(T)</math> равен минимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>, что <math>T=T_1+\ldots+T_m</math>, где <math>T_1,\ldots,T_m</math> — разложимые тензоры. | ||
<li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> полилинейно, и для любых <math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единственный<br>такой гомоморфизм <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено <math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | <li><u>Теорема об универсальности тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>;<br>тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\times\ldots\times V_k&\to V_1\otimes\ldots\otimes V_k\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_k\end{align}\!\biggr)</math> полилинейно, и для любых <math>\omega\in\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> существует единственный<br>такой гомоморфизм <math>a\in\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)</math>, что для любых <math>v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k</math> выполнено <math>a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)=\omega(v_1,\ldots,v_k)</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V_1\otimes\ldots\otimes V_k,Y)&\to\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)\\a&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto a(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | ||
− | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br>базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> | + | <li><u>Теорема о базисе тензорного произведения.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>V_1,\ldots,V_k</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> —<br>базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно; тогда все тензоры <math>b_1\otimes\ldots\otimes b_k</math>, где <math>b_1\in B_1,\ldots,b_k\in B_k</math>, попарно различны и вместе<br>образуют базис пространства <math>V_1\otimes\ldots\otimes V_k</math>, а также, если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\otimes\ldots\otimes V_k)=\dim V_1\cdot\ldots\cdot\dim V_k</math>.</i> |
<li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br><math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>, а также <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.</i> | <li><u>Первая теорема о канонических изоморфизмах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>U,V,W</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br><math>(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W</math> и <math>V\otimes K\cong K\otimes V\cong V</math>, а также <math>V\otimes W\cong W\otimes V</math>.</i> | ||
<li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | <li>Тензорное произв.-е тензоров: <math>T\otimes T'</math>. Тензорное произв.-е гомоморфизмов (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y),b\in\mathrm{Hom}(W,Z)</math>): <math>(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)</math>. | ||
Строка 42: | Строка 42: | ||
<p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math>, <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (то есть <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | <p><u>Лемма о симметризации и альтернировании.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{sym}_k=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\mathrm{lat}_u\!\circ\mathrm{alt}_k=\mathrm{sgn}(u)\,\mathrm{alt}_k</math>;<br>(2) для любых <math>T\in\mathsf S^kV</math> выполнено <math>\mathrm{sym}_k(T)=T</math> и для любых <math>T\in\mathsf\Lambda^kV</math> выполнено <math>\mathrm{alt}_k(T)=T</math>;<br>(3) <math>\mathrm{Im}\,\mathrm{sym}_k=\mathsf S^kV</math>, <math>\mathrm{sym}_k^2=\mathrm{sym}_k</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{alt}_k=\mathsf\Lambda^kV</math>, <math>\mathrm{alt}_k^2=\mathrm{alt}_k</math> (то есть <math>\mathrm{sym}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf S^kV</math> и <math>\mathrm{alt}_k</math> — проектор на <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>).</i></p> | ||
<li>Симметрич. произведение векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Внешнее произведение векторов: <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. | <li>Симметрич. произведение векторов: <math>v_1\cdot\ldots\cdot v_k=\mathrm{sym}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. Внешнее произведение векторов: <math>v_1\wedge\ldots\wedge v_k=k!\,\mathrm{alt}_k(v_1\otimes\ldots\otimes v_k)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) | + | <li><u>Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k\in\mathbb N_0</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) все тензоры <math>e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1\le\ldots\le i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf S^kV</math>;<br>(2) все тензоры <math>e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>, где <math>i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i_1<\ldots<i_k</math>, попарно различны и вместе образуют базис пространства <math>\,\mathsf\Lambda^kV</math>;<br>(3) <math>\dim\mathsf S^kV=\!\biggl(\!\!\binom nk\!\!\biggr)\!=\binom{n+k-1}k=\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}</math> и <math>\,\dim\mathsf\Lambda^kV=\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>.</i> |
<li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | <li>Симметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1\le\ldots\le i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{(i_1,\ldots,i_k)}e_{i_1}\!\cdot\ldots\cdot e_{i_k}</math>. Антисимметричный тензор в координатах: <math>T=\!\!\!\!\sum_{i_1<\ldots<i_k}\!\!\!\!\stackrel eT\!\,^{[i_1,\ldots,i_k]}e_{i_1}\!\wedge\ldots\wedge e_{i_k}</math>. | ||
<li>Примеры: <math>\mathrm{vol}^e=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math> — форма объема, связанная с <math>e</math>, <math>v\wedge w=(v\times w)^3\,e_1\wedge e_2-(v\times w)^2\,e_1\wedge e_3+(v\times w)^1\,e_2\wedge e_3</math> (<math>v,w\in K^3</math>).</ul> | <li>Примеры: <math>\mathrm{vol}^e=e^1\wedge\ldots\wedge e^n</math> — форма объема, связанная с <math>e</math>, <math>v\wedge w=(v\times w)^3\,e_1\wedge e_2-(v\times w)^2\,e_1\wedge e_3+(v\times w)^1\,e_2\wedge e_3</math> (<math>v,w\in K^3</math>).</ul> | ||
− | <h5>3.5.2 Симметрическая и внешняя | + | <h5>3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра</h5> |
<ul><li>Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: <math>a^{\cdot k}\!=(a^{\otimes k})|_{\mathsf S^kV\to\mathsf S^kY}</math> и <math>a^{\wedge k}\!=(a^{\otimes k})|_{\mathsf\Lambda^kV\to\mathsf\Lambda^kY}</math> (корректность следует из <math>a^{\otimes k}\!\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{lat}_u\!\circ a^{\otimes k}</math>). | <ul><li>Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: <math>a^{\cdot k}\!=(a^{\otimes k})|_{\mathsf S^kV\to\mathsf S^kY}</math> и <math>a^{\wedge k}\!=(a^{\otimes k})|_{\mathsf\Lambda^kV\to\mathsf\Lambda^kY}</math> (корректность следует из <math>a^{\otimes k}\!\circ\mathrm{lat}_u=\mathrm{lat}_u\!\circ a^{\otimes k}</math>). | ||
<li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math>; тогда <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math></i>. | <li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math>; тогда <math>a^{\cdot k}(v_1\cdot\ldots\cdot v_k)=a(v_1)\cdot\ldots\cdot a(v_k)</math> и <math>a^{\wedge k}(v_1\wedge\ldots\wedge v_k)=a(v_1)\wedge\ldots\wedge a(v_k)</math></i>. | ||
<li>Симметрическое произведение тензоров: <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. Внешнее произведение тензоров: <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. | <li>Симметрическое произведение тензоров: <math>T\cdot T'=\mathrm{sym}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. Внешнее произведение тензоров: <math>T\wedge T'=\frac{(k+k')!}{k!\,k'!}\,\mathrm{alt}_{k+k'}(T\otimes T')</math>. | ||
− | <li>Симметрическая (симметрич. контравар. тензоров) и внешняя (антисимметрич. контравар. тензоров) алгебры: <math>\mathsf S^\bullet V=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> и <math>\mathsf\Lambda^\bullet V=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math>.</ul> | + | <li>Симметрическая (симметрич. контравар. тензоров) и внешняя (антисимметрич. контравар. тензоров) алгебры: <math>\mathsf S^\bullet V=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf S^kV</math> и <math>\mathsf\Lambda^\bullet V=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathsf\Lambda^kV</math>. |
+ | <li><u>Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>k,k',k''\!\in\mathbb N_0</math> и <math>T\in\mathcal T^kV</math>, <math>T'\!\in\mathcal T^{k'}\!V</math>, <math>T''\!\in\mathcal T^{k''}\!V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{sym}_k(T)\cdot T'=T\cdot\mathrm{sym}_{k'}(T')=T\cdot T'</math> и <math>\mathrm{alt}_k(T)\wedge T'=T\wedge\mathrm{alt}_{k'}(T')=T\wedge T'</math>;<br>(2) <math>(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot(T'\cdot T'')=\mathrm{sym}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math> и <math>(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge(T'\wedge T'')=\frac{(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}\,\mathrm{alt}_{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> выполнено <math>(\ldots(v_1\cdot v_2)\cdot\ldots\cdot v_{k-1})\cdot v_k=v_1\cdot\ldots\cdot v_k</math> и <math>(\ldots(v_1\wedge v_2)\wedge\ldots\wedge v_{k-1})\wedge v_k=v_1\wedge\ldots\wedge v_k</math>.</i> | ||
+ | <li><u>Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K=0</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>.</i></ul> |
Версия 01:20, 13 ноября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|
3.4 Тензорные произведения векторных пространств
3.4.1 Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
- Тензорное произв.-е пространств: , где и — подпространство полилинеаризации.
- Разложимые тензоры: . Утверждение: .
- Ранг тензора : равен минимальному среди всех таких чисел , что , где — разложимые тензоры.
- Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть — поле, и — векторные пространства над полем ;
тогда отображение полилинейно, и для любых существует единственный
такой гомоморфизм , что для любых выполнено
(и, значит, отображение — изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть — поле, , — векторные пространства над полем и —
базисы пространств соответственно; тогда все тензоры , где , попарно различны и вместе
образуют базис пространства , а также, если , то . - Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
и , а также . - Тензорное произв.-е тензоров: . Тензорное произв.-е гомоморфизмов (): .
- Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
если , то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(2) отображение — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если , то
данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
(3) отображения и — инъективные гомоморфизмы векторных
пространств, а также, если , то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.
3.4.2 Тензорные алгебры и тензоры в координатах
- Пространство тензоров типа : . Примеры: , , , , .
- Примеры: — пространство структур алгебры на , — пространство структур коалгебры на .
- Утверждение: . Алгебры контравариантных и ковариантных тензоров над : и .
- Тензор в координатах: . Примеры: , , .
- Примеры: — метрический тензор, — форма объема.
- Преобразование координат: (здесь и ).
3.4.3 Операции над тензорами
- Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление группы в простр.-ве : .
- Тензорное произведение тензоров в координатах: . Кронекеровское произведение матриц.
- Свертка по паре : .
- Свертка по паре в координатах: . Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых , и выполнено , , и ;
(2) для любых и выполнено и . - Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма равен тензору ;
(2) если форма невырождена, то, обозначая через прообраз гомоморфизма относительно изоморфизма
(тензор — тензор типа , обратный к тензору ), для любых имеем следующий факт: . - Опускание индекса: .
- Подъем индекса: .
- Опускание и подъем в координатах: и .
3.5 Симметрические и внешние степени векторных пространств
3.5.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
- Симметрическая и внешняя степени: и .
- Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть — поле, , — векторное
пространство над полем и ; обозначим через изоморфизм ; тогда
(1) для любых , обозначая через автоморфизм , имеем следующие факты:
, , ;
(2) и (и, значит, и ). - Операторы симметризации и альтернирования: и . Лемма о симметризации и альтернировании.
Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) , и , (то есть — проектор на и — проектор на ). - Симметрич. произведение векторов: . Внешнее произведение векторов: .
- Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
, и ; обозначим через число ; тогда
(1) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(2) все тензоры , где и , попарно различны и вместе образуют базис пространства ;
(3) и . - Симметричный тензор в координатах: . Антисимметричный тензор в координатах: .
- Примеры: — форма объема, связанная с , ().
3.5.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
- Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: и (корректность следует из ).
- Утверждение: пусть и ; тогда и .
- Симметрическое произведение тензоров: . Внешнее произведение тензоров: .
- Симметрическая (симметрич. контравар. тензоров) и внешняя (антисимметрич. контравар. тензоров) алгебры: и .
- Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении. Пусть — поле, , — векторное пространство над полем ,
и , , ; тогда
(1) и ;
(2) и ;
(3) для любых выполнено и . - Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем .