|
|
Строка 27: |
Строка 27: |
| <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li> | | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</li> |
| Теорема. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие число <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая по строкам матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой по строкам матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i> | | Теорема. <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие число <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая по строкам матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой по строкам матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i> |
− | <li>Приложение теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду: нахождение базиса пространства, заданного порождающим множеством.</li> | + | <li>Приложение теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду: нахождение базиса подпространства, порожденного множеством.</li> |
− | <li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные переменные. Свободные переменные. Фундаментальная система решений.</li></ul> | + | <li>Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.</li></ul> |
| | | |
| === 1.2. Линейные операторы === | | === 1.2. Линейные операторы === |
Версия 02:45, 13 февраля 2016
1. Векторные пространства и линейные операторы
1.1. Матрицы, базисы, координаты
1.1.1. Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2. Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3. Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4. Элементарные преобразования и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие число и элементарные матрицы размера , что — ступенчатая по строкам матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой по строкам матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).
- Приложение теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду: нахождение базиса подпространства, порожденного множеством.
- Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
1.2. Линейные операторы
1.3. Конструкции над векторными пространствами
Полилинейные отображения и определитель