Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 55: | Строка 55: | ||
<li>Инвариантное подпространство эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство. | <li>Инвариантное подпространство эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство. | ||
<li>Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств. | <li>Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств. | ||
− | <li>Факторпространство <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math> | + | <li>Факторпространство <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>. |
<li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></ul> | ||
<h5>1.3.2 Двойственное пространство</h5> | <h5>1.3.2 Двойственное пространство</h5> | ||
− | <ul><li>Двойственное пространство <math>V^*</math>.</ul> | + | <ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e_j^*(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\sum_{j=1}^{\dim V}\lambda(e_j)e_j^*</math>. Столбец <math>e^*</math>. |
+ | <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <i><math>\tilde e^*=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^{\dim V}(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math></i>.</ul> | ||
<h3>1.4 Полилинейные отображения и определитель</h3> | <h3>1.4 Полилинейные отображения и определитель</h3> | ||
Строка 71: | Строка 72: | ||
<h3>1.5 Жорданова нормальная форма</h3> | <h3>1.5 Жорданова нормальная форма</h3> | ||
− | <h2>2 Векторные пространства с | + | <h2>2 Векторные пространства с билинейной формой</h2> |
Версия 01:25, 21 февраля 2016
1 Векторные пространства
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; обозначим через
отображение, действующее из в по правилу для любых и ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то ;
(3) . - Инвариантное подпространство эндоморфизма: . Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .