Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
<h2>1 Линейная алгебра</h2> | <h2>1 Линейная алгебра</h2> | ||
− | <table cellpadding=" | + | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> |
− | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing=" | + | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-<br>научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-<br>щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического<br>анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-<br>нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство<br>приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности<br>малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы<br>является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной<br>алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной<br>двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-<br>лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.</td></tr> |
− | <tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин | + | <tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия</i></td></tr></table></td></tr></table> |
<h3>1.1 Матрицы, базисы, координаты</h3> | <h3>1.1 Матрицы, базисы, координаты</h3> | ||
Строка 30: | Строка 30: | ||
<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | ||
<p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> | ||
− | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> | + | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> |
<h3>1.2 Линейные операторы</h3> | <h3>1.2 Линейные операторы</h3> | ||
Строка 139: | Строка 139: | ||
<h5>1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора</h5> | <h5>1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора</h5> | ||
+ | |||
+ | <h3>1.6 Алгебры над полями</h3> | ||
+ | <h5>1.6.? Алгебры Ли (основные определения и примеры)</h5> | ||
<h2>2 Билинейная алгебра</h2> | <h2>2 Билинейная алгебра</h2> | ||
<h2>3 Полилинейная алгебра</h2> | <h2>3 Полилинейная алгебра</h2> | ||
− | <table cellpadding=" | + | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> |
− | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing=" | + | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран-<br>ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих<br>пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr> |
− | <tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии | + | <tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии</i>]</td></tr></table></td></tr> |
− | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing=" | + | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров)<br>и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)</td></tr></table></td></tr></table> |
Версия 12:01, 24 марта 2016
1 Линейная алгебра
|
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда выполнено . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда выполнено .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ;
обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то (это формула Грассмана);
(3) . - Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
- Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
---|---|---|---|---|---|---|
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
- Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
- Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
(1) ;
(2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
(3) для любых и выполнено . - Пространство форм объема , где . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых множество — базис пространства ;
(3) для любых и выполнено .
1.4.3 Определитель линейного оператора
- Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
- Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) (напоминание: );
(2) для любых выполнено
(и, значит, отображение определено корректно и является гомоморфизмом групп). - Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
- Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
- Специальные линейные группы: и .
1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
- Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и (в частности,
при имеем и при имеем ;
это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
, что в матрице существует такая подматрица размера , что .
1.5 Линейные операторы (revisited)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
- Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Обобщенные геометрические кратности: и . Утверждение: .
- Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и . - Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если ,
то это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (это разложение пространства в прямую сумму -инвариантных подпространств);
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты:
— нильпотентный оператор, и (и, значит, ).
1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора
1.6 Алгебры над полями
1.6.? Алгебры Ли (основные определения и примеры)
2 Билинейная алгебра
3 Полилинейная алгебра
| ||||||||
|