Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 55: | Строка 55: | ||
<li><u>Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <b>R</b> или <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные<br>пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math> (то есть <math>\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>),<br>если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\mathrm{rk}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}_{<0}(\varphi)</math>.</i> | <li><u>Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <b>R</b> или <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V,Y</math> — векторные<br>пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>\varphi\in\overline\mathrm{SBi}(Y)</math>; тогда <math>(V,\sigma)\cong(Y,\varphi)</math> (то есть <math>\,\mathrm{Iso}((V,\sigma),(Y,\varphi))\ne\varnothing</math>),<br>если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>, <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\mathrm{rk}_{>0}(\varphi)</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}_{<0}(\varphi)</math>.</i> | ||
<li>Сигнатура формы: <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)-\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)</math>). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>. | <li>Сигнатура формы: <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math> (или <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)-\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)</math>). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Псевдоевклидово пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой. |
− | <li> | + | <li>Псевдоунитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb C</math> с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой. |
<li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul> | <li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul> | ||
Строка 72: | Строка 72: | ||
<ul><li>Сопряженный оператор (форма <math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)={\uparrow}^\sigma\bigl(({\downarrow}_\sigma v)\circ a\bigr)</math>. Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. | <ul><li>Сопряженный оператор (форма <math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)={\uparrow}^\sigma\bigl(({\downarrow}_\sigma v)\circ a\bigr)</math>. Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. | ||
<li><u>Лемма о сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>v\in V</math> вектор <math>a^*(v)</math> однозначно определяется условием <math>\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(v,a(w))=\sigma(a^*(v),w)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a=\mathrm{id}_V\}</math>.</i> | <li><u>Лемма о сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>v\in V</math> вектор <math>a^*(v)</math> однозначно определяется условием <math>\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(v,a(w))=\sigma(a^*(v),w)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a=\mathrm{id}_V\}</math>.</i> | ||
− | <li>Ортогональная группа (<math>V</math> — | + | <li>Ортогональная группа (<math>V</math> — псевдоевклидово пр.-во): <math>\mathrm O(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. Унитарная группа (<math>V</math> — псевдоунитарное пр.-во): <math>\mathrm U(V)=\mathrm{Aut}(V,\sigma)</math>. |
<li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>. | <li>Классические группы над <math>\mathbb R</math>: <math>\mathrm O(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb R,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm O(n)=\mathrm O(n,0)</math>, <math>\mathrm{SO}(p,q)=\mathrm O(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb R)</math>, <math>\mathrm{SO}(n)=\mathrm{SO}(n,0)</math>. | ||
<li>Классические группы над <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm U(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb C,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm U(n)=\mathrm U(n,0)</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm U(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SU}(n,0)</math>. | <li>Классические группы над <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm U(p,q)=\mathrm{Aut}\bigl(p+q,\mathbb C,\Bigl(\begin{smallmatrix}\mathrm{id}_p&0\\0&-\mathrm{id}_q\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)</math>, <math>\mathrm U(n)=\mathrm U(n,0)</math>, <math>\mathrm{SU}(p,q)=\mathrm U(p,q)\cap\mathrm{SL}(p+q,\mathbb C)</math>, <math>\mathrm{SU}(n)=\mathrm{SU}(n,0)</math>. | ||
− | <li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\ | + | <li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\mathrm{SO}(2)\cdot\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}</math> и <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul> |
<h5>3.3.2 Два пространства и два множества операторов</h5> | <h5>3.3.2 Два пространства и два множества операторов</h5> | ||
Строка 84: | Строка 84: | ||
<li>Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: <math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{ABi}(V)\}</math>; <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Rightarrow\,</math><math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a=-a^*\}</math>. | <li>Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: <math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{ABi}(V)\}</math>; <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Rightarrow\,</math><math>\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a=-a^*\}</math>. | ||
<li>Множество положительно определенных операторов (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\}</math>. | <li>Множество положительно определенных операторов (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V,\sigma)=\{a\in\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\mid\sigma_a\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\}</math>. | ||
− | <li>Множество нормальных операторов: <math>\mathcal N\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\} | + | <li>Множество нормальных операторов: <math>\mathcal N\mathrm{End}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a\}</math>; <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)\cup\mathcal S\mathrm{End}(V,\sigma)\cup\mathcal A\mathrm{End}(V,\sigma)\subseteq\mathcal N\mathrm{End}(V,\sigma)</math>. |
− | <li>Пример: | + | <li>Пример: положит. определ. оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid\forall\,k\in2\mathbb N_0\,\bigl(f^{(k)}(0)=f^{(k)}(l)=0\bigr)\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul> |
<h5>3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах</h5> | <h5>3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах</h5> | ||
Строка 98: | Строка 98: | ||
<h5>3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5> | <h5>3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах</h5> | ||
− | <ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\ | + | <ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. |
− | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\ | + | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>. |
− | <li><u>Лемма об операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\le U</math> и, если <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, то <math>a^*(U)\le U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\ | + | <li><u>Лемма об операторе с пустым спектром над полем <b>R</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>V\ne\{0\}</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>\,\mathrm{Spec}(a)=\varnothing</math>; тогда<br>(1) существует такое подпространство <math>U</math> пространства <math>V</math>, что <math>\dim U=2</math>, <math>a(U)\le U</math> и, если <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, то <math>a^*(U)\le U</math>;<br>(2) если <math>\dim V=2</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> выполнено <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\,\Leftrightarrow\,a_e^e\in\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\alpha,\beta\in\mathbb R,\,\beta\ne0\bigr\}</math>.</i> |
<li>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы. | <li>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы. | ||
<p><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p> | <p><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p> | ||
<p><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br><math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p> | <p><u>Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb R)</math>; тогда<br><math>a\cdot a^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm O(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i></p> | ||
− | <li><u>Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диаг. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\ | + | <li><u>Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.</u><br><i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>a\in\mathrm O(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диаг. матрица с числами <math>1</math>, <math>-1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\varphi\in(0;2\pi)\!\setminus\!\{\pi\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathrm S^1</math>;<br>(2) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R</math>;<br>(3) <math>a\in\mathcal S\mathrm{End}_{>0}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диаг. матрица с положительными числами на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R_{>0}</math>;<br>(4) <math>a\in\mathcal A\mathrm{End}(V)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — <math>\mathbb C</math>-диагональная матрица с числом <math>0</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\beta\\\beta&0\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\beta\in\mathbb R\!\setminus\!\{0\}</math>, на диагонали<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow</math><br><math>\Leftrightarrow\,</math><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)\;\land\;\mathbb C\mathrm{Spec}(a)\subset\mathbb R\,\mathrm i</math>.</i> |
<li><u>Усиленная теорема Лагранжа для евклидова или унитарного пространства.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>\tau\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>;<br>тогда <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>\tau_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>).</i> | <li><u>Усиленная теорема Лагранжа для евклидова или унитарного пространства.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>\tau\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>;<br>тогда <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>\tau_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math> (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V)\cap\mathrm{OOB}(V,\tau)\ne\varnothing</math>).</i> | ||
<li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math>, <math>a\in\mathrm{SO}(V)\!\setminus\!\{\mathrm{id}_V\}</math>; обозначим через <math>U</math> пространство <math>V_1(a,1)</math><br>и обозначим через <math>b</math> оператор <math>a|_{U^\perp\to U^\perp}</math>; тогда <math>\dim U=1</math>, <math>b\in\mathrm{SO}(U^\perp)</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>a(v)=\mathrm{proj}_U(v)+b\bigl(v-\mathrm{proj}_U(v)\bigr)</math><br>(то есть оператор <math>a</math> — вращение вокруг оси <math>U</math>).</i> | <li><u>Теорема Эйлера о вращениях.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово пространство, <math>\dim V=3</math>, <math>a\in\mathrm{SO}(V)\!\setminus\!\{\mathrm{id}_V\}</math>; обозначим через <math>U</math> пространство <math>V_1(a,1)</math><br>и обозначим через <math>b</math> оператор <math>a|_{U^\perp\to U^\perp}</math>; тогда <math>\dim U=1</math>, <math>b\in\mathrm{SO}(U^\perp)</math> и для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>a(v)=\mathrm{proj}_U(v)+b\bigl(v-\mathrm{proj}_U(v)\bigr)</math><br>(то есть оператор <math>a</math> — вращение вокруг оси <math>U</math>).</i> | ||
<li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> рассматривается со стандартным симметричным скалярным произведением).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi-\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w-\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i></ul> | <li><u>Теорема о группах SU(2) и SO(3).</u><br><i>(1) <math>\mathrm{SU}(2)\cong\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (пространство <math>\,\mathbb H_\mathrm{vect}</math> рассматривается со стандартным симметричным скалярным произведением).<br>(2) Для любых <math>g\in\mathrm S^3</math>, обозначая через <math>\mathrm{rot}_g</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb H_\mathrm{vect}\!&\to\mathbb H_\mathrm{vect}\\v&\mapsto g\,v\,g^{-1}\!\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт: <math>\mathrm{rot}_g\!\in\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math>.<br>(3) Для любых <math>u\in\mathbb H_\mathrm{vect}\!\cap\mathrm S^3</math> и <math>\varphi\in[0;2\pi)</math>, обозначая через <math>g</math> кватернион <math>\cos\varphi-\sin\varphi\cdot u</math>, имеем следующие факты: <math>g\in\mathrm S^3</math>, <math>\mathrm{rot}_g(u)=u</math><br>и для любых <math>w\in\langle u\rangle^\perp</math> выполнено <math>\mathrm{rot}_g(w)=\cos(2\varphi)\,w-\sin(2\varphi)\,u\times w</math>.<br>(4) Обозначая через <math>\,\mathrm{rot}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm S^3\!&\to\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})\\g&\mapsto\mathrm{rot}_g\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующие факты: <math>\mathrm{rot}</math> — гомоморфизм групп, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{rot}=\{1,-1\}</math> и<br><math>\mathrm{Im}\,\mathrm{rot}=\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> (и, значит, <math>\mathrm S^3\!/\{1,-1\}\cong\mathrm{SO}(\mathbb H_\mathrm{vect})</math> и <math>\,\mathrm{SU}(2)/\{\mathrm{id}_2,-\mathrm{id}_2\}\cong\mathrm{SO}(3)</math>).</i></ul> |
Версия 01:30, 31 декабря 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: (), .
- Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
- Матрица Грама формы : . ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- , .
- Группа автоморфизмов пр.-ва с формой: и ().
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : мн.-во вида , где , , .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть , или , ; тогда .
3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы
- Опускание индексов: . Опускание индексов в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы: . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность ( или ). Пример: и ; тогда и .
- Подъем индексов ( невырождена): . Подъем индексов в координатах (): и .
- Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис (если или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа и матричная формулировка этой теоремы. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов с коэффициентами.
Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , , форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы
- Множества и .
- Множества и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена.
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Предгильбертово пространство — векторное пр.-во над или с положительно определенной формой. Примеры предгильбертовых пространств.
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
- Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [5]).
3.2.2 Сигнатура формы
- Полож. и отриц. ранги: и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
; обозначим через число ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над R или C. Пусть или , — векторные
пространства над полем , , и ; тогда (то есть ),
если и только если , и . - Сигнатура формы: (или ). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над с формой сигнатуры .
- Псевдоевклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
- Псевдоунитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
- Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.3 Предгильбертовы пространства
- Обозначение формы: . Примеры: , . Норма: . Утверждение: и .
- Гильбертово пространство — предгильбертово пр.-во, полное относительно нормы. Пример: — бесконечномерное гильбертово пространство.
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Метрика: . Расстояние между вектором и подпространством: . Метод наименьших квадратов.
- Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ): и .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Сопряжение операторов
- Сопряженный оператор (форма невырождена): . Сопряженный оператор в координатах: .
- Лемма о сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
(1) для любых и вектор однозначно определяется условием ;
(2) для любых и выполнено , и
(и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
(3) для любых выполнено ;
(4) . - Ортогональная группа ( — псевдоевклидово пр.-во): . Унитарная группа ( — псевдоунитарное пр.-во): .
- Классические группы над : , , , .
- Классические группы над : , , , .
- Примеры: , и .
3.3.2 Два пространства и два множества операторов
- Форма, связанная с оператором: (). Форма, связанная с оператором, в координатах: .
- Лемма об операторах и формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство
над полем , , форма невырождена и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и , а также ;
(3) и ;
(4) для любых выполнено и . - Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ; невырождена.
- Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ; невырождена.
- Множество положительно определенных операторов (если или ): .
- Множество нормальных операторов: ; .
- Пример: положит. определ. оператор в пространстве с формой .
3.3.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
- Лемма о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица.Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Ортогональный проектор: . Спектральное разложение нормального оператора: .
- Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(2) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали. - Теорема о собственных числах автоморфизмов, самосопряженных, положительно определенных и антисамосопряженных операторов. Пусть
— предгильбертово пространство, , и ; тогда , ,
и . - Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [5]).
3.3.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
- -Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над с блоками размера и блоками вида , где и .
- -Спектр оператора: . Утверждение: пусть и ; тогда .
- Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
(2) если , то для любых выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве и матричная формулировка этой теоремы.
Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица.Матричная формулировка спектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом пр.-ве.
Пусть — евклидово пространство и ; тогда
(1) — -диаг. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали
;
(2) — диагональная матрица;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали
. - Усиленная теорема Лагранжа для евклидова или унитарного пространства. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ;
тогда — диагональная матрица (то есть ). - Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пространство, , ; обозначим через пространство
и обозначим через оператор ; тогда , и для любых выполнено
(то есть оператор — вращение вокруг оси ). - Теорема о группах SU(2) и SO(3).
(1) , (пространство рассматривается со стандартным симметричным скалярным произведением).
(2) Для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: .
(3) Для любых и , обозначая через кватернион , имеем следующие факты: ,
и для любых выполнено .
(4) Обозначая через отображение , имеем следующие факты: — гомоморфизм групп, и
(и, значит, и ).