Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
<h2>1 Линейная алгебра</h2> | <h2>1 Линейная алгебра</h2> | ||
<table cellpadding="7" cellspacing="0"> | <table cellpadding="7" cellspacing="0"> | ||
− | <tr | + | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественнонаучных<br>идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых приращений: почти всякий<br>естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых при-<br>ращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным<br>пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппа-<br>рат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый<br>принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таблицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц<br>и даже структуру пространства-времени.</td></tr> |
− | <tr align="right"><td> | + | <tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин, «Линейная алгебра и геометрия».</i></td></tr></table></td></tr></table> |
− | + | ||
<h3>1.1 Матрицы, базисы, координаты</h3> | <h3>1.1 Матрицы, базисы, координаты</h3> | ||
Строка 111: | Строка 110: | ||
<h5>1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5> | <h5>1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5> | ||
<ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>. | <ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>. | ||
− | + | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности,<br>при <math>i=k</math> имеем <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a\Bigr)</math> и при <math>j=l</math> имеем <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a\Bigr)</math>;<br>это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i> | |
− | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности, при <math>i=k</math> | + | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i> |
− | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i></ul> | + | <li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел<br><math>t\in\mathbb N_0</math>, что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>t\times t</math>, что <math>\det a'\ne0</math>.</i></ul> |
<h3>1.5 Линейные операторы (revisited)</h3> | <h3>1.5 Линейные операторы (revisited)</h3> | ||
Строка 120: | Строка 119: | ||
<li>Кольцо, порожденное оператором: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a</math> — коммутативное подкольцо и подпространство в <math>\mathrm{End}(V)</math>. | <li>Кольцо, порожденное оператором: <math>K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\mathrm{Im}\,\mathrm{eval}_a</math> — коммутативное подкольцо и подпространство в <math>\mathrm{End}(V)</math>. | ||
<li>Минимальный многочлен оператора: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> приведен, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus\{0\}\;\land\;f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>. | <li>Минимальный многочлен оператора: <math>\mu_a(a)=0</math>, <math>\mu_a</math> приведен, <math>\deg\mu_a=\min\{\deg f\mid f\in K[x]\setminus\{0\}\;\land\;f(a)=0\}</math>; <math>(\mu_a)=\mathrm{Ker}\,\mathrm{eval}_a\trianglelefteq K[x]</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>f\in K[x]</math>; тогда <math>a\bigl(\mathrm{Ker}\,f(a)\bigr)\le\mathrm{Ker}\,f(a)</math> и, если <math>g\in K[x]</math> и <math>f</math> делит <math>g</math>, то <math>\,\mathrm{Ker}\,f(a)\le\mathrm{Ker}\,g(a)</math>.</i> |
<li><u>Теорема о разложении в прямую сумму ядер.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>f,g\in K[x]</math> и <math>\gcd(f,g)=1</math>; тогда <math>\,\mathrm{Ker}\,(fg)(a)=\mathrm{Ker}\,f(a)\oplus\mathrm{Ker}\,g(a)</math>.</i> | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму ядер.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>,<br><math>f,g\in K[x]</math> и <math>\gcd(f,g)=1</math>; тогда <math>\,\mathrm{Ker}\,(fg)(a)=\mathrm{Ker}\,f(a)\oplus\mathrm{Ker}\,g(a)</math>.</i> | ||
<li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(\mathrm{id}_V-a)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>. Нильпотентный оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(\mu_a=x^m\bigr)</math>.</ul> | <li>Проектор (идемпотент): <math>a^2=a\,\Leftrightarrow\,V=\mathrm{Ker}\,(\mathrm{id}_V-a)\oplus\mathrm{Ker}\,a</math>. Нильпотентный оператор: <math>\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(a^m=0\bigr)\,\Leftrightarrow\,\exists\,m\in\mathbb N_0\;\bigl(\mu_a=x^m\bigr)</math>.</ul> | ||
Строка 135: | Строка 134: | ||
<ul><li>Обобщенные собственные подпространства: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j\le V</math>. Корневые подпространства: <math>V(a,c)=\bigcup_{j=0}^\infty V_j(a,c)\le V</math>. | <ul><li>Обобщенные собственные подпространства: <math>V_j(a,c)=\mathrm{Ker}\,(a-c\cdot\mathrm{id}_V)^j\le V</math>. Корневые подпространства: <math>V(a,c)=\bigcup_{j=0}^\infty V_j(a,c)\le V</math>. | ||
<li>Цепь <math>a</math>-инвариантных подпространств: <math>\{0\}<V_1(a,c)<\ldots<V_{p-1}(a,c)<V_p(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots</math>; вывод: <math>V(a,c)=V_p(a,c)</math>. | <li>Цепь <math>a</math>-инвариантных подпространств: <math>\{0\}<V_1(a,c)<\ldots<V_{p-1}(a,c)<V_p(a,c)=V_{p+1}(a,c)=\ldots</math>; вывод: <math>V(a,c)=V_p(a,c)</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Обобщенные геометрические кратности: <math>\gamma_j(a,c)=\dim V_j(a,c)-\dim V_{j-1}(a,c)</math> и <math>\gamma(a,c)=\gamma_1(a,c)</math>. Утверждение: <math>\gamma(a,c)\le\alpha(a,c)</math>. |
<li><u>Лемма об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>; обозначим через <math>\beta</math> число <math>\beta(a,c)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta\le j\,\Leftrightarrow\,V_\beta(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(2) <math>V_{\beta-1}(a,c)<V_\beta(a,c)=V_{\beta+1}(a,c)</math> и <math>V(a,c)=V_\beta(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>.</i> | <li><u>Лемма об обобщенных собственных подпространствах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>; обозначим через <math>\beta</math> число <math>\beta(a,c)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>j\in\mathbb N_0</math> выполнено <math>\beta\le j\,\Leftrightarrow\,V_\beta(a,c)=V_j(a,c)</math>;<br>(2) <math>V_{\beta-1}(a,c)<V_\beta(a,c)=V_{\beta+1}(a,c)</math> и <math>V(a,c)=V_\beta(a,c)=V_{\alpha(a,c)}(a,c)</math>.</i> | ||
− | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math>; тогда<br>(1) <math>V=\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!V(a,c)</math>;<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем следующие факты:<br><math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный оператор, <math>\mu_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\beta(a,c)}</math> и <math>\chi_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\alpha(a,c)}</math> (и, значит, <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>).</i></ul> | + | <li><u>Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и многочлен <math>\chi_a</math> раскладывается в произведение многочленов степени <math>1</math> в кольце <math>K[x]</math> (если <math>K=\mathbb C</math>,<br>то это условие выполнено для любого оператора <math>a</math> в силу алгебраической замкнутости поля <math>\mathbb C</math>); тогда<br>(1) <math>V=\!\!\!\bigoplus_{c\in\mathrm{Spec}(a)}\!\!\!V(a,c)</math> (это разложение пространства <math>V</math> в прямую сумму <math>a</math>-инвариантных подпространств);<br>(2) для любых <math>c\in\mathrm{Spec}(a)</math>, обозначая через <math>\mathrm{nil}(a,c)</math> оператор <math>(a-c\cdot\mathrm{id}_V)|_{V(a,c)\to V(a,c)}</math>, имеем следующие факты:<br><math>\mathrm{nil}(a,c)</math> — нильпотентный оператор, <math>\mu_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\beta(a,c)}</math> и <math>\chi_{\mathrm{nil}(a,c)}=x^{\alpha(a,c)}</math> (и, значит, <math>\dim V(a,c)=\alpha(a,c)</math>).</i></ul> |
<h5>1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора</h5> | <h5>1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора</h5> | ||
Строка 144: | Строка 143: | ||
<h2>3 Полилинейная алгебра</h2> | <h2>3 Полилинейная алгебра</h2> | ||
+ | <table cellpadding="7" cellspacing="0"> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности)<br>или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре-<br>менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред.<br>Вообще в физике термин ''тензор'' имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством<br>или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств,<br>хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается.</td></tr> | ||
+ | <tr align="right"><td>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор<i>Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии.</i>]</td></tr></table></td></tr> | ||
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td>(Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений... (это частные случаи тензоров)<br>и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.)</td></tr></table></td></tr></table> |
Версия 11:30, 22 марта 2016
1 Линейная алгебра
|
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда выполнено . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда выполнено .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ;
обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то (это формула Грассмана);
(3) . - Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
- Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
---|---|---|---|---|---|---|
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
- Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
- Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
(1) ;
(2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
(3) для любых и выполнено . - Пространство форм объема , где . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых множество — базис пространства ;
(3) для любых и выполнено .
1.4.3 Определитель линейного оператора
- Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
- Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) (напоминание: );
(2) для любых выполнено
(и, значит, отображение определено корректно и является гомоморфизмом групп). - Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
- Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
- Специальные линейные группы: и .
1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
- Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и (в частности,
при имеем и при имеем ;
это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
, что в матрице существует такая подматрица размера , что .
1.5 Линейные операторы (revisited)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
- Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Обобщенные геометрические кратности: и . Утверждение: .
- Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и . - Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если ,
то это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (это разложение пространства в прямую сумму -инвариантных подпространств);
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты:
— нильпотентный оператор, и (и, значит, ).
1.5.4 Жорданова нормальная форма оператора
2 Билинейная алгебра
3 Полилинейная алгебра
| |||||||
|