Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Версия 12:20, 10 сентября 2016

2  Линейная алгебра

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

2.1  Матрицы, базисы, координаты

• 2.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
• 2.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
• 2.1.3  Преобразования координат при замене базиса
• 2.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

2.2  Линейные операторы (часть 1)

• 2.2.1  Ядро и образ линейного оператора
• 2.2.2  Ранг линейного оператора
• 2.2.3  Системы линейных уравнений

2.3  Конструкции над векторными пространствами

• 2.3.1  Факторпространства и прямая сумма векторных пространств
• 2.3.2  Двойственное пространство

2.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

• 2.4.1  Отступление о симметрических группах
• 2.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
• 2.4.3  Определитель линейного оператора
• 2.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

2.5  Линейные операторы (часть 2)

2.5.1  Многочлены от операторов

• Многочлен от оператора: ${\displaystyle f(a)=\sum _{k=0}^{\deg f}f_{k}a^{k}}$. Эвалюация ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {eval} _{a}\colon K[x]&\to \mathrm {End} (V)\\f&\mapsto f(a)\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм колец и векторных пространств.
• Кольцо, порожденное оператором: ${\displaystyle K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm {Im} \,\mathrm {eval} _{a}}$ — коммутативное подкольцо и подпространство в ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$.
• Минимальный многочлен оператора: ${\displaystyle \mu _{a}(a)=0}$, ${\displaystyle \mu _{a}}$ приведен, ${\displaystyle \deg \mu _{a}=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\!\setminus \!\{0\}\,\land \,f(a)=0\}}$; ${\displaystyle (\mu _{a})=\mathrm {Ker} \,\mathrm {eval} _{a}\trianglelefteq K[x]}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle f\in K[x]}$; тогда ${\displaystyle a{\bigl (}\mathrm {Ker} \,f(a){\bigr )}\leq \mathrm {Ker} \,f(a)}$ и, если ${\displaystyle g\in K[x]}$ и ${\displaystyle f}$ делит ${\displaystyle g}$, то ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,f(a)\leq \mathrm {Ker} \,g(a)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$,
  ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ и ${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$; тогда ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,(fg)(a)=\mathrm {Ker} \,f(a)\oplus \mathrm {Ker} \,g(a)}$.
• Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$,
  ${\displaystyle f\in K[x]}$, ${\displaystyle f(a)=0}$ и ${\displaystyle f=\prod _{i=1}^{t}f_{i}}$, где ${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{t}\in K[x]}$ и ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{t}}$ попарно взаимно просты; тогда ${\displaystyle V=\bigoplus _{i=1}^{t}\mathrm {Ker} \,f_{i}(a)}$.
• Проектор (идемпотент): ${\displaystyle a^{2}=a\,\Leftrightarrow \,V=\mathrm {Ker} \,(a-\mathrm {id} _{V})\oplus \mathrm {Ker} \,a}$. Нильпотентный оператор: ${\displaystyle \exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}a^{m}=0{\bigr )}\,\Leftrightarrow \,\exists \,m\in \mathbb {N} _{0}\;{\bigl (}\mu _{a}=x^{m}{\bigr )}}$.

2.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора

• Спектр оператора: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\notin \mathrm {GL} (V)\}}$; если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})\neq \{0\}\}}$.
• Характеристический многочлен матрицы: ${\displaystyle \chi _{a}=\det(x\cdot \mathrm {id} _{n}-a)}$. Характеристический многочлен оператора: ${\displaystyle \chi _{a}=\chi _{a_{e}^{e}}}$. Корректность определения.
• Утверждение: ${\displaystyle \chi _{a}=x^{n}-\mathrm {tr} \,a\cdot x^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \chi _{a}(c)=0\}}$ (и, значит, ${\displaystyle |\mathrm {Spec} (a)|\leq \dim V}$).
• Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда ${\displaystyle \chi _{a}(a)=0}$.
• Две кратности: ${\displaystyle \alpha (a,c)}$ — кратность ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \chi _{a}}$ (алгебраическая кратность) и ${\displaystyle \beta (a,c)}$ — кратность ${\displaystyle c}$ как корня многочлена ${\displaystyle \mu _{a}}$.
• Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$; тогда
  (1) многочлен ${\displaystyle \mu _{a}}$ делит многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ (и, значит, ${\displaystyle \forall \,c\in K\;{\bigl (}\beta (a,c)\leq \alpha (a,c){\bigr )}}$);
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Spec} (a)=\{c\in K\mid \mu _{a}(c)=0\}}$;
  (3) если ${\displaystyle a}$ — нильпотентный оператор, то ${\displaystyle \chi _{a}=x^{\dim V}}$.

2.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора

• Обобщенные собственные подпространства: ${\displaystyle V_{j}(a,c)=\mathrm {Ker} \,(a-c\cdot \mathrm {id} _{V})^{j}\leq V}$. Корневые подпространства: ${\displaystyle V(a,c)=\bigcup _{j=0}^{\infty }V_{j}(a,c)\leq V}$.
• Цепь ${\displaystyle a}$-инвариантных подпространств: ${\displaystyle \{0\}<V_{1}(a,c)<\ldots <V_{p-1}(a,c)<V_{p}(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots }$; вывод: ${\displaystyle V(a,c)=V_{p}(a,c)}$.
• Относительные геометрические кратности: ${\displaystyle \gamma _{j}(a,c)=\dim V_{j}(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)}$ и ${\displaystyle \gamma (a,c)=\gamma _{1}(a,c)}$. Утверждение: ${\displaystyle \gamma (a,c)\leq \alpha (a,c)}$.
• Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$;
  тогда следующие условия эквивалентны:
  (1) существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ — диагональная матрица;
  (2) ${\displaystyle \mu _{a}=\!\!\!\prod _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!(x-c)}$ (то есть ${\displaystyle \mu _{a}}$ раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$);
  (3) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V_{1}(a,c)}$ (это разложение пространства ${\displaystyle V}$ в прямую сумму собственных подпространств оператора ${\displaystyle a}$);
  (3') ${\displaystyle \dim V=\!\!\!\sum _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\gamma (a,c)}$.
• Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle c\in K}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$ выполнено ${\displaystyle \beta (a,c)\leq j\,\Leftrightarrow \,V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{j}(a,c)}$;
  (2) ${\displaystyle \beta (a,c)=\min\{j\in \mathbb {N} _{0}\mid V_{j}(a,c)=V_{j+1}(a,c)\}}$ и ${\displaystyle V(a,c)=V_{\beta (a,c)}(a,c)=V_{\alpha (a,c)}(a,c)}$.
• Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то
  это условие выполнено для любого оператора ${\displaystyle a}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда
  (1) ${\displaystyle V=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!V(a,c)}$ (это разложение пространства ${\displaystyle V}$ в прямую сумму корневых подпространств оператора ${\displaystyle a}$);
  (2) для любых ${\displaystyle c\in \mathrm {Spec} (a)}$, обозначая через ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ оператор ${\displaystyle (a-c\cdot \mathrm {id} _{V})|_{V(a,c)\to V(a,c)}}$, имеем следующий факт: для любых ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{0}}$
  выполнено ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,\mathrm {nil} (a,c)^{j}=V_{j}(a,c)}$, а также ${\displaystyle \mathrm {nil} (a,c)}$ — нильпотентный оператор и ${\displaystyle \dim V(a,c)=\alpha (a,c)}$.

2.6  Линейные операторы (часть 3)

2.6.1  Относительные базисы

• Независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle \sum _{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow \,f=0}$. Порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle U+\langle D\rangle =V}$.
• Базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$: одновременно независимое и порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$. Три леммы-упражнения.

  Лемма 1 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle E\subseteq V}$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (1) ${\displaystyle E}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (1') ${\displaystyle E}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle U\oplus \langle E\rangle =V}$;
  (2) ${\displaystyle E}$ — максимальное независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (3) ${\displaystyle E}$ — минимальное порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$.
  Лемма 2 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) любое независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно дополнить до базиса в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$;
  (2) из любого конечного порождающего подмножества в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$ можно выделить базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$.
  Лемма 3 об относительных базисах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle U'\leq U\leq V}$, ${\displaystyle E}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle E'}$ — базис в ${\displaystyle U}$
  относительно ${\displaystyle U'}$; тогда ${\displaystyle E\cup E'}$ — базис в ${\displaystyle V}$ относительно ${\displaystyle U'}$.

• Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$;
  обозначим через ${\displaystyle V_{j-1}}$, ${\displaystyle V_{j}}$, ${\displaystyle V_{j+1}}$ пространства ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,a^{j-1}}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a^{j}}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a^{j+1}}$ соответственно; пусть ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j+1}}$
  относительно ${\displaystyle V_{j}}$; тогда ${\displaystyle a|_{C\to a(C)}}$ — биекция и ${\displaystyle a(C)}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V_{j}}$ относительно ${\displaystyle V_{j-1}}$.
• Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ и ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$; тогда ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a^{j}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j-1}\geq \dim \mathrm {Ker} \,a^{j+1}-\dim \mathrm {Ker} \,a^{j}}$.

2.6.2  Жорданова нормальная форма оператора

• Жордановы клетки: ${\displaystyle \mathrm {jc} _{n}(0)=\mathrm {se} _{1}^{2}+\mathrm {se} _{2}^{3}+\ldots +\mathrm {se} _{n-1}^{n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {jc} _{n}(c)=c\cdot \mathrm {id} _{n}+\mathrm {jc} _{n}(0)}$. Прямая сумма матриц: ${\displaystyle a\oplus b\oplus \ldots =\!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&\ddots \end{smallmatrix}}{\Biggr )}}$.
• Диаграммы Юнга. Жорданов блок: ${\displaystyle \mathrm {jb} _{\Delta }(c)=\mathrm {jc} _{n_{1}}\!(c)\oplus \ldots \oplus \mathrm {jc} _{n_{r}}\!(c)}$, где числа ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ суть длины строк диаграммы Юнга ${\displaystyle \Delta }$.
• Диаграмма Юнга ${\displaystyle \Delta (a,c)}$: высоты столбцов диаграммы ${\displaystyle \Delta (a,c)}$ суть относительные геометрические кратности ${\displaystyle \gamma _{1}(a,c),\ldots ,\gamma _{\beta (a,c)}(a,c)}$.
• Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$,
  ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle a}$ — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}=\mathrm {jb} _{\Delta (a,0)}(0)}$.
• Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$
  и многочлен ${\displaystyle \chi _{a}}$ раскладывается в произведение многочленов степени ${\displaystyle 1}$ в кольце ${\displaystyle K[x]}$ (если ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, то это условие выполнено для
  любого оператора ${\displaystyle a}$ в силу алгебраической замкнутости поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$); тогда существует такой упорядоченный базис ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, что
  ${\displaystyle a_{e}^{e}=\!\!\!\bigoplus _{c\in \mathrm {Spec} (a)}\!\!\!\mathrm {jb} _{\Delta (a,c)}(c)}$ (то есть матрица ${\displaystyle a_{e}^{e}}$ раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).

2.6.3  Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике

• Утверждение: пусть ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,K)}$ и ${\displaystyle f\in K[x]}$; тогда ${\displaystyle f(a)=\mathrm {c} _{e}^{\mathrm {se} }\cdot f(\mathrm {jnf} (a))\cdot \mathrm {c} _{\mathrm {se} }^{e}}$. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
• Экспонента от оператора: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Пример вычисления экспоненты: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\varphi \\\varphi &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}\!={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты. Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любых таких ${\displaystyle a,b\in \mathrm {End} (V)}$, что ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$, выполнено ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\circ \mathrm {e} ^{b}}$;
  (2) для любых ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$, а также ${\displaystyle \det \mathrm {e} ^{a}\!=\mathrm {e} ^{\mathrm {tr} \,a}}$.

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений: ${\displaystyle y'=a\cdot y}$ (${\displaystyle y\in \mathrm {C} ^{1}\!(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ^{n})}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )}$). Решение: ${\displaystyle y(x)=\mathrm {e} ^{xa}\!\cdot v}$ (${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{n}}$).
• Сведе́ние уравнения ${\displaystyle y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +p_{0}y=0}$ к системе уравнений ${\displaystyle {\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}'\!=a\cdot \!{\Biggl (}{\begin{smallmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}}{\Biggr )}}$. Фундаментальная система решений.
• Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: ${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ''=E\psi }$ и ${\displaystyle \psi (0)=\psi (l)=0}$.
• Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: ${\displaystyle |\psi _{n}(x)|^{2}={\frac {2}{l}}\sin ^{2}\!{\Bigl (}{\frac {\pi n}{l}}x{\Bigr )}}$ — плотность вероятности, ${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ml^{2}}}n^{2}}$ — энергия.

2.7  Алгебры

2.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами

• ${\displaystyle K}$-Алгебра — векторное пространство над ${\displaystyle K}$ с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$.
• Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
• Примеры алгебр: ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle K[x]}$, ${\displaystyle K[[x]]}$, ${\displaystyle K(x)}$, ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Mat} (n,K)}$, ${\displaystyle \mathrm {Map} (X,K)}$; ${\displaystyle \mathbb {R} }$-алгебры ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с векторным умножением, ${\displaystyle \mathrm {C} ^{0}\!(X,\mathbb {R} )}$.
• Структурные константы алгебры: ${\displaystyle {\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}\!=((e_{j_{1}}e_{j_{2}})^{e})^{i}}$. Утверждение: массив ${\displaystyle {\bigl (}{\stackrel {e}{m}}\!\,_{j_{1},j_{2}}^{i}{\bigr )}_{1\leq i,j_{1},j_{2}\leq \dim A}}$ определяет умножение в ${\displaystyle K}$-алгебре ${\displaystyle A}$.
• Теорема Кэли для алгебр. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle A}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$; обозначим через ${\displaystyle {}_{K}\!A}$ векторное пространство над
  полем ${\displaystyle K}$, получающееся из ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle A}$ при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle a\in A}$, обозначая через ${\displaystyle \mathrm {lm} _{a}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to A\\b&\mapsto a\,b\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {lm} _{a}}$ — линейный оператор на векторном
  пространстве ${\displaystyle {}_{K}\!A}$ (то есть элемент ${\displaystyle K}$-алгебры ${\displaystyle \,\mathrm {End} ({}_{K}\!A)}$);
  (2) обозначая через ${\displaystyle \mathrm {lm} }$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}A&\to \mathrm {End} ({}_{K}\!A)\\a&\mapsto \mathrm {lm} _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, имеем следующий факт: ${\displaystyle \mathrm {lm} }$ — инъективный гомоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$.
• Алгебра с делением: ${\displaystyle \forall \,a\in A\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\mathrm {lm} _{a},\mathrm {rm} _{a}\!\in \mathrm {Bij} (A){\bigr )}}$. Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.

2.7.2  Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных

• Тензорное произведение полилинейных форм: ${\displaystyle (\omega \otimes \omega ')(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}')=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})\,\omega '(v_{1}',\ldots ,v_{k'}')}$. Свойства операции ${\displaystyle \otimes }$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle n=\dim V}$; тогда множество ${\displaystyle \{e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\mid j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle \,\mathrm {Multi} _{k}V}$.
• Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathrm {Multi} _{k}V}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V)}$ — ассоциативная ${\displaystyle K}$-алгебра с ${\displaystyle 1}$.
• Моном (слово) от свободных переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ степени ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}}$ (${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k}\in \{1,\ldots ,n\}}$). Моноид слов ${\displaystyle \mathrm {W} _{\otimes }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.
• Пространство однородных многочленов степени ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}}$. Алгебра многочленов: ${\displaystyle K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\bigoplus _{k=0}^{\infty }K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{k}}$.
• Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр. над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$;
  тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to \mathrm {Multi} (V)\\x_{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{j_{k}}&\mapsto e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{k}}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, — изоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$.

2.7.3  Тело кватернионов

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Алгебра кватернионов: ${\displaystyle \mathbb {H} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} \mid \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} \}}$, где ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=-1}$ и ${\displaystyle \mathrm {i} \,\mathrm {j} =-\mathrm {j} \,\mathrm {i} =\mathrm {k} }$, ${\displaystyle \mathrm {j} \,\mathrm {k} =-\mathrm {k} \,\mathrm {j} =\mathrm {i} }$, ${\displaystyle \mathrm {k} \,\mathrm {i} =-\mathrm {i} \,\mathrm {k} =\mathrm {j} }$.
• Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: ${\displaystyle \mathrm {re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\alpha }$ и ${\displaystyle \mathrm {im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} )=\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} }$.
• Сопряжение: ${\displaystyle {\overline {a}}=\mathrm {re} (a)-\mathrm {im} (a)}$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!{\sqrt {\mathrm {re} (a)^{2}+\|\mathrm {im} (a)\|^{2}}}}$. Чистые кватернионы: ${\displaystyle \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }=\{v\in \mathbb {H} \mid \mathrm {re} (v)=0\}=\{v\in \mathbb {H} \mid {\overline {v}}=-v\}}$.
• Теорема о свойствах кватернионов.
  (1) Для любых ${\displaystyle \alpha ,\alpha '\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle v,v'\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }}$ выполнено ${\displaystyle (\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-(v,v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+v\times v')}$.
  (2) Для любых ${\displaystyle a\in \mathbb {H} }$ выполнено ${\displaystyle a\,{\overline {a}}={\overline {a}}\,a=|a|^{2}}$ и, если ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ — тело).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ выполнено ${\displaystyle {\overline {a\,b}}={\overline {b}}\,{\overline {a}}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathbb {H} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — антиавтоморфизм алгебры ${\displaystyle \,\mathbb {H} }$).
  (4) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\times }\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм групп).
• Трехмерная сфера: ${\displaystyle \mathrm {S} ^{3}\!=\{g\in \mathbb {H} \mid |g|=1\}\triangleleft \mathbb {H} ^{\times }}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle g,g'\in \mathrm {S} ^{3}}$; тогда ${\displaystyle \forall \,a\in \mathbb {H} \;{\bigl (}|g\,a\,g'|=|a|{\bigr )}}$ и ${\displaystyle \forall \,v\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }\,{\bigl (}g\,v\,g^{-1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {vect} }{\bigr )}}$.
• Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — инъективный
  гомоморфизм алгебр с ${\displaystyle 1}$, и его образ есть ${\displaystyle {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb {H} \cong {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}}$).