Алгебра phys 2 сентябрь–октябрь — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 24: | Строка 24: | ||
<ul><li>Опускание индексов: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индексов в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>. | <ul><li>Опускание индексов: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индексов в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>. | ||
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\downarrow_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>. | <li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\downarrow_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Топологическая невырожденность. Пример: пусть <math>V=\mathrm C^0\!([-1;1],\mathbb R)</math> и <math>\sigma\colon(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math>; тогда <math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>, но <math>\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma\!<V^*\!\cap\mathrm C^0\!(V,\mathbb R)</math>. |
<li>Подъем индексов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индексов в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{j,i}\,\lambda_j</math>. | <li>Подъем индексов (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индексов в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{j,i}\,\lambda_j</math>. | ||
<li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{e,e}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i> | <li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{e,e}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i> | ||
Строка 46: | Строка 46: | ||
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\cup\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена</i>. | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)\cup\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math> и <math>U\le V</math>; тогда <math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена</i>. | ||
<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i> | <li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i> | ||
− | <li> | + | <li>Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]). |
− | <li> | + | <li>Предгильбертово пространство — векторное пр.-во над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math> с положительно определенной формой. Примеры предгильбертовых пространств. |
+ | <li>Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb R</math>. Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над <math>\mathbb C</math>.</ul> | ||
<h5>3.2.2 Сигнатура формы</h5> | <h5>3.2.2 Сигнатура формы</h5> | ||
Строка 58: | Строка 59: | ||
<li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul> | <li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul> | ||
− | <h5>3.2.3 | + | <h5>3.2.3 Предгильбертовы пространства</h5> |
<ul><li>Обозначение формы: <math>(,)</math>. Примеры: <math>(v,w)=\sum_{i=1}^nv^i\overline{w^i}</math>, <math>(f,g)=\!\int_X\!f\overline g</math>. Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v,v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. | <ul><li>Обозначение формы: <math>(,)</math>. Примеры: <math>(v,w)=\sum_{i=1}^nv^i\overline{w^i}</math>, <math>(f,g)=\!\int_X\!f\overline g</math>. Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v,v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. | ||
− | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — | + | <li>Гильбертово пространство — предгильбертово пр.-во, полное относительно нормы. Пример: <math>\ell^2</math> — бесконечномерное гильбертово пространство. |
− | + | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v,w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v,e_i)e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i> | |
− | <li><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — | + | <li><u>Теорема об ортогональном проектировании.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство, <math>U\le V</math> и <math>\dim U<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(U)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!(v,e_j)e_j</math> и <math>\|v\|^2\ge\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!|(v,e_j)|^2</math> (это неравенство Бесселя);<br>(2) для любых <math>v\in V</math> и <math>u\in U\!\setminus\!\{\mathrm{proj}_U(v)\}</math> выполнено <math>\|v-\mathrm{proj}_U(v)\|<\|v-u\|</math> (и, значит, <math>\|v-\mathrm{proj}_U(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}</math>).</i> |
+ | <li>Метрика: <math>d(v,w)=\|v-w\|</math>. Расстояние между вектором и подпространством: <math>d(v,U)=d(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. Метод наименьших квадратов. | ||
<li>Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если <math>K=\mathbb R</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. | <li>Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если <math>K=\mathbb R</math>): <math>\angle(v,w)=\arccos\frac{(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}</math> и <math>\angle(v,U)=\angle(v,\mathrm{proj}_U(v))</math>. | ||
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul> | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul> | ||
Строка 86: | Строка 88: | ||
<h5>3.3.3 Спектральная теория (часть 1)</h5> | <h5>3.3.3 Спектральная теория (часть 1)</h5> | ||
− | <ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — | + | <ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — предгильбертово пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i> |
<li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i> | <li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i> | ||
<li><u>Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br><math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i> | <li><u>Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>; тогда<br><math>a\cdot\overline a^\mathtt T\!=\overline a^\mathtt T\!\cdot a</math>, если и только если <math>\exists\,g\in\mathrm U(n)\;</math><math>\bigl(</math><math>g\cdot a\cdot g^{-1}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i> |
Версия 17:30, 2 октября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: (), .
- Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
- Матрица Грама формы : . ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- , .
- Группа автоморфизмов пр.-ва с формой: и ().
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : мн.-во вида , где , , .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть , или , ; тогда .
3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы
- Опускание индексов: . Опускание индексов в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы: . Утверждение: .
- Топологическая невырожденность. Пример: пусть и ; тогда , но .
- Подъем индексов ( невырождена): . Подъем индексов в координатах (): и .
- Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис (если или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ). - Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Алгоритм приведения квадратичной формы к сумме квадратов (см. пункт 1 в § 4 части 2 в [2]).
Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , , форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы
- Множества и .
- Множества и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена.
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Ортогональные системы функций. Тригонометрические многочлены, многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).
- Предгильбертово пространство — векторное пр.-во над или с положительно определенной формой. Примеры предгильбертовых пространств.
- Евклидово пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над . Унитарное пространство — конечномерное предгильбертово пр.-во над .
3.2.2 Сигнатура формы
- Полож. и отриц. ранги: и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
; обозначим через число ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Сигнатура формы: (или ). Пр.-во Минковского — четырехмерное пр.-во над с формой сигнатуры .
- (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
- (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
- Классификация конечномерных пространств с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над R или C. Пусть или , — векторные
пространства над полем , , и ; тогда (то есть ),
если и только если , и . - Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.3 Предгильбертовы пространства
- Обозначение формы: . Примеры: , . Норма: . Утверждение: и .
- Гильбертово пространство — предгильбертово пр.-во, полное относительно нормы. Пример: — бесконечномерное гильбертово пространство.
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — предгильбертово пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) если , то для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — предгильбертово пространство, и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Метрика: . Расстояние между вектором и подпространством: . Метод наименьших квадратов.
- Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ): и .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Сопряжение операторов
- Сопряженный оператор (форма невырождена): . Сопряженный оператор в координатах: .
- Лемма о сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
(1) для любых и вектор однозначно определяется условием ;
(2) для любых и выполнено , и
(и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
(3) если , то для любых выполнено ;
(4) . - Ортогональная группа ( — (псевдо)евклидово пр.): . Унитарная группа ( — (псевдо)унитарное пр.): .
- Классические группы над : , , , .
- Классические группы над : , , , .
- Примеры: , , .
3.3.2 Два пространства и два множества операторов
- Форма, связанная с оператором: (). Форма, связанная с оператором, в координатах: .
- Лемма об операторах и формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство
над полем , , форма невырождена и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и , а также ;
(3) и ;
(4) для любых выполнено и . - Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ; невырождена.
- Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ; невырождена.
- Множество положительно определенных операторов (если или ): .
- Множество нормальных операторов: .
- Пример: положительно определенный оператор в пространстве с формой .
3.3.3 Спектральная теория (часть 1)
- Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — предгильбертово пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(2) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали. - Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
(2) если , то для любых выполнено . - Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).
3.3.4 Спектральная теория (часть 2)
- -Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над с блоками размера и блоками вида , где и .
- -Спектр оператора: . Утверждение: пусть и ; тогда .
- Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом
пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
(1) — -диаг. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали
;
(2) — диагональная матрица;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали
. - Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда , если и только если
существуют такие и , что .