Алгебра phys 1 весна 2016 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
<h5>1.1.1 Матрицы, столбцы, строки</h5> | <h5>1.1.1 Матрицы, столбцы, строки</h5> | ||
− | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>. | + | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>. |
− | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. | + | <li>Матричные единицы. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{e_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. |
− | <li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{e_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\{e^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. | + | <li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{e_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\{e^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. |
− | <li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>. | + | <li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>. |
− | <li>Выделение строк матрицы: <math>a^i=e^i\cdot a</math>. Выделение столбцов матрицы: <math>a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a | + | <li>Выделение строк матрицы: <math>a^i=e^i\cdot a</math>. Выделение столбцов матрицы: <math>a_j=a\cdot e_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k</math></i>. |
− | <li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: отображение <math>a\mapsto a^\mathtt T</math> — антиавтоморфизм кольца <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math> | + | <li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>отображение <math>\,a\mapsto a^\mathtt T</math> — антиавтоморфизм кольца <math>\,\mathrm{Mat}(n,K)</math></i>.</ul> |
<h5>1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5> | <h5>1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5> | ||
− | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>. | + | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств между <math>V</math> и <math>K^{\dim V}</math>. |
− | <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <math>a(e)=h\cdot a_e^h | + | <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>. |
− | <li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math>. Изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>. | + | <li>Изоморфизм векторных пространств между <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)</math>. Изоморфизм колец между <math>\mathrm{End}(V)</math> и <math>\mathrm{Mat}(\dim V,K)</math>.</ul> |
<h5>1.1.3 Преобразования координат при замене базиса</h5> | <h5>1.1.3 Преобразования координат при замене базиса</h5> | ||
− | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e | + | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=\bigl(\mathrm c_\tilde e^e\bigr)^{-1}</math></i>. |
− | <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i\,v^k</math>. | + | <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i\,v^k</math>. |
− | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>. | + | <li>Преобразование координат эндоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись: <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^{\dim V}\sum_{l=1}^{\dim V}(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul> |
<h5>1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5> | <h5>1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5> | ||
− | <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,e_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)e_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. | + | <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,e_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)e_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>. |
− | <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,e_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)e_i^i)\cdot a</math>. | + | <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,e_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)e_i^i)\cdot a</math>. |
− | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>. | + | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,e_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)e_j^j)</math>. |
− | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.< | + | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. |
− | Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> | + | <p>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> |
− | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду. | + | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul> |
<h3>1.2 Линейные операторы</h3> | <h3>1.2 Линейные операторы</h3> | ||
<h5>1.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | <h5>1.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | ||
− | <ul><li>Лемма о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math> | + | <ul><li>Основные свойства базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <math>U\le V\;\land\;\dim U=\dim V<\infty\,\Rightarrow\,U=V</math>. |
− | <li>Теорема о размерности ядра и образа. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>< | + | <li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее. |
+ | <p>Лемма о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p> | ||
+ | <p>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | ||
+ | <li>Теорема о размерности ядра и образа. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i> | ||
+ | <li>Принцип Дирихле для линейных отображений. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над <math>K</math>, <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>; тогда<br><math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Isom}(V,Y)</math> (здесь и далее <math>\mathrm{Isom}(V,Y)=\mathrm{Bij}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)</math>).</i></ul> | ||
<h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5> | <h5>1.2.2 Ранг линейного оператора</h5> | ||
− | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | + | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. |
− | <li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>, <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math>, <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math>. Теорема о свойствах ранга.< | + | <li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>, <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math>, <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>. Теорема о свойствах ранга. |
− | Теорема о свойствах ранга. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> | + | <p>Теорема о свойствах ранга. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g_1\cdot a\cdot g_2)=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g_1\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g_2\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g_1\cdot a\cdot g_2=e_1^1+e_2^2+\ldots+e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle\!</math> и <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></p> |
− | <li>Неравенство Сильвестра. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)-p\le\mathrm{rk}(b\cdot a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math>.</i | + | <li>Неравенство Сильвестра. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p,r\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)-p\le\mathrm{rk}(b\cdot a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math>.</i></ul> |
<h5>1.2.3 Решение систем линейных уравнений</h5> | <h5>1.2.3 Решение систем линейных уравнений</h5> | ||
− | <ul><li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений. | + | <ul><li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений.</ul> |
<h3>1.3 Конструкции над векторными пространствами</h3> | <h3>1.3 Конструкции над векторными пространствами</h3> |
Версия 22:55, 14 февраля 2016
1 Векторные пространства и линейные операторы
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, , ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, с помощью теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Основные свойства базиса. Утверждение: . Утверждение: .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерности ядра и образа. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда .
- Принцип Дирихле для линейных отображений. Пусть — поле, — векторные пространства над , ; тогда
(здесь и далее ).
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: , , . Теорема о свойствах ранга.
Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, , ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам). - Неравенство Сильвестра. Пусть — поле, , , ; тогда .
1.2.3 Решение систем линейных уравнений
- Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений.