Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь — различия между версиями

Версия 18:40, 27 августа 2016 (просмотреть исходный код) Goryachko (обсуждение | вклад) ← Предыдущая правка	Версия 23:50, 5 сентября 2016 (просмотреть исходный код) Goryachko (обсуждение | вклад) м (Goryachko переименовал страницу Алгебра phys 1 февраль–март 2016 в Алгебра phys 1 сентябрь–октябрь) Следующая правка →
(нет различий)

---

Версия 23:50, 5 сентября 2016

1  Основы алгебры

								По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с по- мощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения, при котором закон становится очевидным. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Том 3
								В принципе математику можно рассматривать как разновидность утонченной, усовершенствованной логики. Замечательно, что, построив правила этой логики и выучив их, человек получил орудие гораздо более мощное, чем обыкновенный «здравый смысл», основанный на традиционной, «домашней» логике. Человек руками создает простые орудия, применяя их, строит станки, с помо- щью которых создает еще более совершенные и сложные механизмы — и с помощью этих механизмов он способен сделать то, что недоступно голым рукам. Вот так же точно и математика, развивая все более сложные теории и создавая новые понятия, да- ет возможность овладеть самыми необычными явлениями природы. Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников
								Развитие современной физики потребовало такого математического аппарата, который непрерывно расширяет свои основания и становится все более и более абстрактным. Неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, которые одно время считались чистой игрой разума и упражнениями для логических размышлений, теперь оказались необходимыми для описания весьма общих закономерностей физического мира. Похоже, что этот процесс возрастания степени абстракции будет продолжаться и в будущем и что развитие физики следует связывать с непрерывной модификацией и обобщением аксиом, лежащих в основе математики, а не с логическим развитием какой бы то ни было математической схемы, построенной на фиксированном основании. П.А.М. Дирак. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле

1.1  Множества, отображения, отношения

1.1.1  Множества

• Логические связки: ${\displaystyle \lnot }$ — отрицание («не»), ${\displaystyle \lor }$ — дизъюнкция («или»), ${\displaystyle \land }$ — конъюнкция («и»), ${\displaystyle \Rightarrow }$ — импликация («влечет»), ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ — эквивалентность.
• Лемма о логических связках. Пусть ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — высказывания; тогда
  (1) ${\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$, ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$, ${\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$, ${\displaystyle a\land b=b\land a}$;
  (2) ${\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}$, ${\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)}$;
  (3) ${\displaystyle \lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b}$, ${\displaystyle \lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b}$, ${\displaystyle (a\Rightarrow b)=\lnot a\lor b}$, ${\displaystyle (a\Rightarrow b)=(\lnot b\Rightarrow \lnot a)}$.
• Кванторы: ${\displaystyle \exists }$ — существование, ${\displaystyle \forall }$ — всеобщность («для любых»). Утверждение: ${\displaystyle \lnot {\bigl (}\exists \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\forall \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}}$, ${\displaystyle \lnot {\bigl (}\forall \,x\;(p(x)){\bigr )}\!=\!{\bigl (}\exists \,x\;(\lnot p(x)){\bigr )}}$.
• Задание множества перечислением элементов: ${\displaystyle \{\ldots \}}$; ${\displaystyle \in }$ — принадлежность, ${\displaystyle \varnothing }$ — пустое множество, ${\displaystyle \subseteq }$ — включение, ${\displaystyle \subset }$ — строгое включение.
• Выделение подмножества: ${\displaystyle \{x\in X\mid p(x)\}}$. Операции над множествами: ${\displaystyle \cup }$ — объединение, ${\displaystyle \cap }$ — пересечение, ${\displaystyle \setminus }$ — разность, ${\displaystyle \times }$ — произведение.
• Лемма об операциях над множествами. Пусть ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ — множества; тогда
  (1) ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$, ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$, ${\displaystyle (X\cap Y)\cap Z=X\cap (Y\cap Z)}$, ${\displaystyle X\cap Y=Y\cap X}$;
  (2) ${\displaystyle X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)}$, ${\displaystyle X\cup (Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap (X\cup Z)}$;
  (3) если ${\displaystyle U}$ — множество и ${\displaystyle X,Y\subseteq U}$, то ${\displaystyle U\setminus (X\cup Y)=(U\setminus X)\cap (U\setminus Y)}$ и ${\displaystyle U\setminus (X\cap Y)=(U\setminus X)\cup (U\setminus Y)}$.
• Числовые множества: ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — натуральные, целые, рациональные, вещественные числа; ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} /n=\{0,\ldots ,n-1\}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).
• ${\displaystyle |X|}$ — порядок (количество элементов) множества ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle 2^{X}}$ — множество подмножеств множества ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-я степень множества ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$).

1.1.2  Отображения

• Множество отображений, действующих из мн.-ва ${\displaystyle X}$ в мн.-во ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,Y)}$. Область, кообласть, график отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,f}$, ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,f}$, ${\displaystyle \mathrm {Gr} \,f}$.
• Образ множества ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$): ${\displaystyle f(A)}$, прообраз множества ${\displaystyle B}$ относительно ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, образ отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f=f(X)}$.
• Сужения отображения ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle f(A)\subseteq B\subseteq Y}$): ${\displaystyle f|_{A}}$ и ${\displaystyle f|_{A\to B}}$. Сокращенная запись образа: ${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists \,x\in X\;{\bigl (}f(x)=y{\bigr )}\}=\{f(x)\mid x\in X\}}$.
• Инъекции: ${\displaystyle \mathrm {Inj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\leq 1{\bigr )}\}}$. Сюръекции: ${\displaystyle \mathrm {Surj} (X,Y)=\{f\in \mathrm {Map} (X,Y)\mid \forall \,y\in Y\;{\bigl (}|f^{-1}(y)|\geq 1{\bigr )}\}}$.
• Биекции: ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X,Y)=\mathrm {Inj} (X,Y)\cap \mathrm {Surj} (X,Y)}$. Композиция отображений: ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$. Тождественное отображение: ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$.
• Теорема о композиции отображений. Пусть ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ — множества и ${\displaystyle f\in \mathrm {Map} (X,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{X}=f}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ f=f}$ и, если ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle W}$ — множества и ${\displaystyle g\in \mathrm {Map} (Y,Z)}$, ${\displaystyle h\in \mathrm {Map} (Z,W)}$, то ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$;
  (2) если ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, то ${\displaystyle f\in \mathrm {Inj} (X,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}{\bigr )}}$;
  (3) ${\displaystyle f\in \mathrm {Surj} (X,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}}$;
  (4) ${\displaystyle f\in \mathrm {Bij} (X,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \exists \,f'\in \mathrm {Map} (Y,X)\;{\bigl (}f'\circ f=\mathrm {id} _{X}\,\land \,f\circ f'=\mathrm {id} _{Y}{\bigr )}}$ (${\displaystyle f'=f^{-1}}$ — биекция, обратная к биекции ${\displaystyle f}$).
• Утверждение: ${\displaystyle \sum _{y\in \mathrm {Im} \,f}\!|f^{-1}(y)|=|X|}$. Принцип Дирихле. Пусть ${\displaystyle X,Y}$ — множества, ${\displaystyle |X|=|Y|<\infty }$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (X,Y)=\mathrm {Surj} (X,Y)=\mathrm {Bij} (X,Y)}$.

1.1.3  Отношения

• Множество отношений между множествами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle \mathrm {Rel} (X,Y)}$. Область, кообласть, график отношения ${\displaystyle \Delta }$: ${\displaystyle \mathrm {Dom} \,\Delta }$, ${\displaystyle \mathrm {Codom} \,\Delta }$, ${\displaystyle \mathrm {Gr} \,\Delta }$. Примеры.
• Отношения эквивалентности: ${\displaystyle \mathrm {EquivRel} (X)=\{{\sim }\in \mathrm {Rel} (X,X)\mid \forall \,x,y,z\in X\;{\bigl (}x\sim x\,\land \,(x\sim y\,\Rightarrow \,y\sim x)\,\land \,(x\sim y\,\land \,y\sim z\,\Rightarrow \,x\sim z){\bigr )}\}}$.
• Классы эквивалентности: ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\sim }(x)=\{{\breve {x}}\in X\mid x\sim {\breve {x}}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle x\sim {\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {cl} _{\sim }(x)=\mathrm {cl} _{\sim }({\breve {x}})}$. Фактормножество: ${\displaystyle X/{\sim }=\{\mathrm {cl} _{\sim }(x)\mid x\in X\}}$.
• Разбиения: ${\displaystyle \mathrm {Part} (X)=\{{\mathcal {P}}\subseteq 2^{X}\!\setminus \!\{\varnothing \}\mid \bigcup _{A\in {\mathcal {P}}}A=X\;\land \;\forall \,A,B\in {\mathcal {P}}\;{\bigl (}A\neq B\,\Rightarrow \,A\cap B=\varnothing {\bigr )}\}}$. Утверждение: ${\displaystyle X/{\sim }\in \mathrm {Part} (X)}$. Трансверсали.
• Теорема об отношениях эквивалентности и разбиениях. Пусть ${\displaystyle X}$ — множество; тогда отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {EquivRel} (X)&\to \mathrm {Part} (X)\\\sim &\mapsto X/{\sim }\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — биекция.
• Отношение ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$: ${\displaystyle x\;{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}\;{\breve {x}}\,\Leftrightarrow \,f(x)=f({\breve {x}})}$. Слои отображения ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \{f^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,f\}}$ (${\displaystyle =X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}}$). Факторотображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!\!{\begin{aligned}X/{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}&\to \mathrm {Im} \,f\\\mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle f}{\sim }}(x)&\mapsto f(x)\end{aligned}}{\Biggr )}}$ — биекция.

1.2  Группы (часть 1)

1.2.1  Множества с операцией

• Внутренняя ${\displaystyle n}$-арная операция на ${\displaystyle S}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle S^{n}}$ в ${\displaystyle S}$ (нульарная операция на ${\displaystyle S}$ — выделенный элемент множества ${\displaystyle S}$).
• Гомоморфизмы между мн.-вами с операцией: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (S,V)=\{f\in \mathrm {Map} (S,V)\mid \forall \,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S\;{\bigl (}f(o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n}))=o_{V}(f(s_{1}),\ldots ,f(s_{n})){\bigr )}\}}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (S,V)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$. Изоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Iso} (S,V)=\mathrm {Hom} (S,V)\cap \mathrm {Bij} (S,V)}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Iso} (S,V)}$; тогда ${\displaystyle f^{-1}\!\in \mathrm {Iso} (V,S)}$. Эндоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {End} (S)=\mathrm {Hom} (S,S)}$. Автоморфизмы: ${\displaystyle \mathrm {Aut} (S)=\mathrm {Iso} (S,S)}$.
• Обозначения по Минковскому: ${\displaystyle o_{S}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\{o_{S}(s_{1},\ldots ,s_{n})\mid s_{1}\in S_{1},\ldots ,s_{n}\in S_{n}\}}$. Примеры: ${\displaystyle \mathbb {N} +\mathbb {N} =\mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle \mathbb {N} \cdot \mathbb {N} =\mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} =\mathbb {Z} }$.
• Инфиксная запись бинарных операций. Ассоциативность: ${\displaystyle \forall \,s,t,u\in S\;{\bigl (}(s\cdot t)\cdot u=s\cdot (t\cdot u){\bigr )}}$. Коммутативность: ${\displaystyle \forall \,s,t\in S\;{\bigl (}s\cdot t=t\cdot s{\bigr )}}$.
• Полугруппа — множество с ассоциативной операцией. Гомоморфизмы полугрупп. Примеры полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.

  Лемма об обобщенной ассоциативности. Пусть ${\displaystyle S}$ — полугруппа, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$; тогда значение выражения ${\displaystyle s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}}$ не зависит от
  расстановки скобок (то есть от порядка выполнения операций при вычислении этого выражения).

1.2.2  Моноиды и группы (основные определения и примеры)

• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом (единицей). Единственность единицы, единица как нульарная операция. Гомоморфизмы моноидов.
• Примеры: числовые моноиды (по умножению или сложению), моноиды функций, моноиды слов ${\displaystyle \mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, моноиды отображений ${\displaystyle \mathrm {Map} (X)}$.
• Обратимые элементы: ${\displaystyle M^{\times }\!=\{m\in M\mid \exists \,m'\in M\;{\bigl (}m'\,m=m\,m'=1{\bigr )}\}}$. Единственность обратного элемента. Утверждение: ${\displaystyle M^{\times }\!\cdot M^{\times }\!\subseteq M^{\times }}$.
• Группа — моноид, в котором любой элемент обратим. Гомоморфизмы групп. Группа ${\displaystyle M^{\times }}$ (${\displaystyle M}$ — моноид). Таблица Кэли. Изоморфные группы: ${\displaystyle G\cong J}$.
• Примеры: числовые группы, группы функций, свободные группы ${\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, группы биекций ${\displaystyle \mathrm {Bij} (X)}$, группы автоморфизмов графов ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Gamma )}$.
• Мультипликативные обозначения в группе ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle g\,h}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle g^{-1}}$, ${\displaystyle g^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$). Аддитивные обозначения в абелевой группе ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle -a}$, ${\displaystyle n\,a}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$).
• Симметрические группы: ${\displaystyle \mathrm {S} (X)=\mathrm {Bij} (X)}$, ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде посл.-сти значений, цикловая запись. Лемма о циклах.

  Лемма о циклах. Пусть ${\displaystyle l,m,n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k\in \{1,\ldots ,n\}}$, числа ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{l},j_{1},\ldots ,j_{m},k}$ попарно различны и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; тогда
  ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$, а также ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}\!=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.

1.2.3  Подгруппы, классы смежности, циклические группы

• Подгруппы: ${\displaystyle H\leq G\,\Leftrightarrow \,H\cdot H\subseteq H\,\land \,1\in H\,\land \,H^{-1}\!\subseteq H}$. Подгруппа, порожденная мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle \leq G\;\land \;\forall \,H\leq G\;{\bigl (}D\subseteq H\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq H{\bigr )}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle =\{d_{1}^{\varepsilon _{1}}\cdot \ldots \cdot d_{n}^{\varepsilon _{n}}\!\mid n\in \mathbb {N} _{0},\,d_{1},\ldots ,d_{n}\in D,\,\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\in \{1,-1\}\}}$, а также ${\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{a}\!\mid a\in \mathbb {Z} \}}$. Пример: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\!=\langle 1\rangle =\langle -1\rangle }$.
• Отношения ${\displaystyle {\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}}$ и ${\displaystyle {\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}}$: ${\displaystyle g\;{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,g^{-1}{\breve {g}}\in H\,\Leftrightarrow \,gH={\breve {g}}H}$ и ${\displaystyle g\;{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\;{\breve {g}}\,\Leftrightarrow \,{\breve {g}}\,g^{-1}\!\in H\,\Leftrightarrow \,Hg=H{\breve {g}}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {cl} \!_{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}(g)=gH}$ и ${\displaystyle \mathrm {cl} _{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}\!(g)=Hg}$.
• Множества классов смежности: ${\displaystyle G/H=\{gH\mid g\in G\}=G/{\underset {\;\,\scriptscriptstyle H}{\sim }}}$ и ${\displaystyle H\backslash G=\{Hg\mid g\in G\}=G/{\underset {\scriptscriptstyle H\;\,}{\sim }}}$. Теорема Лагранжа. Индекс: ${\displaystyle |G:H|=|G/H|}$.

  Теорема Лагранжа. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle |G|<\infty }$ и ${\displaystyle H\leq G}$; тогда ${\displaystyle |G|=|H|\,|G/H|=|H|\,|H\backslash G|}$ (и, значит, ${\displaystyle |H|}$ делит ${\displaystyle |G|}$).

• Порядок элемента: ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=\min\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=1\}}$ (${\displaystyle \mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$). Утверждение: пусть ${\displaystyle n=\mathrm {ord} (g)\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle \{a\in \mathbb {Z} \mid g^{a}=1\}=n\,\mathbb {Z} }$.
• Лемма о порядке элемента. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle g\in G}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=|\langle g\rangle |}$ (и, значит, если ${\displaystyle |G|<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ делит ${\displaystyle |G|}$ и ${\displaystyle g^{|G|}\!=1}$).
• Лемма об обратимых остатках. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{\times }\!=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \gcd(a,n)=1\}=\{a\in \mathbb {Z} /n\mid (\mathbb {Z} /n)^{+}\!=\langle a\rangle \}}$.
• Циклические группы: ${\displaystyle \exists \,d\in G\;{\bigl (}G=\langle d\rangle {\bigr )}}$. Примеры: ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n)^{+}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$), ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$. Теорема о циклических группах. Первообразный корень по модулю ${\displaystyle n}$.

  Теорема о циклических группах. Пусть ${\displaystyle G}$ — циклич. группа; обозначим через ${\displaystyle n}$ величину ${\displaystyle |G|}$; тогда ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} /n)^{+}}$ или ${\displaystyle n=\infty }$ и ${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{+}}$.

1.2.4  Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп

• Нормальные подгруппы: ${\displaystyle H\trianglelefteq G\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gHg^{-1}\!\subseteq H{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,H\leq G\,\land \,\forall \,g\in G\;{\bigl (}gH=Hg{\bigr )}}$. Пример: ${\displaystyle |G:H|=2\,\Rightarrow \,H\trianglelefteq G}$.
• Отношение сопряженности: ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\breve {x}}}$ сопряжены${\displaystyle {\bigr )}}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle \exists \,g\in G\;{\bigl (}{\breve {x}}=g\,x\,g^{-1}{\bigr )}}$. Нормальная подгруппа, порожденная мн.-вом ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle (T)={\bigl \langle }\!\bigcup _{g\in G}g\,Tg^{-1}{\bigr \rangle }}$.
• Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle s,{\breve {s}}\in \mathrm {S} _{n}}$; тогда перестановки ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle {\breve {s}}}$ сопряжены, если и только
  если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle {\breve {s}}}$ равны.
• Ядро гомоморфизма ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=f^{-1}(1)\trianglelefteq G}$. Образ гомоморфизма ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f\leq J}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее. Примеры.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы, ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$, ${\displaystyle j\in J}$ и ${\displaystyle g_{0}\in f^{-1}(j)}$; тогда ${\displaystyle f^{-1}(j)=g_{0}\,\mathrm {Ker} \,f}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$; тогда ${\displaystyle f\in \mathrm {Inj} (G,J)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,f=\{1\}}$.

• Факторгруппа: ${\displaystyle G/H}$ с фактороперациями (${\displaystyle H\trianglelefteq G}$). Корректность опр.-я факторопераций. Теорема о гомоморфизме. Пример: ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\!/n\,\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /n)^{+}}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle G,J}$ — группы и ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (G,J)}$; тогда ${\displaystyle G/\,\mathrm {Ker} \,f\cong \mathrm {Im} \,f}$.

• Прямое произведение групп: ${\displaystyle F\times H}$ с покомпонентными операциями. Теорема о прямом произведении. Внутреннее прямое произведение подгрупп.

  Теорема о прямом произведении. Пусть ${\displaystyle G}$ — группа и ${\displaystyle F,H\leq G}$; обозначим через ${\displaystyle \mathrm {mult} _{F,H}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}F\times H&\to G\\(f,h)&\mapsto f\,h\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Hom} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$, ${\displaystyle \mathrm {mult} _{F,H}^{-1}(1)=\{(g,g^{-1})\mid g\in F\cap H\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {mult} _{F,H}=FH}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,G=FH\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$;
  (3) если ${\displaystyle |G|<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {mult} _{F,H}\in \mathrm {Iso} (F\times H,G)\,\Leftrightarrow \,F\cap H=\{1\}\,\land \,|G|=|F|\,|H|\,\land \,\forall \,f\in F,\,h\in H\;{\bigl (}f\,h=h\,f{\bigr )}}$.

1.3  Кольца (часть 1)

1.3.1  Определения и конструкции, связанные с кольцами

• Кольцо — абелева группа по сложению и моноид по умножению, операции в которых связаны дистрибутивностью. Кольца в широком смысле слова.

1.3.2  Кольца многочленов

1.3.3  Поле комплексных чисел

1.4  Кольца (часть 2)

1.5  Группы (часть 2)

2  Линейная алгебра

2.1  Матрицы, базисы, координаты

2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Пространство столбцов: ${\displaystyle K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)}$. Пространство строк: ${\displaystyle {}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)}$.
• Матричные единицы: ${\displaystyle (\mathrm {se} _{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{\mathrm {se} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Умножение матриц: ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$. Группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$.
• Строки матрицы: ${\displaystyle a^{i}=\mathrm {se} ^{i}\cdot a}$. Столбцы матрицы: ${\displaystyle a_{j}=a\cdot \mathrm {se} _{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a^{j}}$ и ${\displaystyle (b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}=\sum _{j=1}^{p}a_{k}^{j}\,b_{j}}$.
• След матрицы: ${\displaystyle \mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)}$.
• Транспонирование матрицы: ${\displaystyle (a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (r,p,K)}$; тогда ${\displaystyle (b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}}$.

2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица гомоморфизма: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}}$. Утверждение: ${\displaystyle a(e)=h\cdot a_{e}^{h}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$. Утверждение: ${\displaystyle (b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}}$.
• Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Изоморфизм колец и векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Матрица замены базиса: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}}$.
• Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Преобразование координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$. Покомпонентная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$. Покомпонентная запись (если ${\displaystyle a}$ — эндоморфизм): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathrm {se} _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathrm {se} _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathrm {se} _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathrm {se} _{j}^{j})}$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

2.2  Линейные операторы (часть 1)

2.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.
• Ядро линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V}$. Образ линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$; тогда ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда выполнено ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V=\dim Y<\infty }$;
  тогда выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$.

2.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \min\{\dim V,\dim Y\}}$. Утверждение: ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) для любых матриц ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathrm {se} _{1}^{1}+\mathrm {se} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {se} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (3) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

2.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot v_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle y\in K^{p}}$; тогда ${\displaystyle \exists \,v\in K^{n}\;{\bigl (}a\cdot v=y{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))}$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства ${\displaystyle \{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}}$.

2.3  Конструкции над векторными пространствами

2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств

• Факторпространство: ${\displaystyle V/U}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle A}$ — базис в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис в ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle A\subseteq B}$; тогда ${\displaystyle \{b+U\mid b\in B\setminus A\}}$ — базис в ${\displaystyle V/U}$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.
• Прямая сумма векторных пространств: ${\displaystyle U\oplus W}$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$;
  обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Iso} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V}$;
  (4) если ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана).

• Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: ${\displaystyle a(U)\leq U}$. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.

2.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}(v)=(v^{e})^{j}}$. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\!\sum _{j=1}^{\dim V}\!\lambda (e_{j})e^{j}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$.
• Отождествление пространств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$ в случае конечномерного пространства ${\displaystyle V}$ при помощи изоморфизма ${\displaystyle \,v\mapsto \!{\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K\\\lambda &\mapsto \lambda (v)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Сводная таблица о координатах. (В таблице ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$.)

Инвариантный объект	Координаты относительно базиса	Преобразование координат при замене базиса	Пример использования в геометрии и физике
вектор ${\displaystyle v}$ — элемент пространства ${\displaystyle V}$ (тензор типа ${\displaystyle (1,0)}$ над ${\displaystyle V}$)	${\displaystyle {\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$ покомпонентная запись: ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}{\Bigr )}}$ преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$	скорость в точке гладкого пути на многообразии
ковектор ${\displaystyle \lambda }$ — элемент пространства ${\displaystyle V^{*}}$ (тензор типа ${\displaystyle (0,1)}$ над ${\displaystyle V}$)	${\displaystyle {\begin{aligned}V^{*}\!&\to {}^{n}\!K\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ покомпонентная запись: ${\displaystyle \forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}{\Bigr )}}$ преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$	дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии
эндоморфизм ${\displaystyle a}$ — элемент пространства ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ (тензор типа ${\displaystyle (1,1)}$ над ${\displaystyle V}$)	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}}$ (это изоморфизм колец и векторных пространств)	матричная запись: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ покомпонентная запись: ${\displaystyle \forall \,i,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}{\Bigr )}}$	дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

2.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})}$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: ${\displaystyle (i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})}$. Утверждение: ${\displaystyle u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))}$.
• Транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}}$ и фундаментальные транспозиции ${\displaystyle \{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}}$. Число циклов ${\displaystyle \kappa (u)}$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \!\setminus \!\{1\}}$, ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ и ${\displaystyle i<j}$; тогда
  (1) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат одному циклу в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1}$;
  (2) если числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ принадлежат разным циклам в перестановке ${\displaystyle u}$, то ${\displaystyle \kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1}$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{n}}$; обозначим через ${\displaystyle l}$ число ${\displaystyle n-\kappa (u)}$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$ из существования таких транспозиций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}}$, что ${\displaystyle u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}}$, следует, что ${\displaystyle t\geq l}$ и ${\displaystyle t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)}$.
• Знак перестановки: ${\displaystyle \mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {sgn} }$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: ${\displaystyle \mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\!\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}\trianglelefteq \mathrm {S} _{n}}$.

2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$, ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}(V,Y)}$ и полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}V}$.
• Пространства билинейных отображений ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)}$, ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V,Y)}$ и билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры полилинейных форм.
• Пространство симметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {SMulti} _{k}V}$. Пространство антисимметричных полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{k}V}$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Multi} _{k}V}$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=2}$, то исключаются импликации (2)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1) и (3)${\displaystyle \;\Rightarrow \,}$(1)):
  (1) ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{k}V}$;
  (2) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и таких ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$, что ${\displaystyle u}$ — транспозиция, выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ и ${\displaystyle u\in \mathrm {S} _{k}}$ выполнено ${\displaystyle \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})}$.
• Пространство форм объема ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{n}V}$ (${\displaystyle n=\dim V}$). Форма объема, связанная с базисом: ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}}$.
• Теорема о формах объема. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V}$ выполнено ${\displaystyle \omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ множество ${\displaystyle \{\mathrm {vol} ^{e}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle \,\mathrm {AMulti} _{n}V}$;
  (3) для любых ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ и ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}}$ выполнено ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0}$.

2.4.3  Определитель линейного оператора

• Определитель линейного оператора: ${\displaystyle \omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})}$, где ${\displaystyle \omega \in \mathrm {AMulti} _{n}V\!\setminus \!\{0\}}$. Корректность определения.
• Теорема о главных свойствах определителя. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \det a\neq 0\}}$ (напоминание: ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }}$);
  (2) для любых ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \det(a\circ b)=\det a\cdot \det b}$
  (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {GL} (V)&\to K^{\times }\\a&\mapsto \det a\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ определено корректно и является гомоморфизмом групп).
• Определитель матрицы: ${\displaystyle \det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}}$.
• Лемма об определителе оператора и определителе матрицы. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$; тогда ${\displaystyle \det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \det a=\det a^{\mathtt {T}}}$ и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
• Специальные линейные группы: ${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (V)}$ и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,K)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid \det a=1\}\trianglelefteq \mathrm {GL} (n,K)}$.

2.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

• Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: ${\displaystyle \mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}}$${\displaystyle {\bigl (}}$дополнительный минор матрицы ${\displaystyle a}$ в позиции ${\displaystyle (j,i)}$${\displaystyle {\bigr )}}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}}$ и ${\displaystyle \forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}}$ (в частности,
  при ${\displaystyle i=k}$ имеем ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}}$ и при ${\displaystyle j=l}$ имеем ${\displaystyle \forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}}$;
  это формулы разложения определителя матрицы ${\displaystyle a}$ по ${\displaystyle i}$-й строке матрицы ${\displaystyle a}$ и по ${\displaystyle j}$-му столбцу матрицы ${\displaystyle a}$ соответственно);
  (2) ${\displaystyle a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}} }$ и, если ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (n,K)}$, то ${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{\det a}}\,\mathrm {adj} (a)}$.
• Правило Крамера. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (n,K)}$, ${\displaystyle y\in K^{n}}$ и ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}$; тогда ${\displaystyle (a^{-1}\!\cdot y)^{j}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}}$.
• Теорема о базисном миноре. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)}$ равен максимальному среди всех таких чисел
  ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, что в матрице ${\displaystyle a}$ существует такая подматрица ${\displaystyle a'}$ размера ${\displaystyle t\times t}$, что ${\displaystyle \det a'\neq 0}$.