Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 73: | Строка 73: | ||
<h5>1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5> | <h5>1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике</h5> | ||
<ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток. | <ul><li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>f(a)=\mathrm c_e^{\mathrm{se}}\cdot f(\mathrm{jnf}(a))\cdot\mathrm c_{\mathrm{se}}^e</math></i>. Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток. | ||
− | <li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. | + | <li>Экспонента от оператора: <math>\mathrm e^a=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k</math>. Пример вычисления экспоненты: <math>\mathrm e^{\Bigl(\begin{smallmatrix}0&-\varphi\\\varphi&0\end{smallmatrix}\Bigr)}\!=\Bigl(\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\Bigr)</math>. Теорема о свойствах экспоненты. |
+ | <p><u>Теорема о свойствах экспоненты.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых таких <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math>, что <math>a\circ b=b\circ a</math>, выполнено <math>\mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\circ\mathrm e^b</math>;<br>(2) <math>\mathrm e^0\!=\mathrm{id}_V</math> и для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}</math>;<br>(3) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det\mathrm e^a\!=\mathrm e^{\mathrm{tr}\,a}</math>.</i></p> | ||
<li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>). | <li>Однородная система линейных дифференциальных уравнений: <math>y'=a\cdot y</math> (<math>y\in\mathrm C^1\!(\mathbb R,\mathbb C^n)</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(n,\mathbb C)</math>). Решение: <math>y(x)=\mathrm e^{xa}\!\cdot v</math> (<math>v\in\mathbb C^n</math>). | ||
<li>Сведе́ние уравнения <math>y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+p_0y=0</math> к системе уравнений <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)'\!=a\cdot\!\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)</math>. Фундаментальная система решений. | <li>Сведе́ние уравнения <math>y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots+p_0y=0</math> к системе уравнений <math>\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)'\!=a\cdot\!\Biggl(\begin{smallmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{smallmatrix}\Biggr)</math>. Фундаментальная система решений. | ||
Строка 90: | Строка 91: | ||
<h5>1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных</h5> | <h5>1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных</h5> | ||
<ul><li>Тензорное произведение полилинейных форм: <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}')=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_1',\ldots,v_{k'}')</math>. Свойства операции <math>\otimes</math>. | <ul><li>Тензорное произведение полилинейных форм: <math>(\omega\otimes\omega')(v_1,\ldots,v_k,v_1',\ldots,v_{k'}')=\omega(v_1,\ldots,v_k)\,\omega'(v_1',\ldots,v_{k'}')</math>. Свойства операции <math>\otimes</math>. | ||
− | <li>Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>n=\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{j_1}^*\!\otimes\ldots\otimes e_{j_k}^*\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{Multi} | + | <li>Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>n=\dim V</math>; тогда множество <math>\{e_{j_1}^*\!\otimes\ldots\otimes e_{j_k}^*\!\mid j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{Multi}_kV</math></i>. |
− | <li>Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): <math>\mathrm{Multi}(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathrm{Multi} | + | <li>Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): <math>\mathrm{Multi}(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathrm{Multi}_kV</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Multi}(V)</math> — ассоциативная <math>K</math>-алгебра с <math>1</math></i>. |
<li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)</math>. | <li>Моном (слово) от свободных переменных <math>x_1,\ldots,x_n</math> степени <math>k</math>: <math>x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}</math> (<math>j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}</math>). Моноид слов <math>\mathrm W(x_1,\ldots,x_n)</math>. | ||
− | <li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math> | + | <li>Пространство однородных многочленов степени <math>k</math>: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_k</math>. Алгебра многочленов: <math>K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle=\bigoplus_{k=0}^\infty K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle_k</math>. |
− | <li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align} | + | <li><u>Теорема об алгебре полилинейных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>;<br>тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение <math>\biggl(\!\begin{align}K\langle x_1,\ldots,x_n\rangle&\to\mathrm{Multi}(V)\\x_{j_1}\!\otimes\ldots\otimes x_{j_k}&\mapsto e_{j_1}^*\!\otimes\ldots\otimes e_{j_k}^*\end{align}\!\biggr)</math>, — изоморфизм алгебр с <math>1</math>.</i></ul> |
<h5>1.7.3 Тело кватернионов</h5> | <h5>1.7.3 Тело кватернионов</h5> |
Версия 15:30, 24 июня 2016
1 Линейная алгебра
| ||||||||||
|
Материал первой половины второго семестра курса алгебры
Содержание первой половины второго семестра курса алгебры
1.1 Матрицы, базисы, координаты
- 1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- 1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- 1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- 1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2 Линейные операторы (часть 1)
- 1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- 1.2.2 Ранг линейного оператора
- 1.2.3 Системы линейных уравнений
1.3 Конструкции над векторными пространствами
- 1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- 1.3.2 Двойственное пространство
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
- 1.4.1 Отступление о симметрических группах
- 1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- 1.4.3 Определитель линейного оператора
- 1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
Материал второй половины второго семестра курса алгебры
1.5 Линейные операторы (часть 2)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
- Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
, и , где , и попарно взаимно просты; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
- Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
тогда следующие условия эквивалентны:
(1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
(2) (то есть раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
(3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
(3') . - Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и . - Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующий факт: для любых
выполнено , а также — нильпотентный оператор и .
1.6 Линейные операторы (часть 3)
1.6.1 Относительные базисы
- Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
- Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.
Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — базис в относительно ;
(1') — независимое подмножество в и ;
(2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
(3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .
Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
(2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .
Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
относительно ; тогда — базис в относительно . - Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно . - Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и ; тогда .
1.6.2 Жорданова нормальная форма оператора
- Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
- Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
- Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
- Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
, — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что . - Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
(то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике
- Утверждение: пусть и ; тогда . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
- Экспонента от оператора: . Пример вычисления экспоненты: . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты. Пусть — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых таких , что , выполнено ;
(2) и для любых выполнено ;
(3) для любых выполнено . - Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ). Решение: ().
- Сведе́ние уравнения к системе уравнений . Фундаментальная система решений.
- Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: и .
- Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: — плотность вероятности, — энергия.
1.7 Алгебры
1.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- -Алгебра — векторное пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из .
- Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
- Примеры алгебр: -алгебры , , , , , ; -алгебры , с векторным умножением, .
- Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив определяет умножение в -алгебре .
- Теорема Кэли для алгебр. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство над
полем , получающееся из -алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
пространстве (то есть элемент -алгебры );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм алгебр с . - Алгебра с делением: . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
- Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства операции .
- Утверждение: пусть и ; тогда множество — базис пространства .
- Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
- Моном (слово) от свободных переменных степени : (). Моноид слов .
- Пространство однородных многочленов степени : . Алгебра многочленов: .
- Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; обозначим через число ;
тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с .
1.7.3 Тело кватернионов
- -Алгебра кватернионов: , где и , , .
- Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
- Сопряжение: . Модуль: . Чистые кватернионы: .
- Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых и выполнено .
(2) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — антиавтоморфизм алгебры ).
(4) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп). - Трехмерная сфера: . Утверждение: пусть ; тогда и .
- Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение — инъективный
гомоморфизм алгебр с , и его образ есть (и, значит, ).
1.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
- Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (), тождество Якоби ().
- Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : пространство с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
- Примеры алгебр Ли: , , с векторным умножением ( в алгебре Ли ).
- Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и — -алгебра Ли; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
пространстве (то есть элемент алгебры Ли );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — гомоморфизм алгебр Ли. - Алгебра дифференцирований алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
- Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть и — открытое подмножество в ; обозначим через и
алгебру и векторное пространство соответственно; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение (здесь ), имеем следующий
факт: — дифференцирование алгебры (то есть элемент алгебры Ли );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный линейный оператор,
а также — подалгебра алгебры Ли ;
(3) определим на векторном пространстве бинарную операцию так, что для любых выполнено
(из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию ); тогда для любых
выполнено (здесь ), а также — алгебра Ли относительно операции .
Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра курса алгебры
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
- Строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
- Строки 1, 2, 4 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
- Строки 2, 5, 6 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 4 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 5 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 6 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 2 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
- Строки 3, 4 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
- Строки 1, 2, 3, 5 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
- Строки 1, 2 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
- Строки 3, 4 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
- Строки 5, 6 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
- Строки 2, 5, 6 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
- Строки 4, 5, 6 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
- Строки 5, 6 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
- Строки 1, 4 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
- Строки 5, 6 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
Правила проведения экзамена
- На экзамене можно использовать только написанные выше план материала курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
- «Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в плане материала курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1),
либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9). - При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,
то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны). - На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25
(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по
всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача. - При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать
на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).
2 Билинейная и полилинейная алгебра
| ||||||||
|