Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 17:30, 1 октября 2016

1 Основы алгебры

По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с по-
мощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том,
что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Том 3

В принципе математику можно рассматривать как разновидность утонченной, усовершенствованной логики. Замечательно, что,
построив правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более мощное, чем обыкновенный «здравый смысл»,
основанный на традиционной, «домашней» логике. Человек руками создает простые орудия, применяя их, строит станки, с помо-
щью которых создает еще более совершенные и сложные механизмы — и с помощью этих механизмов он способен сделать то,
что недоступно голым рукам. Вот так же точно и математика, развивая все более сложные теории и создавая новые понятия, да-
ет возможность овладеть самыми необычными явлениями природы.

Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников

Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и
становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались
чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих
закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем и
что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не
с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании.

П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1 Множества, отображения, отношения

1.1.1 Множества

Логические связки: $\lnot$ — отрицание («не»), $\lor$ — дизъюнкция («или»), $\land$ — конъюнкция («и»), $\Rightarrow$ — импликация («влечет»), $\Leftrightarrow$ — эквивалентность.
Лемма о логических связках. Пусть $a$ , $b$ , $c$ — высказывания; тогда
(1) $(a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)$ , $a\lor b=b\lor a$ , $(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$ , $a\land b=b\land a$ ;
(2) $a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$ , $a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$ ;
(3) $\lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b$ , $\lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b$ , $(a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b$ , $(a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)$ .
Кванторы: $\exists$ — существование, $\forall$ — всеобщность («для любых»). Утверждение: $\lnot {\bigl (}\exists \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\forall \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}$ , $\lnot {\bigl (}\forall \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\exists \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}$ .
Задание множества перечислением элементов: $\{\ldots \}$ ; $\in$ — принадлежность, $\varnothing$ — пустое множество, $\subseteq$ — включение, $\subset$ — строгое включение.
Выделение подмножества: $\{x\in X\mid p(x)\}$ . Операции над множествами: $\cup$ — объединение, $\cap$ — пересечение, $\setminus$ — разность, $\times$ — произведение.
Лемма об операциях над множествами. Пусть $X$ , $Y$ , $Z$ — множества; тогда
(1) $(X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)$ , $X\cup Y=Y\cup X$ , $(X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)$ , $X\cap Y=Y\cap X$ ;
(2) $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$ , $X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)$ ;
(3) если $U$ — множество и $X,Y\subseteq U$ , то $U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)$ и $U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)$ .
Числовые множества: $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа; $\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}$ и $\mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ).
$|X|$ — порядок (количество элементов) множества $X$ , $2^{X}$ — множество подмножеств множества $X$ , $X^{n}$ — $n$ -я степень множества $X$ ( $n\in \mathbb {N} _{0}$ ).

1.1.2 Отображения

Множество отображений, действующих из мн.-ва $X$ в мн.-во $Y$ : $\mathrm {Map} (X,Y)$ . Область, кообласть, график отображения $f$ : $\mathrm {Dom} \,f$ , $\mathrm {Codom} \,f$ , $\mathrm {Gr} \,f$ .
Образ множества $A$ относительно $f$ ( $A\subseteq X$ ): $f(A)$ , прообраз множества $B$ относительно $f$ ( $B\subseteq Y$ ): $f^{-1}(B)$ , образ отображения $f$ : $\mathrm {Im} \,f=f(X)$ .
Сужения отображения $f$ ( $A\subseteq X$ и $f(A)\subseteq B\subseteq Y$ ): $f|_{A}$ и $f|_{A\to B}$ . Сокращенная запись образа: $\{f(x)\mid x\in X\}=\{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}$ .
Инъекции: $\mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}$ . Сюръекции: $\mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}$ .
Биекции: $\mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)$ . Композиция отображений: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Тождественное отображение: $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ .
Теорема о композиции отображений. Пусть $X$ , $Y$ — множества и $f\in \mathrm {Map} (X,Y)$ ; тогда
(1) $f\circ \mathrm {id} _{X}=f$ , $\mathrm {id} _{Y}\circ f=f$ и, если $Z$ , $W$ — множества, $g\in \mathrm {Map} (Y,Z)$ и $h\in \mathrm {Map} (Z,W)$ , то $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ ;
(2) если $X\neq \varnothing$ , то $f\in \mathrm {Inj} (X,Y)$ , если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}$ ;
(3) $f\in \mathrm {Surj} (X,Y)$ , если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ ;
(4) $f\in \mathrm {Bij} (X,Y)$ , если и только если $\exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}$ ( $f'=f^{-1}$ — биекция, обратная к биекции $f$ ).
Утверждение: $\sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|$ . Принцип Дирихле. Пусть $X,Y$ — множества, $|X|=|Y|<\infty$ ; тогда $\,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)$ .

1.1.3 Отношения

Множество отношений между множествами $X$ и $Y$ : $\mathrm {Rel} (X,Y)$ . Область, кообласть, график отношения $\Delta$ : $\mathrm {Dom} \,\Delta$ , $\mathrm {Codom} \,\Delta$ , $\mathrm {Gr} \,\Delta$ . Примеры.
Отношения эквивалентности: $\mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}$ .
Класс эквивалентности: $\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}$ . Утверждение: $x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\mathrm {cl} _{\sim }({\breve {x}})$ . Фактормножество: $X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }(x)\mid x\in X\}$ .
Разбиения: $\mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}\!A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}$ . Утверждение: $X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)$ . Трансверсали.
Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть $X$ — множество; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — биекция.
Отношение ${\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ : $x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})$ . Слои отображения $f$ : $\{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}$ ( $=X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}$ ). Факторотображение ${\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}$ — биекция.

1.2 Группы (часть 1)

1.2.1 Множества с операцией

Внутренняя $n$ -арная операция на $S$ — отображение, действующее из $S^{n}$ в $S$ (нульарная операция на $S$ — выделенный элемент множества $S$ ).
Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: $\mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}$ .
Утверждение: пусть $f\in \mathrm {Hom} (S,V)$ и $g\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ ; тогда $g\circ f\in \mathrm {Hom} (S,Y)$ . Изоморфизмы: $\mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)$ .
Утверждение: пусть $f\in \mathrm {Iso} (S,V)$ ; тогда $f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)$ . Эндоморфизмы: $\mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)$ . Автоморфизмы: $\mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)$ .
Обозначение по Минковскому: $o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}$ . Примеры: $\mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}$ , $\mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z}$ .
Инфиксная запись бинарных операций. Ассоциативность: $\forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}$ . Коммутативность: $\forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}$ .
Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть $S$ — полугруппа, $n\in \mathbb {N}$ и $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ ; тогда значение выражения $s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}$ не зависит от
расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
Примеры: числовые моноиды (включая моноиды остатков), моноиды функций, моноиды слов $\mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , моноиды отображений $\mathrm {Map} (X)$ .
Обратимые элементы: $M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}$ . Единственность обратного элемента. Утверждение: $M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }$ .
Неприводимые элементы: $\mathrm {Irr} (M)=(M\!\setminus \!M^{\times }\!)\setminus \{s\,t\mid s,t\in M\!\setminus \!M^{\times }\!\}$ . Пример: $\mathrm {Irr} (\mathbb {N} )=\mathbb {P}$ . Делимость и ассоциированность в коммут. моноиде.
Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа $M^{\times }$ ( $M$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: $G\cong J$ .
Примеры: числовые группы, группы функций, свободные группы $\mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ , группы биекций $\mathrm {Bij} (X)$ , группы автоморфизмов графов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ .
Мультипликативные обозначения в группе $G$ : $g\,h$ , $1$ , $g^{-1}$ , $g^{n}$ ( $n\in \mathbb {Z}$ ). Аддитивные обозначения в абелевой группе $A$ : $a+b$ , $0$ , $-a$ , $n\,a$ ( $n\in \mathbb {Z}$ ).
Симметрические группы: $\mathrm {S} (X)=\mathrm {Bij} (X)$ , $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$ . Запись перестановки в виде посл.-сти значений, цикловая запись. Лемма о циклах.
Лемма о циклах. Пусть $l,m,n\in \mathbb {N}$ , $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}$ , числа $i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k$ попарно различны и $u\in \mathrm {S} _{n}$ ; тогда
$(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$ , а также $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$ .

1.2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы

Подгруппа: $H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H$ . Подгруппа, порожденная мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle \leq G\;\land \;\forall \,H\leq G\;{\bigl (}D\subseteq H\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq H{\bigr )}$ .
Утверждение: $\langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}$ , а также $\langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}$ . Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle$ .
Отношения ${\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и ${\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ : $g\;{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H\,\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H$ и $g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H\,\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}$ . Утверждение: $\mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}(g)=gH$ и $\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!(g)=Hg$ .
Множества классов смежности: $G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}$ и $H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}$ . Теорема Лагранжа. Индекс: $|G:H|=|G/H|$ .
Теорема Лагранжа. Пусть $G$ — группа, $|G|<\infty$ и $H\leq G$ ; тогда $|G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|$ (и, значит, $|H|$ делит $|G|$ ).
Порядок элемента: $\mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}$ ( $\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ). Утверждение: пусть $n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N}$ ; тогда $\{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z}$ .
Лемма о порядке элемента. Пусть $G$ — группа и $g\in G$ ; тогда $\mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |$ и, если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {ord} (g)$ делит $|G|$ и $g^{|G|}\!=1$ .
Лемма об обратимых остатках. Пусть $n\in \mathbb {N}$ и $a\in \mathbb {Z} /n$ ; тогда $a\in (\mathbb {Z} /n)^{\times }\Leftrightarrow \,\gcd(a,n)=1\,\Leftrightarrow \,(\mathbb {Z} /n)^{+}\!=\langle a\rangle$ .
Циклическая группа: $\exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}$ . Примеры: $(\mathbb {Z} /n)^{+}$ ( $n\in \mathbb {N}$ ), $\mathbb {Z} ^{+}$ . Теорема о циклических группах. Первообразный корень по модулю $n$ .
Теорема о циклических группах. Пусть $G$ — циклич. группа; обозначим через $n$ величину $|G|$ ; тогда $n\in \mathbb {N}$ и $G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ или $n=\infty$ и $G\cong \mathbb {Z} ^{+}$ .

1.2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

Нормальная подгруппа: $H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}$ . Пример: $|G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G$ .
Автоморфизм сопряжения при помощи элемента $g$ : ${\biggl (}\!{\begin{aligned}G&\to G\\x&\mapsto g\,x\,g^{-1}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ . Отношение сопряженности: ${\bigl (}$ $x$ и ${\breve {x}}$ сопряжены ${\bigr )}$ $\;\Leftrightarrow \;$ $\exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}$ .
Нормальная подгруппа, порожденная мн.-вом $T$ : $(T)\trianglelefteq G\;\land \;\forall \,H\trianglelefteq G\;{\bigl (}T\subseteq H\,\Leftrightarrow \,(T)\subseteq H{\bigr )}$ . Утверждение: $(T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }$ . Примеры.
Ядро гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)\trianglelefteq G$ . Образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Im} \,f\leq J$ . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из этой леммы.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы, $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ , $j\in J$ и $g_{0}\in f^{-1}(j)$ ; тогда $f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f$ .

Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $f\in \mathrm {Inj} (G,J)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}$ .
Факторгруппа: $G/H$ с фактороперациями ( $H\trianglelefteq G$ ). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: $\mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ .
Теорема о гомоморфизме. Пусть $G,J$ — группы и $f\in \mathrm {Hom} (G,J)$ ; тогда $G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Прямое произведение групп: $F\times H$ с покомпонентными операциями. Утверждение: $G^{n}\!\cong \mathrm {Func} (\{1,\ldots ,n\},G)$ . Теорема о прямом произведении.
Теорема о прямом произведении. Пусть $G$ — группа и $F,H\leq G$ ; обозначим через $\mathrm {mult} _{F,H}$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}$ ; тогда
(1) $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ , $\mathrm {mult} _{F,H}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} _{F,H}=FH$ ;
(2) $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ ;
(3) если $|G|<\infty$ , то $\mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,|G|=|F|\,|H|\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}$ .

1.3 Кольца (часть 1)

1.3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами

Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, бинарные операции в которых связаны дистрибутивностью. Гомоморфизмы колец.
Примеры: числовые кольца, кольца функций. Аддитивная и мультипликативная группы кольца $R$ : $R^{+}$ и $R^{\times }$ . Характеристика кольца $R$ : $\mathrm {char} \,R$ .
Подкольцо: $S\leq R\,\Leftrightarrow \,S+S\subseteq S\,\land \,0\in S\,\land \,-S\subseteq S\,\land \,S\cdot S\subseteq S\,\land \,1\in S$ . Подкольцо, порожд. мн.-вом $D$ : $\langle D\rangle$ . Кольца вида $S[r_{1},\ldots ,r_{n}]$ .
Идеал: $I\trianglelefteq R\,\Leftrightarrow \,I+I\subseteq I\,\land \,0\in I\,\land \,R\cdot I\cdot R\subseteq I$ . Идеал, порожд. мн.-вом $T$ : $(T)$ . Идеал, порожд. элементом $r$ коммут. кольца $R$ : $(r)=rR$ .
Ядро гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(0)\trianglelefteq R$ . Образ гомоморфизма $f$ : $\mathrm {Im} \,f\leq U$ . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из этой леммы.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $R,U$ — кольца, $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ , $u\in U$ и $r_{0}\in f^{-1}(u)$ ; тогда $f^{-1}(u)=r_{0}+\mathrm {Ker} \,f$ .

Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ ; тогда $f\in \mathrm {Inj} (R,U)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,f=\{0\}$ .
Факторкольцо: $R/I$ с фактороперациями ( $I\trianglelefteq R$ ). Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец: $Q\times S$ с покомпонентными операциями.
Теорема о гомоморфизме. Пусть $R,U$ — кольца и $f\in \mathrm {Hom} (R,U)$ ; тогда $R/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f$ .
Кольца без делителей нуля. Область целостности — коммутативное кольцо без делителей нуля. Тело: $K^{\times }\!=K\!\setminus \!\{0\}$ . Поле — коммутативное тело.
Гомоморфизмы полей. Числовые поля. Конечные поля: $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p$ ( $p\in \mathbb {P}$ ). Подполя. Подполе, порожденное множеством. Поля вида $L(c_{1},\ldots ,c_{n})$ .

1.3.2 Кольца многочленов

Одночлены от свободных переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — слова, принадлежащие моноиду $\mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ . Кольцо многочленов $R_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ .
Кольца многочл. от коммутирующих и антикоммутирующих перем.: $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{S}$ и $R_{\wedge }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I_{A}$ .
Кольцо многочленов $R[x]$ . Степень и старший коэфф. многочлена. Лемма о делении многочленов с остатком. Операции $\mathrm {div}$ и $\mathrm {mod}$ для многочленов.
Лемма о делении многочленов с остатком. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f,g\in R[x]$ и старший коэффициент многочлена $f$ обратим;
тогда существуют единственные такие многочлены $q,t\in R[x]$ , что $g=qf+t$ и $\deg t<\deg f$ .
Сопоставление многочлену полиномиальной функции ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {pf} _{R}\colon R[x]&\to \mathrm {Func} (R,R)\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto {\bigl (}r\mapsto f_{n}r^{n}+\ldots +f_{0}{\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм колец ( $R$ — коммут. кольцо).
Обозначение: $f(r)={\bigl (}\mathrm {pf} _{R}(f){\bigr )}(r)$ . Корни многочлена $f$ : $\{r\in R\mid f(r)=0\}$ . Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.
Теорема Безу. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $R\neq \{0\}$ , $f\in R[x]$ и $r\in R$ ; тогда $f\;\mathrm {mod} \;(x-r)=f(r)$ .

Теорема о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности и $f\in R[x]\!\setminus \!\{0\}$ ; тогда $|\{r\in R\mid f(r)=0\}|\leq \deg f$ .

Следствие из теоремы о корнях многочлена. Пусть $R$ — область целостности, $|R|=\infty$ , $f\in R[x]$ и $\forall \,r\in R\;{\bigl (}f(r)=0{\bigr )}$ ; тогда $f=0$ .
Деление с остатком в кольце $K[x]$ . Кольцо остатков: $K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$ ( $f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$ ). Утверждение: $K[x]/(f)\cong K[x]/f$ .
Сводная таблица об элементарных понятиях теории коммутативных колец (с примерами для колец $\mathbb {Z}$ и $K[x]$ , где $K$ — поле).

Понятие в коммутативном кольце $R$	Понятие в кольце $\mathbb {Z}$	Понятие в кольце $K[x]$ , где $K$ — поле
Обратимые элементы кольца $R$ : $R^{\times }\!=\{\varepsilon \in R\mid \exists \,\delta \in R\;{\bigl (}\varepsilon \,\delta =1{\bigr )}\}$	Обратимые целые числа: $\mathbb {Z} ^{\times }\!=\{\varepsilon \in \mathbb {Z} \mid \exists \,\delta \in \mathbb {Z} \;{\bigl (}\varepsilon \,\delta =1{\bigr )}\}=\{1,-1\}$	Обратимые многочлены над $K$ : $K[x]^{\times }\!=\{\varepsilon \in K[x]\mid \exists \,\delta \in K[x]\;{\bigl (}\varepsilon \,\delta =1{\bigr )}\}=K^{\times }$
Неприводимые элементы кольца $R$ : $\mathrm {Irr} (R)=(R\!\setminus \!R^{\times }\!)\setminus \{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus \!R^{\times }\!\}$	Неприводимые целые числа: $\mathrm {Irr} (\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} \!\setminus \!\{1,-1\})\setminus \{b\,c\mid b,c\in \mathbb {Z} \!\setminus \!\{1,-1\}\}=$ $=\mathbb {P} \cup (-\mathbb {P} )$	Неприводимые многочлены над $K$ : $\mathrm {Irr} (K[x])=(K[x]\!\setminus \!K^{\times }\!)\setminus \{g\,h\mid g,h\in K[x]\!\setminus \!K^{\times }\!\}$
Делимость в кольце $R$ ( $r,s\in R$ ): $s\,\|\,r\;\Leftrightarrow \;\exists \,t\in R\;{\bigl (}r=s\,t{\bigr )}$	Делимость в кольце $\mathbb {Z}$ ( $a,b\in \mathbb {Z}$ ): $b\,\|\,a\;\Leftrightarrow \;\exists \,c\in \mathbb {Z} \;{\bigl (}a=b\,c{\bigr )}$	Делимость в кольце $K[x]$ ( $f,g\in K[x]$ ): $g\,\|\,f\;\Leftrightarrow \;\exists \,h\in K[x]\;{\bigl (}f=g\,h{\bigr )}$
Строгая делимость в кольце $R$ ( $r,s\in R$ ): $s\,\|\!\!\|\!\!\|\,r\;\Leftrightarrow \;s\,\|\,r\,\land \,\lnot (r\,\|\,s)$	Строгая делимость в кольце $\mathbb {Z}$ ( $a,b\in \mathbb {Z}$ ): $b\,\|\!\!\|\!\!\|\,a\;\Leftrightarrow \;b\,\|\,a\,\land \,\lnot (a\,\|\,b)\;\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \;b\,\|\,a\,\land \,\|b\|<\|a\|$	Строгая делимость в кольце $K[x]$ ( $f,g\in K[x]$ ): $g\,\|\!\!\|\!\!\|\,f\;\Leftrightarrow \;g\,\|\,f\,\land \,\lnot (f\,\|\,g)\;\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \;g\,\|\,f\,\land \,\deg g<\deg f$
Ассоциированность в кольце $R$ ( $r,s\in R$ ): $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;r\,\|\,s\,\land \,s\,\|\,r$ ; если $R$ — область целостности, то $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\exists \,\varepsilon \in R^{\times }{\bigl (}r=\varepsilon \,s{\bigr )}$	Ассоциированность в кольце $\mathbb {Z}$ ( $a,b\in \mathbb {Z}$ ): $a\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;b\;\Leftrightarrow \;a\,\|\,b\,\land \,b\,\|\,a\;\Leftrightarrow \;a=b\,\lor \,a=-b$	Ассоциированность в кольце $K[x]$ ( $f,g\in K[x]$ ): $f\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;g\;\Leftrightarrow \;f\,\|\,g\,\land \,g\,\|\,f\;\Leftrightarrow \;\exists \,\varepsilon \in K^{\times }{\bigl (}f=\varepsilon \,g{\bigr )}$
Факторкольцо кольца $R$ по идеалу, порожденному элементом $r$ : $R/(r)=\{s+(r)\mid s\in R\}$	Факторкольцо кольца $\mathbb {Z}$ по идеалу, порожденному натуральным числом $n$ : $\mathbb {Z} /(n)=\{m+(n)\mid m\in \mathbb {Z} \}\cong$ $\cong \mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}$	Факторкольцо кольца $K[x]$ по идеалу, порожденному ненулевым многочленом $f$ над $K$ : $K[x]/(f)=\{g+(f)\mid g\in K[x]\}\cong$ $\cong K[x]/f=\{a\in K[x]\mid \deg a<\deg f\}$

1.3.3 Поле комплексных чисел

Кольцо комплексных чисел: $\mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=-1$ . Комплексные числа как точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ . Утверждение: $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ .
Вещественная и мнимая части: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta$ . Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i}$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}$ .
Теорема о свойствах комплексных чисел.
(1) Для любых $a\in \mathbb {C}$ выполнено $a\,{\overline {a}}=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {C}$ — поле).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — автоморфизм поля $\,\mathbb {C}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Единичная окружность: $\mathrm {S} ^{1}\!=\{g\in \mathbb {C} \mid |g|=1\}<\mathbb {C} ^{\times }$ . Экспонента от комплексного числа $a$ : $\mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}$ . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты.
(1) Для любых $a,b\in \mathbb {C}$ выполнено $\mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{+}\!\!&\to \mathbb {C} ^{\times }\!\\a&\mapsto \mathrm {e} ^{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
(2) Для любых $\varphi \in \mathbb {R}$ выполнено $\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!=\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i}$ (и, значит, $\mathrm {S} ^{1}\!=\{\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\!\mid \varphi \in [0;2\pi )\}\cong \mathbb {R} ^{+}\!/2\pi \,\mathbb {Z}$ ).
Тригонометрическая форма компл. числа: $r\,(\cos \varphi +\sin \varphi \,\mathrm {i} )=r\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }$ . Утверждение: $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=r\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }\}=\{{\sqrt[{n}]{r}}\,\mathrm {e} ^{{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}$ .
Группа корней $n$ -й степени из $1$ : $\{a\in \mathbb {C} \mid a^{n}\!=1\}=\{\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi k}{n}}\mathrm {i} }\!\mid k\in \{0,\ldots ,n-1\}\}=\langle \mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{n}}\mathrm {i} }\rangle \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}$ . Первообразный корень $n$ -й степени из $1$ .
Алгебраическая замкнутость поля $\mathbb {C}$ : пусть $f\in \mathbb {C} [x]\!\setminus \!\{0\}$ ; тогда $\exists \,a\in \mathbb {C} \;{\bigl (}f(a)=0{\bigr )}$ (без доказательства). Корни вещественных многочленов.

1.3.4 Тело кватернионов

Кольцо кватернионов: $\mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}$ , где $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1$ и $\mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k}$ , $\mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i}$ , $\mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j}$ .
Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: $\mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha$ и $\mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k}$ .
Чистые кватернионы: $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {Re} (v)=0\}$ . Скалярное произвед.-е в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ : $(v,v')$ , $\|v\|=\!{\sqrt {(v,v)}}$ . Векторное произвед.-е в $\mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ : $v\times v'$ .
Лемма об умножении кватернионов. Сопряжение: ${\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)$ . Утверждение: $a\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\Leftrightarrow \,{\overline {a}}=-a$ . Модуль: $|a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\|\mathrm {Im} (a)\|^{2}}}$ .
Лемма об умножении кватернионов. Для любых $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {R}$ и $v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }$ выполнено $(\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')$ .
Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых $a\in \mathbb {H}$ выполнено $a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}$ и, если $a\neq 0$ , то $a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}$ (и, значит, $\mathbb {H}$ — тело).
(2) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено ${\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}$ и ${\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — антиавтоморфизм тела $\,\mathbb {H}$ ).
(3) Для любых $a,b\in \mathbb {H}$ выполнено $|a\,b|=|a|\,|b|$ (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — гомоморфизм групп).
Трехмерная сфера: $\mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }$ . Утверждение: пусть $g,g'\in \mathrm {S} ^{3}$ ; тогда $\forall \,a\in \mathbb {H} \;{\bigl (}|g\,a\,g'|=|a|{\bigr )}$ и $\forall \,v\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\,{\bigl (}g\,v\,g^{-1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }{\bigr )}$ .

@@ Строка 77: / Строка 77: @@
 <li>Факторгруппа: <math>G/H</math> с фактороперациями (<math>H\trianglelefteq G</math>). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: <math>\mathbb Z^+\!/n\,\mathbb Z\cong(\mathbb Z/n)^+</math>.
 <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>G,J</math> — группы и <math>f\in\mathrm{Hom}(G,J)</math>; тогда <math>G/\,\mathrm{Ker}\,f\cong\mathrm{Im}\,f</math>.</i></p>
-<li>Прямое произведение групп: <math>F\times H</math> с покомпонентными операциями. Теорема о прямом произведении. Внутреннее прямое произведение подгрупп.
+<li>Прямое произведение групп: <math>F\times H</math> с покомпонентными операциями. Утверждение: <math>G^n\!\cong\mathrm{Func}(\{1,\ldots,n\},G)</math>. Теорема о прямом произведении.
 <p><u>Теорема о прямом произведении.</u> <i>Пусть <math>G</math> — группа и <math>F,H\le G</math>; обозначим через <math>\mathrm{mult}_{F,H}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{mult}_{F,H}\in\mathrm{Hom}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>, <math>\mathrm{mult}_{F,H}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{mult}_{F,H}=FH</math>;<br>(2) <math>\mathrm{mult}_{F,H}\in\mathrm{Iso}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,G=FH\,\land\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>;<br>(3) если <math>|G|<\infty</math>, то <math>\mathrm{mult}_{F,H}\in\mathrm{Iso}(F\times H,G)\,\Leftrightarrow\,F\cap H=\{1\}\,\land\,|G|=|F|\,|H|\,\land\,\forall\,f\in F,\,h\in H\;\bigl(f\,h=h\,f\bigr)</math>.</i></p></ul>
@@ Строка 99: / Строка 99: @@
 <li>Кольцо многочленов <math>R[x]</math>. Степень и старший коэфф. многочлена. Лемма о делении многочленов с остатком. Операции <math>\mathrm{div}</math> и <math>\mathrm{mod}</math> для многочленов.
 <p><u>Лемма о делении многочленов с остатком.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>f,g\in R[x]</math> и старший коэффициент многочлена <math>f</math> обратим;<br>тогда существуют единственные такие многочлены <math>q,t\in R[x]</math>, что <math>g=qf+t</math> и <math>\deg t<\deg f</math>.</i></p>
-<li>Сопоставление многочлену полиномиальной функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_R\colon R[x]&\to\mathrm{Map}(R,R)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(r\mapsto f_nr^n+\ldots+f_0\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм колец (<math>R</math> — коммут. кольцо).
+<li>Сопоставление многочлену полиномиальной функции <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{pf}_R\colon R[x]&\to\mathrm{Func}(R,R)\\f_nx^n+\ldots+f_0&\mapsto\bigl(r\mapsto f_nr^n+\ldots+f_0\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм колец (<math>R</math> — коммут. кольцо).
 <li>Обозначение: <math>f(r)=\bigl(\mathrm{pf}_R(f)\bigr)(r)</math>. Корни многочлена <math>f</math>: <math>\{r\in R\mid f(r)=0\}</math>. Теорема Безу. Теорема о корнях многочлена и следствие из нее.
 <p><u>Теорема Безу.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>R\ne\{0\}</math>, <math>f\in R[x]</math> и <math>r\in R</math>; тогда <math>f\;\mathrm{mod}\;(x-r)=f(r)</math>.</i></p>