Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 57: Строка 57:
 
<h5>1.6.1&nbsp; Относительные базисы</h5>
 
<h5>1.6.1&nbsp; Относительные базисы</h5>
 
<ul><li>Независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow\,f=0</math>. Порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>U+\langle D\rangle=V</math>.
 
<ul><li>Независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow\,f=0</math>. Порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>U+\langle D\rangle=V</math>.
<li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>: одновременно независимое и порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Три леммы без доказательств.
+
<li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>: одновременно независимое и порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Три леммы-упражнения.
 
<p><u>Лемма 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) для любого базиса <math>A</math> в <math>U</math> выполнено <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>;<br>(3) существует такой базис <math>A</math> в <math>U</math>, что <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>.</i><br>
 
<p><u>Лемма 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) для любого базиса <math>A</math> в <math>U</math> выполнено <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>;<br>(3) существует такой базис <math>A</math> в <math>U</math>, что <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>.</i><br>
 
<u>Лемма 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>тогда существует базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, содержащий <math>C</math>.</i><br>
 
<u>Лемма 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>тогда существует базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, содержащий <math>C</math>.</i><br>
<u>Лемма 3 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>T\le U\le V</math>, <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, <math>F</math> — базис в <math>U</math><br>относительно <math>T</math>; тогда <math>E\cup F</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>T</math>.</i></p>
+
<u>Лемма 3 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U'\le U\le V</math>, <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, <math>E'</math> — базис в <math>U</math><br>относительно <math>U'</math>; тогда <math>E\cup E'</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U'</math>.</i></p>
 
<li><u>Теорема об относительно независимых подмножествах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>j\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>; обозначим через <math>V_{j-2}</math>, <math>V_{j-1}</math> и <math>V_j</math> пространства <math>\,\mathrm{Ker}\,a^{j-2}</math>, <math>\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math> и <math>\,\mathrm{Ker}\,a^j</math> соответственно; пусть <math>C</math> — независимое<br>подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>; тогда <math>a|_{C\to a(C)}</math> — биекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_{j-1}</math> относительно <math>V_{j-2}</math>.</i></ul>
 
<li><u>Теорема об относительно независимых подмножествах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>j\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>; обозначим через <math>V_{j-2}</math>, <math>V_{j-1}</math> и <math>V_j</math> пространства <math>\,\mathrm{Ker}\,a^{j-2}</math>, <math>\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math> и <math>\,\mathrm{Ker}\,a^j</math> соответственно; пусть <math>C</math> — независимое<br>подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>; тогда <math>a|_{C\to a(C)}</math> — биекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_{j-1}</math> относительно <math>V_{j-2}</math>.</i></ul>
  

Версия 19:21, 9 апреля 2016

1  Линейная алгебра

Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-
научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-
щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического
анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-
нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство
приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.
Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности
малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы
является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной
алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной
двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-
лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия

Материал первой половины второго семестра курса алгебры

Содержание первой половины второго семестра курса алгебры

1.1  Матрицы, базисы, координаты
  • 1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк
  • 1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
  • 1.1.3  Преобразования координат при замене базиса
  • 1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2  Линейные операторы (часть 1)
  • 1.2.1  Ядро и образ линейного оператора
  • 1.2.2  Ранг линейного оператора
  • 1.2.3  Системы линейных уравнений
1.3  Конструкции над векторными пространствами
  • 1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
  • 1.3.2  Двойственное пространство
1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель
  • 1.4.1  Отступление о симметрических группах
  • 1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема
  • 1.4.3  Определитель линейного оператора
  • 1.4.4  Миноры матрицы и присоединенная матрица

Материал второй половины второго семестра курса алгебры

1.5  Линейные операторы (часть 2)

1.5.1  Многочлены от операторов
  • Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
  • Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
  • Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
  • Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
  • Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и ; тогда .
  • Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    , и , где , и попарно взаимно просты; тогда .
  • Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2  Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
  • Спектр оператора: ; если , то .
  • Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
  • Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
  • Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
  • Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
  • Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
    (1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
    (2) ;
    (3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3  Собственные и корневые подпространства оператора
  • Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
  • Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
  • Обобщенные геометрические кратности: и . Утверждение: .
  • Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
    (1) для любых выполнено ;
    (2) и .
  • Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
    тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
    (2) ;
    (3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора ).
  • Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
    , и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
    это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
    (1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
    (2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты:
    нильпотентный оператор, и (и, значит, ).

1.6  Линейные операторы (часть 3)

1.6.1  Относительные базисы
  • Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
  • Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.

    Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
    (1) — базис в относительно ;
    (2) для любого базиса в выполнено и — базис в ;
    (3) существует такой базис в , что и — базис в .

    Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — независимое подмножество в относительно ;
    тогда существует базис в относительно , содержащий .

    Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
    относительно ; тогда — базис в относительно .

  • Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    ; обозначим через , и пространства , и соответственно; пусть — независимое
    подмножество в относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
1.6.2  Жорданова нормальная форма оператора
  • Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
  • Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
  • Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть обобщенные геометрические кратности .
  • Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
    , — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что .
  • Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
    и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
    любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
    (то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
  • Экспонента оператора: . Вычисление степеней и экспоненты оператора при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.

1.7  Алгебры

1.7.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
1.7.2  Алгебры многочленов
1.7.3  Алгебра (тело) кватернионов
1.7.4  Алгебры Ли (основные определения и примеры)

2  Билинейная алгебра

3  Полилинейная алгебра

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)
или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-
менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.
Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-
ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих
пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.
Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)
и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)