Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
− | <h2> | + | <h2>3 Билинейная и полилинейная алгебра</h2> |
− | <h3> | + | <h3>3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h3> |
− | <h5> | + | <h5>3.1.1 ¯-Билинейные формы</h5> |
<ul><li>Пространство билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры билинейных форм: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^ns_{j_1,j_2}v^{j_1}w^{j_2}</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_X\!sfg</math>. | <ul><li>Пространство билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры билинейных форм: <math>(v,w)\mapsto v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w</math> (<math>v^\mathtt T\!\cdot s\cdot w=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^ns_{j_1,j_2}v^{j_1}w^{j_2}</math>), <math>(f,g)\mapsto\!\int_X\!sfg</math>. | ||
<li>Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>. Пространство ¯-билинейных форм: <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>. | <li>Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>. Пространство ¯-билинейных форм: <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>. | ||
Строка 29: | Строка 13: | ||
<li>Группа автоморфизмов пространства с формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(V,\sigma))\cap\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{Aut}(n,K,s)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid a^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline a=s\}</math>.</ul> | <li>Группа автоморфизмов пространства с формой: <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\mathrm{Hom}((V,\sigma),(V,\sigma))\cap\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{Aut}(n,K,s)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid a^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline a=s\}</math>.</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.1.2 ¯-Квадратичные формы</h5> |
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\overline c\,\kappa(v)</math>. | <ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\overline c\,\kappa(v)</math>. | ||
<li>¯-Квадратичная форма в координатах: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> — однородный ¯-многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>. | <li>¯-Квадратичная форма в координатах: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> — однородный ¯-многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>. | ||
Строка 37: | Строка 21: | ||
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>.</ul> | <li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>.</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы</h5> |
<ul><li>Опускание индексов: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индексов в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>. | <ul><li>Опускание индексов: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индексов в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>. | ||
<li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\downarrow_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>. | <li>Случай <math>\dim V<\infty</math>: <math>\bigl(</math><math>\sigma</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\downarrow_\sigma</math> — биекция<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>\mathrm{Ker}\,{\downarrow}_\sigma\!=\{0\}</math>. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>. | ||
Строка 46: | Строка 30: | ||
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le U^{\perp\perp}</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Ker}({\downarrow}_{\sigma|_{U\times U}})=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math><math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(3) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>U^\perp\!\cap U^{\perp\perp}\!=\{0\}</math>, то <math>U=U^{\perp\perp}</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le U^{\perp\perp}</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Ker}({\downarrow}_{\sigma|_{U\times U}})=U\cap U^\perp</math> и, если <math>\dim U<\infty</math>, то <math>\bigl(</math><math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена<math>\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap U^\perp\!=\{0\}</math>;<br>(3) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(4) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и <math>U^\perp\!\cap U^{\perp\perp}\!=\{0\}</math>, то <math>U=U^{\perp\perp}</math>.</i></ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5> |
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,j_1,j_2\in\{1,\ldots,\dim V\}\;\bigl(j_1\ne j_2\,\Rightarrow\,\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})=0\bigr)</math>. | <ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,j_1,j_2\in\{1,\ldots,\dim V\}\;\bigl(j_1\ne j_2\,\Rightarrow\,\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})=0\bigr)</math>. | ||
<li>Ортонормированный базис (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>. | <li>Ортонормированный базис (если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>. | ||
Строка 55: | Строка 39: | ||
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и<br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно<br>тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i></ul> | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и<br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно<br>тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i></ul> | ||
− | <h3> | + | <h3>3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3> |
− | <h5> | + | <h5>3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы</h5> |
<ul><li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math>. | <ul><li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)>0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v>0\bigr)\}</math>. | ||
<li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)<0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v<0\bigr)\}</math>. | <li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)<0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v<0\bigr)\}</math>. | ||
Строка 64: | Строка 48: | ||
<li>Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).</ul> | <li>Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.2.2 Сигнатура формы</h5> |
<ul><li>Полож. и отриц. ранги: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>. | <ul><li>Полож. и отриц. ранги: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>. | ||
<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i> | <li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i> | ||
Строка 72: | Строка 56: | ||
<li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul> | <li>Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.2.3 Евклидовы и унитарные пространства</h5> |
<ul><li>Обозначение формы: <math>(,)</math>. Примеры: <math>(v,w)=\sum_{i=1}^nv^i\overline{w^i}</math>, <math>(f,g)=\!\int_X\!f\overline g</math>. Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v,v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. | <ul><li>Обозначение формы: <math>(,)</math>. Примеры: <math>(v,w)=\sum_{i=1}^nv^i\overline{w^i}</math>, <math>(f,g)=\!\int_X\!f\overline g</math>. Норма: <math>\|v\|=\!\sqrt{(v,v)}</math>. Утверждение: <i><math>v\ne0\,\Rightarrow\,\|v\|>0</math> и <math>\|c\,v\|=|c|\,\|v\|</math></i>. | ||
<li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v,w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v,e_i)e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i> | <li><u>Теорема о свойствах нормы.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство; тогда<br>(1) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>|(v,w)|\le\|v\|\,\|w\|</math> (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);<br>(2) для любых <math>v,w\in V</math> выполнено <math>\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|</math> (это неравенство треугольника);<br>(3) для любых <math>e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и <math>v\in V</math> выполнено <math>v=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!(v,e_i)e_i</math> и <math>\|v\|^2=\!\sum_{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_i)|^2</math> (это равенство Парсеваля).</i> | ||
Строка 80: | Строка 64: | ||
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul> | <li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul> | ||
− | <h3> | + | <h3>3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3> |
− | <h5> | + | <h5>3.3.1 Сопряжение операторов</h5> |
<ul><li>Сопряженный оператор (форма <math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)={\uparrow}^\sigma\bigl(({\downarrow}_\sigma v)\circ a\bigr)</math>. Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. | <ul><li>Сопряженный оператор (форма <math>\sigma</math> невырождена): <math>a^*(v)={\uparrow}^\sigma\bigl(({\downarrow}_\sigma v)\circ a\bigr)</math>. Сопряженный оператор в координатах: <math>(a^*)_e^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot\overline{a_e^e}^\mathtt T\!\!\cdot(\sigma_{e,e})^\mathtt T</math>. | ||
<li><u>Лемма о сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>v\in V</math> вектор <math>a^*(v)</math> однозначно определяется условием <math>\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(v,a(w))=\sigma(a^*(v),w)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a=\mathrm{id}_V\}</math>.</i> | <li><u>Лемма о сопряжении операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>v\in V</math> вектор <math>a^*(v)</math> однозначно определяется условием <math>\forall\,w\in V\;\bigl(\sigma(v,a(w))=\sigma(a^*(v),w)\bigr)</math>;<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in K</math> выполнено <math>(a+b)^*\!=a^*\!+b^*</math>, <math>(c\,a)^*\!=\overline c\,a^*</math> и <math>(a\circ b)^*\!=b^*\!\circ a^*</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\a&\mapsto a^*\end{align}\!\biggr)</math> — ¯-антиэндоморфизм <math>K</math>-алгебры <math>\,\mathrm{End}(V)</math>);<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\,\mathrm{Spec}(a^*)=\overline{\mathrm{Spec}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid a^*\!=a^{-1}\}=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid a\circ a^*\!=a^*\!\circ a=\mathrm{id}_V\}</math>.</i> | ||
Строка 89: | Строка 73: | ||
<li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}\!\cdot\mathrm{SO}(2)</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul> | <li>Примеры: <math>\mathrm{SO}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\bigr\}\cong\mathrm S^1</math>, <math>\mathrm O(2)=\bigl\{\mathrm{id}_2,\Bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr\}\!\cdot\mathrm{SO}(2)</math>, <math>\mathrm{SU}(2)=\bigl\{\Bigl(\begin{smallmatrix}c&d\\-\overline d&\overline c\end{smallmatrix}\Bigr)\!\mid c,d\in\mathbb C,\,|c|^2\!+|d|^2\!=1\bigr\}\cong\mathrm S^3</math>.</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.3.2 Два пространства и два множества операторов</h5> |
<ul><li>Форма, связанная с оператором: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math> (<math>\Leftrightarrow\,{\downarrow}_{\sigma_a}\!={\downarrow}_\sigma\!\circ a</math>). Форма, связанная с оператором, в координатах: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. | <ul><li>Форма, связанная с оператором: <math>\sigma_a(v,w)=\sigma(a(v),w)</math> (<math>\Leftrightarrow\,{\downarrow}_{\sigma_a}\!={\downarrow}_\sigma\!\circ a</math>). Форма, связанная с оператором, в координатах: <math>(\sigma_a)_{e,e}=(a_e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math>. | ||
<li><u>Лемма об операторах и формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\\tau&\mapsto{\uparrow}^\sigma\!\circ{\downarrow}_\tau\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i> | <li><u>Лемма об операторах и формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, форма <math>\sigma</math> невырождена; тогда<br>отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\a&\mapsto\sigma_a\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{End}(V)\\\tau&\mapsto{\uparrow}^\sigma\!\circ{\downarrow}_\tau\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i> | ||
Строка 99: | Строка 83: | ||
<li>Пример: положительно определенный оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid f(0)=f(l)=0\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul> | <li>Пример: положительно определенный оператор <math>f\mapsto-f''</math> в пространстве <math>\{f\in\mathrm C^\infty\!([0;l],\mathbb C)\mid f(0)=f(l)=0\}</math> с формой <math>(f,g)\mapsto\!\int_0^l\!f\overline g</math>.</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.3.3 Спектральная теория (часть 1)</h5> |
<ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i> | <ul><li><u>Теорема о собственных векторах нормального оператора.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство и <math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math> выполнено <math>V_1(a,c)=V_1(a^*\!,\overline c)</math>;<br>(2) для любых таких <math>c,d\in\mathrm{Spec}(a)</math>, что <math>c\ne d</math>, выполнено <math>V_1(a,c)\perp V_1(a,d)</math>.</i> | ||
<li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i> | <li><u>Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — унитарное пространство и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>a\in\mathcal N\mathrm{End}(V)</math>, если и только если <math>\exists\,e\in\mathrm{OnOB}(V)\;</math><math>\bigl(</math><math>a_e^e</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math>.</i> | ||
Строка 107: | Строка 91: | ||
<li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).</ul> | <li>Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>3.3.4 Спектральная теория (часть 2)</h5> |
<ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. | <ul><li><math>\mathbb C</math>-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над <math>\mathbb R</math> с блоками размера <math>1\times1</math> и блоками вида <math>\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)</math>, где <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>. | ||
<li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>. | <li><math>\mathbb C</math>-Спектр оператора: <math>\mathbb C\mathrm{Spec}(a)=\{c\in\mathbb C\mid\chi_a(c)=0\}</math>. Утверждение: <i>пусть <math>\alpha,\beta\in\mathbb R</math> и <math>\beta\ne0</math>; тогда <math>\,\mathbb C\mathrm{Spec}\bigl(\Bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{smallmatrix}\Bigr)\bigr)=\{\alpha+\beta\,\mathrm i,\alpha-\beta\,\mathrm i\}</math></i>. |
Версия 12:30, 6 сентября 2016
3 Билинейная и полилинейная алгебра
3.1 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
3.1.1 ¯-Билинейные формы
- Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: (), .
- Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
- Матрица Грама формы : . ¯-Билинейная форма в координатах: .
- Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Пр.-ва (над полем ) и .
- Мн.-во гомоморфизмов между пространствами с формой: .
- Группа автоморфизмов пространства с формой: и .
3.1.2 ¯-Квадратичные формы
- Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
- ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
- Гиперповерхность второго порядка в пространстве : мн.-во вида , где , , .
- Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
— симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение ,
имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Утверждение: пусть , или , ; тогда .
3.1.3 Невырожденные ¯-билинейные формы
- Опускание индексов: . Опускание индексов в координатах: и .
- Случай : невырождена — биекция. Ранг формы: . Утверждение: .
- Тонкости случая . Пример: пусть и ; тогда , но .
- Подъем индексов ( невырождена): . Подъем индексов в координатах (): и .
- Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена. - Ортогональность (): . Ортогональное дополнение: .
- Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
(1) , , и ;
(2) и, если , то невырождена;
(3) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
(4) если форма невырождена и , то .
3.1.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
- Ортогональный базис: — диагональная матрица.
- Ортонормированный базис (если или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
- Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор). - Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
(1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
(2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ). - Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
(1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
(2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали. - Утверждение: пусть , , , форма невырождена и ; тогда .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) и ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.2 Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или
3.2.1 Положительно и отрицательно определенные формы
- Множества и .
- Множества и .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если , то форма невырождена.
- Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если . - Евклидовоунитарное пространство — конечномерное векторное пространство над над с положительно определенной формой.
- Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).
3.2.2 Сигнатура формы
- Полож. и отриц. ранги: и .
- Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
; обозначим через число ; тогда
(1) (и, значит, число не зависит от базиса );
(2) (и, значит, число не зависит от базиса );
(3) . - Сигнатура формы: пара . Пространство Минковского — четырехмерное пространство над с формой сигнатуры .
- (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
- (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
- Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).
3.2.3 Евклидовы и унитарные пространства
- Обозначение формы: . Примеры: , . Норма: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах нормы. Пусть — евклидово или унитарное пространство; тогда
(1) для любых выполнено (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
(2) для любых выполнено (это неравенство треугольника);
(3) для любых и выполнено и (это равенство Парсеваля). - Гильбертово пространство над над — (не обязательно конечномерное) «евклидово»«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
- Теорема об ортогональном проектировании. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
(1) для любых и выполнено и (это неравенство Бесселя);
(2) для любых и выполнено (и, значит, ). - Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если ): и .
- Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
(1) ;
(2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).
3.3 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
3.3.1 Сопряжение операторов
- Сопряженный оператор (форма невырождена): . Сопряженный оператор в координатах: .
- Лемма о сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
(1) для любых и вектор однозначно определяется условием ;
(2) для любых и выполнено , и
(и, значит, отображение — ¯-антиэндоморфизм -алгебры );
(3) если , то для любых выполнено ;
(4) . - Ортогональная группа ( — (псевдо)евклидово пр.): . Унитарная группа ( — (псевдо)унитарное пр.): .
- Классические группы над : , , , .
- Классические группы над : , , , .
- Примеры: , , .
3.3.2 Два пространства и два множества операторов
- Форма, связанная с оператором: (). Форма, связанная с оператором, в координатах: .
- Лемма об операторах и формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , форма невырождена; тогда
отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств. - Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство
над полем , , форма невырождена и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и , а также ;
(3) и ;
(4) для любых выполнено и . - Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ; невырождена.
- Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ; невырождена.
- Множество положительно определенных операторов (если или ): .
- Множество нормальных операторов: .
- Пример: положительно определенный оператор в пространстве с формой .
3.3.3 Спектральная теория (часть 1)
- Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть — евклидово или унитарное пространство и ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) для любых таких , что , выполнено . - Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть — унитарное пространство и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — диагональная матрица. - Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
Пусть — унитарное пространство и ; тогда
(1) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали;
(2) — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — диаг. матрица с числами вида , где , на диагонали. - Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть — евклидово пространство, , и ; тогда
(1) существует такое подпространство пространства , что , и, если , то ;
(2) если , то для любых выполнено . - Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).
3.3.4 Спектральная теория (часть 2)
- -Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над с блоками размера и блоками вида , где и .
- -Спектр оператора: . Утверждение: пусть и ; тогда .
- Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть и ; тогда
, если и только если — -диагональная матрица. - Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом
пространстве. Пусть — евклидово пространство и ; тогда
(1) — -диаг. матрица с числами , и блоками вида , где , на диагонали
;
(2) — диагональная матрица;
(3) — диаг. матрица с положительными числами на диагонали;
(4) — -диагональная матрица с числом и блоками вида , где , на диагонали
. - Теорема Эйлера о вращениях. Пусть — евклидово пространство, и ; тогда , если и только если
существуют такие и , что .