|
|
Строка 1: |
Строка 1: |
− | === Отступление в первый семестр ===
| |
− | <ul><li>Обозначения из математической логики и теории множеств.</li>
| |
− | <li>Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.</li>
| |
− | <li>Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.</li></ul>
| |
− |
| |
| == 1. Векторные пространства и линейные операторы == | | == 1. Векторные пространства и линейные операторы == |
| | | |
Строка 34: |
Строка 29: |
| | | |
| === 1.2. Линейные операторы === | | === 1.2. Линейные операторы === |
| + | |
| + | === 1.3. Конструкции над векторными пространствами === |
| + | |
| + | === Полилинейные отображения и определитель === |
Версия 01:04, 13 февраля 2016
1. Векторные пространства и линейные операторы
1.1. Матрицы, базисы, координаты
1.1.1. Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2. Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3. Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4. Элементарные преобразования и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие число и элементарные матрицы размера , что — ступенчатая по строкам матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой по строкам матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).
1.2. Линейные операторы
1.3. Конструкции над векторными пространствами
Полилинейные отображения и определитель