Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 27: | Строка 27: | ||
<li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>. | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>. | ||
<li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. | ||
− | <p>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> | + | <p>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> |
<li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> | ||
<h3>1.2 Линейные операторы</h3> | <h3>1.2 Линейные операторы</h3> | ||
− | |||
<h5>1.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | <h5>1.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | ||
<ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <math>U\le V\;\land\;\dim U=\dim V<\infty\,\Rightarrow\,U=V</math>. | <ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <math>U\le V\;\land\;\dim U=\dim V<\infty\,\Rightarrow\,U=V</math>. | ||
Строка 37: | Строка 36: | ||
<p>Лемма о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p> | <p>Лемма о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p> | ||
<p>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | <p>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | ||
− | <li>Теорема о размерностях ядра и образа. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — | + | <li>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i> |
− | <li>Принцип Дирихле для линейных | + | <li>Принцип Дирихле для линейных операторов. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда <math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Isom}(V,Y)</math>.</i> |
+ | <li>Принцип Дирихле для линейных операторов. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Bij}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)</math>.</i></ul> | ||
<h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5> | <h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5> | ||
<ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | ||
<li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>. Утверждение: <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>. | <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>. Утверждение: <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>. | ||
− | <li>Теорема о свойствах ранга. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> | + | <li>Теорема о свойствах ранга. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g_1\cdot a\cdot g_2)=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g_1\cdot a\cdot g_2=e_1^1+e_2^2+\ldots+e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul> |
<h5>1.2.3 Системы линейных уравнений</h5> | <h5>1.2.3 Системы линейных уравнений</h5> | ||
<ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <math>a\cdot v_0=y\,\Rightarrow\,\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>. | <ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <math>a\cdot v_0=y\,\Rightarrow\,\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>. | ||
− | <li>Теорема Кронекера–Капелли. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> | + | <li>Теорема Кронекера–Капелли. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;(a\cdot v=y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i> |
<li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul> | <li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul> | ||
Версия 19:36, 16 февраля 2016
1 Векторные пространства и линейные операторы
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .