Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 57: | Строка 57: | ||
<h5>1.6.1 Относительные базисы</h5> | <h5>1.6.1 Относительные базисы</h5> | ||
<ul><li>Независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow\,f=0</math>. Порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>U+\langle D\rangle=V</math>. | <ul><li>Независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>\sum_{c\in C}f(c)\,c\in U\,\Rightarrow\,f=0</math>. Порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>: <math>U+\langle D\rangle=V</math>. | ||
− | <li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>: одновременно независимое и порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Три леммы | + | <li>Базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>: одновременно независимое и порождающее подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>. Три леммы-упражнения. |
<p><u>Лемма 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) для любого базиса <math>A</math> в <math>U</math> выполнено <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>;<br>(3) существует такой базис <math>A</math> в <math>U</math>, что <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>.</i><br> | <p><u>Лемма 1 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>E\subseteq V</math>; тогда следующие условия эквивалентны:<br>(1) <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>(2) для любого базиса <math>A</math> в <math>U</math> выполнено <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>;<br>(3) существует такой базис <math>A</math> в <math>U</math>, что <math>A\cap E=\varnothing</math> и <math>A\cup E</math> — базис в <math>V</math>.</i><br> | ||
<u>Лемма 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>тогда существует базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, содержащий <math>C</math>.</i><br> | <u>Лемма 2 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U\le V</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> относительно <math>U</math>;<br>тогда существует базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, содержащий <math>C</math>.</i><br> | ||
− | <u>Лемма 3 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math> | + | <u>Лемма 3 об относительных базисах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>U'\le U\le V</math>, <math>E</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U</math>, <math>E'</math> — базис в <math>U</math><br>относительно <math>U'</math>; тогда <math>E\cup E'</math> — базис в <math>V</math> относительно <math>U'</math>.</i></p> |
<li><u>Теорема об относительно независимых подмножествах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>j\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>; обозначим через <math>V_{j-2}</math>, <math>V_{j-1}</math> и <math>V_j</math> пространства <math>\,\mathrm{Ker}\,a^{j-2}</math>, <math>\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math> и <math>\,\mathrm{Ker}\,a^j</math> соответственно; пусть <math>C</math> — независимое<br>подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>; тогда <math>a|_{C\to a(C)}</math> — биекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_{j-1}</math> относительно <math>V_{j-2}</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема об относительно независимых подмножествах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>j\in\mathbb N\setminus\{1\}</math>; обозначим через <math>V_{j-2}</math>, <math>V_{j-1}</math> и <math>V_j</math> пространства <math>\,\mathrm{Ker}\,a^{j-2}</math>, <math>\mathrm{Ker}\,a^{j-1}</math> и <math>\,\mathrm{Ker}\,a^j</math> соответственно; пусть <math>C</math> — независимое<br>подмножество в <math>V_j</math> относительно <math>V_{j-1}</math>; тогда <math>a|_{C\to a(C)}</math> — биекция и <math>a(C)</math> — независимое подмножество в <math>V_{j-1}</math> относительно <math>V_{j-2}</math>.</i></ul> | ||
Версия 19:21, 9 апреля 2016
1 Линейная алгебра
|
Материал первой половины второго семестра курса алгебры
Содержание первой половины второго семестра курса алгебры
1.1 Матрицы, базисы, координаты
- 1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- 1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- 1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- 1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2 Линейные операторы (часть 1)
- 1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- 1.2.2 Ранг линейного оператора
- 1.2.3 Системы линейных уравнений
1.3 Конструкции над векторными пространствами
- 1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- 1.3.2 Двойственное пространство
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
- 1.4.1 Отступление о симметрических группах
- 1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- 1.4.3 Определитель линейного оператора
- 1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
Материал второй половины второго семестра курса алгебры
1.5 Линейные операторы (часть 2)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
- Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
, и , где , и попарно взаимно просты; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Обобщенные геометрические кратности: и . Утверждение: .
- Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и . - Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
тогда следующие условия эквивалентны:
(1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
(2) ;
(3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора ). - Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты: —
нильпотентный оператор, и (и, значит, ).
1.6 Линейные операторы (часть 3)
1.6.1 Относительные базисы
- Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
- Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.
Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — базис в относительно ;
(2) для любого базиса в выполнено и — базис в ;
(3) существует такой базис в , что и — базис в .
Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — независимое подмножество в относительно ;
тогда существует базис в относительно , содержащий .
Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
относительно ; тогда — базис в относительно . - Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
; обозначим через , и пространства , и соответственно; пусть — независимое
подмножество в относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
1.6.2 Жорданова нормальная форма оператора
- Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
- Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
- Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть обобщенные геометрические кратности .
- Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
, — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что . - Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
(то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков). - Экспонента оператора: . Вычисление степеней и экспоненты оператора при помощи теоремы о жордановой нормальной форме.
1.7 Алгебры
1.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
1.7.2 Алгебры многочленов
1.7.3 Алгебра (тело) кватернионов
1.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
2 Билинейная алгебра
3 Полилинейная алгебра
| ||||||||
|